Modus ponendo ponens

Modus ponendo ponens edo modus ponens^[1] (MP laburtuta) logika proposizionalaren baliozko argumentu eta inferentzia erregela bat da. Laburtuz, “baldin P-k inplikatzen badu Q; eta P egia bada; orduan, Q ere egiazkoa^[2] da.” Modus ponendo ponens-en historia^[3] luzea da.

Formalki, modus ponendo ponens honela adieraz daiteke:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,\;P}{\therefore Q}}}$

Erregelak dio: "P → Q" eta "P" froga logiko batean lerro berdinean badaude, Q hurrengo lerroan idatzi daitekeela. Ikusten denez, P premisa eta inplikazioa deuseztatu egiten dira, bakarrik Q premisa mantentzen da ondoren berrerabili izateko, dedukzio konplexuago batean adibidez.

Modus ponendo ponens-en adibidea:

• Euria egiten badu, antzoki barruan itxarongo zaitut.
• Euria egiten du.
• Ondorioz, antzoki barruan itxarongo zaitut.

Logikan modus ponendo ponens kontzeptu erabilienetariko bat da eta ez da lege logikoekin nahastu behar. Izan ere, froga deduktiboak egiteko mekanismo onartua da, “definizio araua” eta “ordezkapen araua” barne hartzen dituena. Modus ponendo ponens-ek argumentu (aurrekari) baten edo froga logiko baten inplikazioa kentzea ahalbidetzen du, eta ondorioz sinboloz beteriko kate luzea sinpleago gera daiteke. Horregatik, batzuetan modus ponendo ponens banatze araua bezala ezagutzen da. Adibidez, Enderton konturatu zen formula luzeak motzago egin daitezkeela modus ponendo ponens erabilita eta Russellek adierazi zuen inferentzia prozesua ezin dela sinboloetara murriztu. Berari okurritu zitzaion ⊦ Q (atzekaria), modus ponendo ponens inferentzia ez dela egiazko premisa baten abiaraztea, inplikazio baten deuseztatzea baizik.

Modus ponendo ponens modus tollendo tollens-ekin hertsiki erlazionatua dago. Hauek bi argumentu antzeko adierazten dituzte: atzekariaren baieztapena eta aurrekariaren ukapena. Ezbai konstruktiboa modus ponendo ponens-en bertsio hautakaria da. Silogismo hipotetikoa hertsiki erlazionatuta dago modus ponendo ponens-ekin eta batzuetan "modus ponens bikoitza” gisa ezagutzen da.

Modus ponendo ponens-en erregela era honetara idatz daiteke:

${\displaystyle P\to Q,\;P\;\;\vdash \;\;Q}$

non ⊢ sinbolo metalogiko bat den, sistema logiko batean Q P → Q eta P-ren ondorio sintaktiko bat dela adierazten duena;

edo, tautologia baten baieztapen gisa edo logika proposizionalaren teorema gisa:

${\displaystyle ((P\to Q)\land P)\to Q}$

non P eta Q sistema formal batean proposizioak diren.

Argumentuaren formak bi premisa (hipotesi) ditu. Lehenengo premisa baldin-orduan edo baldintzazko erreklamazioa da, hau da, P-k Q inplikatzen duela. Bigarren premisak adierazten du P, baldintzazko erreklamazioaren aurrekaria, egiazkoa dela. Bi premisa hauetatik abiatuta, ondoriozta dezakegu Q, baldintzazko erreklamazioaren atzekaria, egiazkoa dela baita ere. Adimen artifizialean, modus ponens aurrerako kateatzea bezala ezagutzen da.

Hona hemen modus ponens motarekin bat datorren argumentu bat:

• Gaur asteartea baldin bada, Joxe lanera joango da.
• Gaur asteartea da.
• Ondorioz, Joxe lanera joango da.

Honako argumentu hau baliozkoa da, baino honek ez du zerikusirik argumentuko proposizioren bat egiazkoa izatearekin; modus ponens argumentu sendo bat izan dadin, premisak egiazkoak izan behar dute ondorioaren edozein egiazko kasuetarako. Argumentu bat baliozkoa izan daiteke, baina, ez oso sendoa premisetako bat edo gehiago faltsuak badira; argumentu bat baliozkoa bada eta premisa guztiak egiazkoak, orduan argumentua sendoa izango da. Aurreko kasuan, argumentua sendoa izango da soilik astearteetan (Joxe lanera joaten denean), baina baliozkoa izango da asteko egun guztietan. Modus ponens erabilitako argumentu proposizional bat deduktiboa dela esan dezakegu.

Ondorio bakarreko kalkulu sekuentzialean, modus ponens mozketaren erregela da. Kalkulu baterako mozketaren ezabatzearen teoremak dio mozketa inplikatzen duen edozein froga (gehienetan, era konstruktiboan) mozketarik bateko froga batean bilaka daitekeela, eta bertatik dator mozketa onargarria izatea.

Froga eta programen arteko Curry–Howarden korrespondentziak modus ponens eta aplikazio funtzioa erlazionatzen ditu: baldin f P → Q motako funtzioa bada eta x P motakoa bada, orduan f(x) Q motakoa da.

Edozein modus ponens erregela modus tollens erregela eta iraulketa batekin froga daiteke. Hona hemen froga:

1. P → Q

2. P /∴ Q

3.~Q → ~P 1 Transposizioa

4.~~ P 2 Ezeztapen bikoitza

5.~~ Q 3,4 Modus tollens

6. 5 Ezeztapen bikoitza

Egia–taula baten bidez argi eta garbi adieraz daiteke logika klasikoan modus ponens-aren baliozkotasuna.

Modus ponens kasuetan premisa gisa hartzen da p → q egiazkoa dela eta p egiazkoa dela. Soilik lerro batek (lehenengoak) betetzen ditu bi baldintza hauek (p eta p → q). Lerro honetan, q ere egiazkoa da. Ondorioz, p → q egiazkoa eta p egiazkoa diren bakoitzean, q-k ere egiazkoa izan behar du.

Urratsa	Proposizioa	Deribazioa
1	${\displaystyle P\rightarrow Q}$	Premisa
2	${\displaystyle P}$${\displaystyle }$	Premisa
3	${\displaystyle \neg P\lor Q}$	Inplikazio materiala (1)
4	${\displaystyle Q}$	Modus tollendo tollens (2,3)

•  Modus tollendo tollens
•  Modus tollendo ponens
•  Modus ponendo tollens
• Dedukzioren justifikazio arazoa
• Dedukziozko arrazoibidea

• Alfred Tarski 1946 Introduction to Logic and to the Methodology of the Deductive Sciences 2. edizioa, reprinted by Dover Publications, Mineola NY. ISBN 0-486-28462-X (pbk). (Ingelesez)
• Alfred North Whitehead y Bertrand Russell 1927 Principia Mathematica to *56 (Bigarren edizioa) boltsiko edizioa 1962, Cambridge at the University Press, Londres, Erresuma Batua . No ISBN, no LCCCN. (Ingelesez)
• Herbert B. Enderton, 2001, A Mathematical Introduction to Logic Second Edition, Harcourt Academic Press, Burlington MA, ISBN 978-0-12-238452-3. (Ingelesez)

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001),[1]
• [2] (Ingelesez)
• Wolfram MathWorld [3] (Ingelesez)