Alkulukupari

Alkulukupariksi eli alkulukukaksosiksi kutsutaan kahta alkulukua, joiden erotus on 2. Kymmenen ensimmäistä alkulukuparia ovat (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103) ja (107, 109).^[1]

Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. 14. toukokuuta 2013 Zhang Yitang New Hampshiren yliopistosta julkaisi todistuksen^[2], jonka mukaan on olemassa äärettömän monta alkulukua ${\displaystyle p}$ ja ${\displaystyle p+k}$, missä ${\displaystyle 2\leq k<70000000.}$^[3] Myöhemmin ${\displaystyle k}$:n arvo on saatu pudotettua lukuun 246.^[4]

Kaikki alkulukuparit lukuun ottamatta paria (3, 5) ovat muotoa (6n − 1, 6n + 1), jossa n on luonnollinen luku, jonka täytyy päättyä numeroon 0, 2, 3, 5, 7 tai 8, lukuun ottamatta tapausta n = 1.

Clementin lauseen mukaan^[5] (m, m + 2) on alkulukupari, jos ja vain jos

${\displaystyle 4((m-1)!+1)=-m\mod (m(m+2)).}$

Lisäksi on todistettu seuraava lause:^[6]

Olkoon ${\displaystyle n\geq 3,n\neq 7}$. Tällöin ${\displaystyle n}$ ja ${\displaystyle n+2}$ muodostavat alkulukuparin, jos ja vain jos ${\displaystyle 4(n-3)!+2+n}$ on jaollinen ${\displaystyle n}$:llä muttei ${\displaystyle n+2}$:lla.

Sergusovin lauseen mukaan ${\displaystyle n}$ ja ${\displaystyle n+2}$ ovat alkulukuja jos ja vain jos

${\displaystyle \phi (m)\sigma (m)=(m-3)(m+1)}$, missä ${\displaystyle m=n(n+2)}$ sekä funktio ${\displaystyle \phi }$ Eulerin funktio ja ${\displaystyle \sigma }$ luvun jakajien summan laskeva Sigma funktio.^{[7]selvennä[8]}

Suurin tunnettu alkulukupari on 14. syyskuuta 2016 löydetty ${\displaystyle 2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1}$. Molemmissa alkulukuparin luvuissa on 388 342 numeroa.^[9]

Alkulukupareja arvellaan olevan äärettömän monta, mutta tätä ei ole todistettu. Niiden lukumäärä onkin lukuteorian suurimpia ratkaisemattomia ongelmia. Alkulukupareille on kuitenkin olemassa samankaltainen laskufunktio kuin alkuluvuillekin, ${\displaystyle \pi _{2}(n)}$, joka ilmaisee lukua n pienempien alkulukuparien määrän.

n	${\displaystyle \pi _{2}(n)}$
${\displaystyle 10^{2}}$	8
${\displaystyle 10^{3}}$	35
${\displaystyle 10^{4}}$	205
${\displaystyle 10^{5}}$	1 224
${\displaystyle 10^{6}}$	8 169
${\displaystyle 10^{7}}$	58 980
${\displaystyle 10^{8}}$	440 312
${\displaystyle 10^{9}}$	3 424 506
${\displaystyle 10^{10}}$	27 412 679
${\displaystyle 10^{11}}$	224 376 048
${\displaystyle 10^{12}}$	1 870 585 220
${\displaystyle 10^{13}}$	15 834 664 872
${\displaystyle 10^{14}}$	135 780 321 665

• alkulukukolmikko
• alkulukuserkku