Aksioom

Matemaatilises loogikas eristatakse kahte aksioomitüüpi: loogiline aksioom ja loogikavaba aksioom.

Need on formaalses keeles kindlad valemid, mis on üldkehtivad, st valemid, mida rahuldavad ükskõik millised väärtused.

Lausearvutuses on tavaks loogilisteks aksioomideks võtta kõik valemid järgmistest vormidest, kus ${\displaystyle \phi }$ , ${\displaystyle \chi }$ , ja ${\displaystyle \psi }$  võivad olla mis tahes keele valemid ja kus lauseloogika formaalse keele konnektorid on ainult kas "${\displaystyle \neg }$ " vahetult järgneva propositsiooni ehk lause eitamiseks või "${\displaystyle \to }$ " implikatsioon eelnevast propositsioonist järgnevasse propositsiooni^[6]:

1. ${\displaystyle \phi \to (\psi \to \phi )}$ 
2. ${\displaystyle (\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi ))}$ 
3. ${\displaystyle (\lnot \phi \to \lnot \psi )\to (\psi \to \phi ).}$ 

Need on aksiomaatilised skeemid ehk reeglid, mille alusel saab koostada lõpmatu arvu teisi aksioome. Näiteks, kui ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ja ${\displaystyle C}$  on lausearvutuses muutujad, siis ${\displaystyle A\to (B\to A)}$  ja ${\displaystyle (A\to \lnot B)\to (C\to (A\to \lnot B))}$  on mõlemad 1. aksiomaatilise skeemi näited, ning on ka järelikult aksioomid. On võimalik näidata, et ainult nende kolme aksiomaatilise skeemi ja modus ponens järeldusreegli kaudu saab tõestada kõik lausearvutuslikud tautoloogiad. Samuti on võimalik tõestada, et ükski paar nendest kolmest skeemist ei ole piisav tõestamaks kõiki tautoloogiaid modus ponens järeldusreegliga. Teised aksiomaatilised skeemid sisaldades samu või teisi lauseloogika konnektoreid on sarnaselt moodustatavad.^[7] Sellised aksiomaatilised skeemid on kasutusel ka predikaatarvutuses, aga kvantifikatsiooni lisamiseks arvutusse on vaja täiendavaid loogilisi aksioome.^[8]

Loogikavabad aksioomid on valemid, mis täidavad teooriaspetsiifiliste eelduste rolli. Kahe erineva struktuuri, näiteks naturaalarvude ja täisarvude kohta järelduste tegemine võib hõlmata samu loogilisi aksioome; loogikavabade aksioomide eesmärk on aga näidata, mis eristab kindla struktuuri (või struktuuride gruppi) teistest. Seega ei ole loogikavabad aksioomid erinevalt loogilistest aksioomidest tautoloogiad. Loogikavabu aksioome nimetatakse ka postulaatideks.^[9] Peaaegu iga tänapäevane matemaatiline teooria algab teatud loogikavabade aksioomide kogust. Loogikavabu aksioome nimetatakse matemaatikas tihti ka lihtsalt aksioomideks. See ei tähenda, et neid peetakse täielikult tõeseks. Näiteks on mõnes rühmas rühmaoperatsioon kommutatiivne ja seda saab kinnitada täiendava aksioomi kasutuselevõtmisega, kuid ilma selle aksioomita suudame välja töötada üldisema rühmteooria. Seega on aksioom põhiliseks aluseks formaalsele loogikasüsteemile, mis koos järelduste reeglitega määratleb deduktiivse süsteemi.

Peano aksioomid on ühed enimkasutatavad aksiomatiseeringud predikaatloogikast. Nad on aksioomide kogumid, mis on piisavalt tugevad, et tõestada mitmeid olulisi väiteid arvuteooriast. Nende abil sai Kurt Gödel tõestatud oma teise mittetäielikkuse teoreemi.^[10] Olgu antud keel ja signatuur ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{NT}=\{0,S\}}$ , kus ${\displaystyle 0}$  on konstant ja ${\displaystyle S}$  on unaarne tehe, ja järgnevad aksioomid:

1. ${\displaystyle \forall x.\lnot (Sx=0)}$ 
2. ${\displaystyle \forall x.\forall y.(Sx=Sy\to x=y)}$ 
3. ${\displaystyle (\phi (0)\land \forall x.\,(\phi (x)\to \phi (Sx)))\to \forall x.\phi (x)}$  iga valemi ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{NT}}$  ühe vabamuutuja ${\displaystyle \phi }$  kohta.

Harilik struktuur on ${\displaystyle {\mathfrak {N}}=\langle \mathbb {N} ,0,S\rangle }$  kus ${\displaystyle \mathbb {N} }$  on naturaalarvude hulk, ${\displaystyle S}$  on järglaste leidmise funktsioon ja ${\displaystyle 0}$  tõlgendatakse numbrina 0.

Vana-Kreeka filosoofias nimetati aksioomiks niisugust väidet, mille tõesus on arusaadav ilma tõestuseta.

Francis Bacon nimetas aksioomideks loodusseadusi väljendavaid teaduslikke üldistusi.

Epistemoloogias tähendab aksioom enesestmõistetavat tõde, millel muu teadmine peab põhinema. Tänapäeval on usk niisuguste aksioomide olemasolusse hääbumas.

• Hüpotees
• Lemma
• Teooria
• Teoreem
• Väide
• Algprintsiip