Zero

Antzinateko zenbait zibilizazio garrantzitsuk, hala nola, Egiptokoak, Babiloniakoak, Greziakoak, Maiak... zeroaren balioa errepresentatzen dituzten sinboloak zituzten dokumentu matematiko edota astronomikoetan. Baina haien zenbaki sistemen berezitasun batzuengatik, ez zuten zenbakiak zeukan potentzial osoa probestu.

 

Egiptoar zenbaki sisteman ondoko sinboloa

erabili zen zeroa irudikatzeko ( Papiro Boulaq 18-an, K.a. 1700 urtean).

Babilonian, lehenengo zeroak K.a. 2000 urtean agertu ziren buztin oholtxoetan, hauek idazkera kuneiformea erabiltzen baitzuten, egosi gabeko buztinean idatziz. Gainera, urteetan zehar, zeroa irudikatzeko erabiltzen zuten sinboloa aldatuz joan zen.

K.a. 400 urte inguru, Babiloniarrak bi falka edo ziri zeinua ipintzen hasi ziren gure sisteman zero bat idatziko genukeen lekuetan, eta «bat baino gehiago» irakurtzen zen. Bi zinu horiek ez ziren izan zeroaren posizioak erakusteko modu bakarra; K.a. 700. urtean datatutako taulatxo batean, Kish-en Babiloniatik ekialdera zegoen Mesopotamia hiri zaharrean aurkitutakoa, hiru falkako zeinua aurkitu zuten. Beste taulatxo batzuetan, berriz, falka bakarra erabili zuten, eta, kasu batzuetan, zeinuaren deformazioa zeroaren antzekoa da.

Erdialdeko Amerikari dagokionez, kristauak heldu baino lehen, maiek zeroaren erabilera zabaldu zuten.

Lehen erabilera dokumentatua, zero zenbakia erakusten duena, K.a. 36. urteari dagokio, maien zenbakiak erabiliz. Posizio-notazioaren hirugarren lekuan gertatutako irregulartasunagatik, aukera operatiboak kendu zitzaizkien.

Claudio Ptolomeo-k Almagesto liburuan, K.o. 130. urtean idatzia, hutsaren edo zeroaren balioa erabiltzen zuen. Ptolomeo-k zeroaren sinboloa digituen artean edo zenbakiaren amaieran erabiltzen zuen. Pentsa liteke zeroa orduan errotu zela, baina kontua da Ptolomeok ez zuela sinboloa zenbaki gisa erabiltzen, baizik eta oharpen-zeinu gisa. Erabilera hori ez zen zabaldu, oso gutxik hartu baitzuten.

Erromatarrek ez zuten zeroa erabili. Haien zenbakiak beren alfabetoko letrak ziren; zifrak adierazteko I, V, X, L, C, D, M erabiltzen zituzten, multzokatuz. 4.000 edo balio handiagoak zituzten zenbakietarako, lerro horizontal bat marrazten zuten zenbakiaren gainean, balioa 1.000rekin biderkatzen zela adierazteko.

Indiako zibilizazioa kokapen-notazioaren sorlekua da, eta ia mundu osoan erabiltzen da XXI. mendean. Baliteke Brahmagupta (VI. mendea) matematikari indiarra izatea zero kontzeptuari buruz teorizatu zuen lehena, ez bakarrik kopuru nulu baten definizio gisa, baizik eta zenbaki negatibo eta positiboetarako batuketa posible gisa ere. Zero indiarraren erabileraren lehen lekukotza 683. urtekoa da: Angkor Waten inskripzio kanbodiar bat, harrian zizelkatua, 605 zenbakia duena^[1]. Beste erabilera-proba batzuk 810. urtearen ingurukoak dira. Gwaliorren inskripzioak 875-876.ean datatuak dira^[2]. Abu Ja 'far Mujammad ibn Musak (Al-khwarizmi), Indioen kalkuluaren bidez gehitzearen eta lapurtzearen tratatua izeneko bere lanean, posizio-zenbaketa hamartarraren printzipioa azaltzen du, zifren jatorri indiarra adieraziz. Forma biribildua duen hamargarren irudia zero da^[3].

