Itxaropen matematiko

Itxaropen matematikoa, esperantza matematikoa edo itxarondako balioa zorizko aldagai baten batezbesteko balioa da, dagozkion probabilitateen arabera kalkulaturik. Intuitiboki, zorizko saiakuntza behin eta berriz errepikatuz epe luzera suertatuko litzatekeen emaitzen batez besteko balioa da, epe luzera itxaron edo espero daitekeen batez besteko emaitza alegia.

Estatistikan maiz erabiltzen den kontzeptua da: probabilitate-banaketa bateko ezaugarri jakingarrienetako bat da, parametro ezezagun gisa hartzen dena eta datuetan baliokide duen batezbesteko aritmetiko sinplearen bitartez zenbatesten dena. Matematikan, neurri-teoriatik formulazio matematiko zorrotza du eta, aldi berean, maiz erabiltzen da problema aplikatuetan, hala nola ekonomia arloko erabakien azterketan. Zorizko jokoetan ere maiz kalkulatzen da, jokalari batek jokaldi bateko batezbesteko emaitza jakiteko. Erabaki eta jokoen eremu horietako paradoxa zenbaitetan ere agertzen da, hala nola San Petersburgo paradoxan eta Allaisen paradoxan. Halaber, baliteke mutur luzeak dituzten probabilitate banakuntzetan ez existitzea.

Bedi ${\displaystyle \Omega }$ zorizko aldagaiak hartzen dituen balio ezberdin guztien multzoa. Itxaropen matematikoa honela kalkulatzen da:

${\displaystyle \mu =E[X]=\sum _{\Omega }xp(x)}$

Bi dado bota eta puntuen baturaren itxaropen matematikoa honela kalkulatzen da. arestiko formulan adierazten den bezala x (puntuazioak) eta p(x) (probabilitateak) hurrenik hurren bidertuz eta emaitzak batuz:

x	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	batura
p(x)	1/36	2/36	3/36	4/36	5/36	6/36	5/36	4/36	3/36	2/36	1/36	1
xp(x)	2/36	6/36	12/36	20/36	30/36	42/36	40/36	36/36	30/36	22/36	12/36	252/36=7

Ondorioz, bi dado botata, puntuazioen itxaropen matematikoa 7 da.

Bitez ${\displaystyle \Omega }$ zorizko aldagaiak hartzen duen balioen tartea eta f(x) probabilitate banaketa definitzen duen dentsitate-funtzioa. Itxaropen matematikoa honela kalkulatzen da:

${\displaystyle \mu =E[X]=\int _{\Omega }xf(x)dx}$

Likido batean litroko dagoen substantzia-kopurua (mg) probabilitate-banaketa honen araberakoa da (ikus alboko irudia):

${\displaystyle f(x)={\frac {2}{3}}-{\frac {2}{9}}x\ ;\ \ 0<x<3}$

Honela kalkulatzen da itxaropena:

${\displaystyle \mu =E[X]=\int _{0}^{3}x{\Big (}{\frac {2}{3}}-{\frac {2}{9}}x{\Big )}dx=1}$

X zorizko aldagaia izanik, Y=aX+b aldagai aldaketa lineala egiten bada:

${\displaystyle E[Y]=aE[X]+b}$

X₁, X₂, ...,X_n zorizko aldagaiak izanik, horien baturaren itxaropena horien itxaropenen batura da:

${\displaystyle E[X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}]=E[X_{1}]+E[X_{2}]+\ldots +E[X_{n}]}$

• Itxaropen matematikoa eta bariantza, Gizapedian.