Osaline järjestus

Osaline järjestus on matemaatikas binaarne seos, mis on refleksiivne, antisümmeetriline ja transitiivne. Sageli nimetatakse osalist järjestust ka lihtsalt järjestuseks ehk järjestusseoseks. Osalist järjestust tähistatakse tavaliselt sümboliga ≤.

Eelnevalt defineeritud seost nimetatakse ka mitterangeks osaliseks järjestuseks. Sellele vastandub siis range osaline järjestus (mida sageli nimetatakse ka lihtsalt rangeks järjestuseks), mis on defineeritud kui irrefleksiivne ning transitiivne binaarne seos. Ranget järjestust tähistatakse enamasti märgiga <.

Osutub, et kui X on mingi hulk ning ≤ on mitterange järjestus hulgal X, siis järgnevalt defineeritud seos < on range järjestus hulgal X: × < y, kui × ≤ y ning × ≠ y. Vastupidi, kui < on range järjestus hulgal X, siis saame hulgal X defineerida mitterange järjestusseose ≤ nõnda: × ≤ y, kui × < y või × = y. Nii saab defineerida mingil hulgal rangete osaliste järjestuste ning mitterangete osaliste järjestuste vahel loomuliku üksühese vastavuse. Seetõttu peetakse sageli enesestmõistetavaks, et kui hulgal on defineeritud mitterange osaline järjestus ≤, siis on defineeritud seal ka sellele vastav mitterange järjestus < ning vastupidi.

• Naturaalarvude hulga loomulik järjestus ≤ on osaline järjestus, sest
  1. mis tahes naturaalarvu a korral: a ≤ a
  2. kui mingi naturaalarvude paari a ja b korral: a ≤ b ja b ≤ a, siis a=b.
  3. kui mingite kolme naturaalarvu a, b ja c korral a ≤ b ja b ≤ c, siis a ≤ c.

Naturaalarvude loomulikule mitterangele osalisele järjestusele ≤ vastab seejuures naturaalarvude loomulik range osaline järjestus <.

• Mistahes hulga potentshulgal defineeritud alamhulgaks olemise seos ⊆ on osaline järjestus.