Arabiarrek Magrebetik eta Al-Ándalusetik transmititu zuten, ondoren Europa osora pasatuz. Indiar zifrak erakusten dituzten lehen eskuizkribuak (orduan arabiarrak) Espainiako iparraldetik datoz, eta X. mendekoak dira: Codex Vigilanus eta Codex Aemilianensis. Zero ez da testuetan agertzen, kalkuluak abakoarekin egiten baitziren, eta, itxuraz, ez zen beharrezkoa erabiltzea.

Zeroaren lehen erabilerak Frantziari edo Silvestre II.a aita santu eztabaidatuari egozten bazaizkio ere, 1000. urte inguruan, erreferentzia gehienek adierazten dute zeroa (zefhirum izenekoa) Fibonacci matematikari italiarrak sartu zuela Europan XII. mendean, aljebra arabiarra erakutsiz bere Liber abaci (Abakoaren liburua) lanean, nahiz eta sistema berriaren erraztasunagatik, eliz agintariek magikotzat edo deabruarena jo zuten^[4].

Eliza eta kalkulatzaile profesionalen kasta —gehienak, abakoa erabiltzen zuten elizgizonak— aurrez aurre kontrajarri ziren aljebra berriari betoa jarriz, toki batzuetan gehienak XV..mendea arte^[5].

Zeroa «0» zifrarekin irudikatzen da mendebaldeko testuetan. XX. mendetik aurrera, eta bereziki informatikaren garapenarekin, ohikoa da zeinu hori barra diagonal baten bidez (/) ebakita agertzea, notazio berri horrek «o» letrarekin nahastea saihesten baitzuen.

Duela gutxi arte, «o» hautakaritzako juntagailuak «ó» ikurra izan behar zuen zifra artean idatzita zegoenean, 0 zenbaki-zeinuarekin ez nahasteko. Gaur egun, arau hori ez dago indarrean.

 

Koordenatu kartesiarretan, koordenatuen jatorria 0 (zero) balioarekin lotzen da.

Zero, zenbakizko kontzeptu berezia izateagatik, ez zen zenbaki naturalen multzoan sartzen hitzarmen bidez.  ℕ0, gisa irudikatzen zen, zenbaki arrunten multzoari zeroa barne zegoenean; horregatik, liburu asko aurki daitezke, non egileek zero zenbaki naturaltzat hartzen ez duten. Izan ere, oraindik ez dago adostasunik horri buruz.

Matematikari batzuek nahiago dute zenbaki natural bezala tratatzea, horregatik dago desadostasuna.

Batuketan, zeroa elementu neutroa da; hau da, edozein a zenbakiri zeroa batuz berriz a zenbakia lortuko dugu. Adibidez, 25 + 0 = 25.

Kenketan, zeroa elementu neutroa da; halaber, edozein a zenbakiri zeroa kenduz berriz a lortuko dugu, salbuespen bat izan ezik, zeroa kenduran lehenengo gaia denean, orduan -a lortuko dugu.

Biderketan, edozein zenbakiri zero biderkatzen badiogu zeroa lortuko dugu. Adibidez,

25 x 0 = 0.

Zeroa beste zenbaki batzuengatik zatitua izan daiteke, kasu honetan zatiketa horren emaitza zero bera izango da.

 

Zenbaki errealetan (baita konplexuetan) zerogatik zatiketa indeterminazio bat da; horrela, hurrengo adierazpenak ez dute zentzurik:

8/0; 0/0

Hau intuitiboki azal genezake, ez du 'zentzurik' 8 sagar gela huts batean banatzeak. Ezta 0 billete zero pertsona artean banatzeak.

Matematikoki, zeroa da zatitu ezin duen zenbaki bakarra. Horregatik, zeroa da zenbaki erreal bakarra alderantzizkorik ez duena biderketarekiko.

