Polttopiste (geometria)
Geometriassa polttopisteet ovat pistepari, jonka avulla eräät käyrät voidaan määritellä. Polttopisteiden avulla voidaan määritellä muun muassa kartioleikkaukset, joiden neljä tyyppiä ovat ympyrä, ellipsi, paraabeli ja hyperbeli. Muita käyriä, jotka voidaan määritellä polttopisteiden avulla, ovat Cassinin käyrä ja Descartesin ovaali.
Kartioleikkaukset ja niiden polttopisteet
Määritelmät kahden polttopisteen avulla
Ellipsi voidaan määritellä niiden pisteiden urana, joiden kahdesta annetusta polttopisteestä mitattujen etäisyyksien summa on annettu vakio.[1]
Ympyrä voidaan käsittää ellipsin erikoistapaukseksi, jossa molemmat polttopisteet yhtyvät. Niinpä ympyrä voidaan yksinkertaisemmin määritellä niiden pisteiden uraksi, joiden etäisyys annetusta polttopisteestä eli ympyrän keskipisteestä on tietty vakio. Toisaalta ympyrä voidaan määritellä myös Apolloniuksen ympyränä eli niiden pisteiden urana, joiden kahdesta annetusta polttopisteestä mitattujen etäisyyksien suhde on vakio.[2]
Paraabeli saadaan ellipsin rajatapauksena, kun toinen polttopiste siirtyy äärettömän kauas.
Hyperbeli voidaan määritellä niiden pisteiden urana, joiden kahdesta annetusta polttopisteestä mitattujen etäisyyksien erotuksen itseisarvo on annettu vakio.[3]
Määritelmät polttopisteen ja johtosuoran avulla
Vaihtoehtoisesti kaikki kartioleikkaukset voidaan määritellä myös yhden polttopisteen ja yhden johtosuoran avulla. Johtosuora on annettu suora, joka ei kulje polttopisteen kautta. Kartioleikkaus on tällöin niiden pisteiden ura, joiden polttopisteestä ja johtosuorasta mitattujen etäisyyksien suhde on annettu vakio,[4] jota sanotaan kartioleikkauksen eksentrisyydeksi e.[5] Jos eksentrisyys on nollan ja yhden välillä, eli käyrän pisteet ovat lähempänä polttopistettä kuin johtosuoraa, kartioleikkaus on ellipsi. Jos se on yksi, on kyseessä paraabeli, ja jos se on suurempi kuin yksi, on kyseessä hyperbeli. Ympyrä saadaan rajatapauksena, jossa käyrän pisteiden etäisyys annetusta pisteestä on vakio ja johtosuoran oletetaan olevan äärettömän kaukana, jolloin eksentrisyys on nolla.
Erityisesti paraabeli voidaan määritellä niiden pisteiden urana, jotka ovat yhtä etäällä annetusta polttopisteestä ja annetusta johtosuorasta.[6]
Tähtitieteellinen merkitys
Gravitaatiolain nojalla voidaan osoittaa, että kahden kappaleen systeemissä kumpikin kappale kiertää systeemin massakeskipisteen ympäri kartioleikkauksen muotoisia ratoja, joiden yhteisenä polttopisteenä on systeemin massakeskipiste. Tärkeänä erikoistapauksena tästä on Keplerin ensimmäinen laki. Koska Auringon massa on moninkertaisesti suurempi kuin planeettojen yhteensäkään, aurinkokunnan massakeskipiste on Auringossa. Tämän vuoksi planeetat kiertävät Aurinkoa ellipsin muotoisia ratoja pitkin, joiden yhteisenä polttopisteenä Aurinko on.[7]
Muita käyriä
Descartesin ovaali on niiden pisteiden ura, joiden kahdesta annetusta polttopisteestä laskettujen etäisyyksien painotettu summa on vakio.[8] Jos molempien etäisyyksien painokertoimet ovat samat, on kyseessä ellipsi.
Cassinin käyrä on niiden pisteiden ura, joiden kahdesta annetusta polttopisteestä mitattujen etäisyyksien tulo on vakio.[9]
Lähteet
- Daniel L. Lapedes: McGraw-Hill Dictionary of Physics and Mathematics. McGraw-Hill Book Company, 1978. ISBN 0-07-045480-9
Viitteet
- ↑ McGraw-Hill, s. 317, hakusana Ellipse
- ↑ McGraw-Hill, s. 155, hakusana Circle of Apollonius
- ↑ McGraw-Hill, s. 467
- ↑ McGraw-Hill, s. 264, hakusana Directrix
- ↑ McGraw-Hill, s. 188, hakusana Eccentricity
- ↑ Otavan iso Fokus, 5. osa (Mo-Qv), s. 3075, art. Paraabeli. Otava, 1973. ISBN 951-1-01070-0
- ↑ McGraw-Hill, s. 528, hakusana Kepler's laws
- ↑ McGraw-Hill, s. 129, hakusana Cartesian oval
- ↑ McGraw-Hill, s. 709, hakusana Oval of Cassini