Apolloniuksen lause

Tähän artikkeliin tai sen osaan on merkitty lähteitä, mutta niihin ei viitata. Älä poista mallinetta ennen kuin viitteet on lisätty. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkelille asianmukaisia viitteitä. Lähteettömät tiedot voidaan kyseenalaistaa tai poistaa.

Apolloniuksen lause määrää geometriassa kolmion kulmasta sen vastakkaiselle sivulle piirretyn keskijanan pituuden suhteen kolmion sivuihin. Lause sanoo, että kulman viereisille sivuille piirrettyjen neliöiden pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin kahden, kolmion keskijanalle piirretyn neliön ja kahden, kulman vastakkaisen sivun keskipisteeltä viereiseen kulmaan piirretyn neliön pinta-alojen summa.

Kolmiolla ABC, jolla AD kolmiolle piirretty keskijana, pätee

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2(AD^{2}+BD^{2}).\,}$

Apolloniuksen lause on erikoistapaus Stewartin lauseesta. Suorakulmaisella kolmiolla lause palautuu Pythagoraan lauseeksi. Koska suunnikkaan lävistäjät puolittavat suunnikkaan kahdeksi samankokoiseksi kolmioksi, lause on yhtäpitävä myös suunnikassäännön kanssa. Lause on nimetty Apollonios Pergeläisen mukaan.

Olkoon kolmio ABC ja D piste janalla BC niin, että BD=DC. Piirretään keski(jana) AD.
Merkitään BC=a, AB=b, BC=c, AD=d, BD=DC= m, sekä kulma BDA=θ ja kulma CDA=θ'.
Kosinilauseella saadaan

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\end{aligned}}}$

Summaamalla nämä kaksi yhtälöä saamme Apolloniuksen lauseen

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}+c^{2}&=2m^{2}+2d^{2}\\&=2(m^{2}+d^{2}).\,\end{aligned}}}$

Apolloniuksen lause voidaan ajatella kolmion janoihin piirrettyjen neliöiden summakaavana.
Piirretään kolmion sivuille AB sekä AC neliöt. Neliöiden pinta-alat ovat tällöin (AB)² ja (AC)².
Piirretään seuraavaksi kolmion (keski)janan molemmille puolille neliöt, joiden pinta-alat ovat (AD)². Piirretään lisäksi janoille BD sekä DC neliöt. Näiden neliöiden pinta-alat ovat (BC)² ja (DC)². Nämä neliöt ovat pinta-alaltaan yhtä suuria.
Apolloniuksen lause sanoo, että kahden ensimmäisen neliön pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin neljän viimeisen neliön summa

${\displaystyle {\begin{aligned}AB^{2}+AC^{2}&=2AD^{2}+BD^{2}+CD^{2}\\&=2AD^{2}+2BD^{2}.\,\end{aligned}}}$

• Modern Geometry. University Press, 1908.
• Apollonius Theorem (Arkistoitu – Internet Archive)