Analisi matematikoan limite mota desberdinen definizioak existitzen dira. Adibidez:

${\displaystyle \lim _{t\to \ 0}{t^{2} \over t}=0}$ 

${\displaystyle \lim _{t\to \ 0}{t \over t}=1}$ 

${\displaystyle \lim _{t\to \ 0}{t \over t^{2}}=\infty }$ 

Hala ere, zenbakitzaile eta izendatzaile bakoitza bere aldetik aztertzen baditugu, guztien limitea zero da. Horregatik esaten da

${\displaystyle 0^{0}}$  indeterminatua dela, emaitza desberdin ugari lor daitezkeelako.

• a ≠ 0 ⇒ ${\displaystyle a^{0}}$ = 1
• n > 0 ⇒ ${\displaystyle 0^{n}}$  = 0

${\displaystyle 0^{0}}$  ez dago berreketa bezala definituta, baina testuinguruaren arabera 0 edo 1 har daiteke emaitza bezala.

• Multzo teorian, zeroa multzo hutsaren kardinala da. Izan ere, multzo teoriako garapen axiomatiko batzuetan, 0 multzo hutsa bezala definituta dago. Hau horrela denean, multzo hutsa elementurik ez duten multzoentzako von Neumann kardinal esleipena da. Multzo hutsari kardinalitate funtzioa aplikatzen badiogu, multzo hutsa bera itzuliko digu balio bezala, modu honetan 0 elementu esleituz.
• Multzo teorian halaber, 0 zenbaki ordinal txikiena da, multzo hutsa ondo ordenatutako multzo bezala kontsideratuz.
• Logika proposizionalean, 0 false egiazko balioa denotatzeko erabil daiteke.
• Aljebra abstraktuan, zero elementua denotatzeko erabiltzen da, batuketarekiko elementu neutroa baita eta biderketarekiko elementu xurgatzailea.
• Kategoria teorian, kategoria baten hasierako objektu bezala definitzen da zeroa batzuetan.

Errekutsio teorian, zeroa funtzio konputagarri partzialentzako Turing-en maila bezala defini daiteke.

• f funtzio baten zeroa, eremuko x puntu bati deitzen zaio non f(x) = 0 den. Zero kopuru finitua dagoenean, hauek funtzioaren erroak direla diogu. Funtzio holomorfoen zeroekin erlazionatuta dago.
• D eremuko zero funtzioa, irteera balio posible bakarra 0 duen funtzio konstantea da; hau da, f(x) = 0 betetzen duena D-n dagoen edozein x-rentzat.
• Matematiketako atal askok erabiltzen dute zero elementua, 0 + x = x  edo 0 x = 0 propietatea orokortzen dutenak.

 

Zero balioak zeregin berezia du fisikako hainbat arlotan. Arlo batzuetan, zero maila gainerako mailetatik bereizten da, eta beste batzuentzat, berriz, zoriz aukeratzen da.

Adibidez, tenperatura absoluturako (kelvinetan neurtua), zero da balio baxuena (tenperatura negatiboak definitzen dira, baina tenperatura negatiboko sistemak ez dira hotzagoak berez). Hori, adibidez, Celsius eskalako tenperaturekin alderatzen da, non zeroa uraren izozte-puntua moduan definitzen den modu arbitrarioan.

Soinu-intentsitatea dezibeletan edo faloietan neurtzeko, zero maila erreferentziazko balio batean ezartzen da arbitrarioki, adibidez, entzumeneko  balio batean. Fisikan, zero puntuko energia, sistema fisiko kuantiko mekaniko batek izan dezakeen energiarik txikiena da, eta lurreko sistemaren energia da.

 

Zeroa proposatua izan da tetraneutronaren zenbaki atomiko bezala. Frogatu da, lau neutroiez osatutako talde bat, nahiko egonkorra izan ahal dela atomo bezala konsideratzeko. Eta, honek, protoirik eta bere nukleoan kargarik gabeko elementu bat sortuko du.

Gizartearen historian zehar, arrunta izan da beti bat zenbakitik hastea zenbatzen eta horrela da ere bai Fortran eta COBOL bezalako programazio informatikoko hizkuntza klasiko goiztiarretan. Hala ere, 1950-eko hamarkadan LISP-ek zeroan oinarritutako hizkuntza matematikoa ezarri zuen matrizeetarako eta aldiz Algol 58-ak hizkuntza matematiko guztiz malgua ezarri zuen matrizeen azpiindizeetarako ( edozein zenbaki oso positibo, negatibo edo zero ahalbidetzen zituen matrizeen azpiindizeen oinarri gisa) eta beranduago heldu ziren beste programazio-hizkuntza gehienak hauetariko baten oinarritu ziren.

Adibidez, matrize baten elementuak 0-tik hasita zenbakitzen dira C-n, beraz, matrize batek n elementu baditu, azpiindizeak 0-tik n-1-era doaz.

0 eta 1 oinarrietan oinarritutako indexazioa nahas daiteke , adibidez Javako JDBC-an indizeen parametroak 1-etik hasten dira nahiz eta Javak 0-n oinarritutako indexazioa erabiltzen duen. Gerta daiteke, datubaseetan eremuren batek baliorik ez izatea, horri balio nulua deritzo. Zenbakizko eremuetan ordea, ez dago zero balioa. Balio nuluak egoteak, hiru balioen logikara eramaten gaitu.

 

Jada, ez da egia edo gezurra den baldintza, zehaztugabea izan daiteke.

Balio nulua duen edozein kalkuluk zeroa bueltatzen du.

Adierazle nulua, objektu edo funtziorik errepresentatzen ez duen programa bateko adierazlea da. C-n, 0 konstante osoa adierazle nulu bihurtzen da.

Matematiketan,-0 eta +0, biek zenbaki bera adierazten dute, hau da, ez da existitzen zeroren desberdina den "zero positibo"-rik ez "zero negatibo"-rik. Hala ere, ordenagailu hardware batzuetan zeroak bi adierazpide ditu, positibo bat zenbaki positiboekin sailkatua eta negatibo bat zenbaki negatiboekin sailkatua; mota honetako adierazpide bikoitza zeinudun zero bezala ezagutzen da. Errepresentazio honek zeinudun magnitudea eta baten konplementu bitar osoa barneratzen ditu, eta puntu flotanteko zenbaki errepresentazio gehienak.

Bitarrean, 0-ak "itzalita" balioa adierazten du, non horrek elektrizitate fluxurik ez dagoela adierazten duen.

Baita, programazio lengoaia askotan zeroa false balioa da.

Unix denbora 1970eko urtarrilaren 1eko gauerditik aurrera hasten da.

 

API eta sistema eragile askok zeroa erabiltzen dute balio oso bat itzultzeko emaitz bezala, eta zero ez diren beste balioak errore espezifiko bat edo alarma egoera adierazteko.

Programaitzaleek sarritan marratxodun zeroa erabiltzen dute "o" letrarekin ez nahasteko.

0 zenbakizko digitua zirkulu edo elipse bezala idazten da. Antzinean, tipografia askok O letra maiuskula 0 digitu eliptikoa baino biribilduagoa egiten zuten. Hasierako idazmakinek ez zuten O eta 0 arteko bereizketarik egiten. Bereizketa nabarmena pantaila modernoekin iritsi zen.

 

Zeroa, 1, ${\displaystyle \pi }$ , ${\displaystyle i}$ , ${\displaystyle e}$  zenbakiekin batera Euler-en identitate ospetsuan agertzen da:

${\displaystyle e^{i\pi }}$  + 1 = 0

• (Gaztelaniaz) Zeroaren historia
• (Ingelesez) Weisstein, Eric W. «Zero». In Weisstein, Eric W, ed. MathWorld. Wolfram Research.
• https://revistas.uptc.edu.co/index.php/praxis_saber/article/view/9847/9288