Sõlmepingemeetod

Sõlmepingemeetod (inglise keeles node-voltage analysis), ka sõlmepotentsiaalimeetod (saksa keeles Knotenpotentialverfahren), on elektrotehnikas ahelaanalüüsi meetod. Selle meetodiga saab määrata lineaarsete komponentidega elektriahela sõlmepotentsiaalid ja siis arvutada voolud ahela harudes.

Vaatleme samm-sammult, mida on vaja teha otsitavate väärtusteni jõudmiseks. See protseduur kehtib ka komplekssuuruste puhul eeldusel, et kõik ahela komponendid on lineaarsed, s.t nende parameetrid ei sõltu pingest ega voolust.

Ahela jaoks, millel on k sõlme, läheb vastavalt Kirchhoffi esimesele seadusele (vooluseadusele) vaja k−1 sõltumatut sõlmevõrrandit. Ühe sõlme jaoks ei pea võrrandit koostama, sest selle saab koostada teiste sõlmede võrranditest. See sõlm võetakse harilikult nullpotentsiaaliga baassõlmeks ja selle saab suvaliselt valida. Otstarbekas on valida baassõlm harul, millel tekkivat pingelangu soovitakse teada saada, sest ühe sõlme potentsiaal on siis juba kindlaks määratud (0 V). Kõik ülejäänud potentsiaalid – sõltumatud muutujad – on veel teadmata. Sõltuvad muutujad (voolud, võimsused) leitakse sõlmepingete kaudu.

Haruvoolud väljendatakse haru juhtivuse ja sõlmepinge korrutisena. Seetõttu on vaja asendada harutakistused nende juhtivusega ja pingeallikad muuta Nortoni teoreemi kohaselt samaväärseteks vooluallikateks:

${\displaystyle G_{ij}={\frac {1}{R_{ij}}}}$

${\displaystyle I_{q_{ij}}=U_{q_{ij}}\cdot G_{ij}}$

Juhtivuste maatriks koostatakse järgmiselt:

• põhidiagonaalil ${\displaystyle \forall \,i,j}$, kus ${\displaystyle i=j}$ on kõigi nende harude juhtivuste summa, mis on ühendatud sõlmega ${\displaystyle i}$.
• Teistes positsioonides ${\displaystyle \forall \,i,j}$, kus ${\displaystyle i\neq j}$, on naabersõlmede ${\displaystyle i}$ ja ${\displaystyle j}$ vaheliste juhtivuste summa negatiivne (sidestusjuhtivus). Kui kahe sõlme vahel otseühendus puudub, sisestatakse sellesse kohta null.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}G_{11}&-G_{12}&\dots &-G_{1n}\\-G_{21}&G_{22}&\dots &-G_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\-G_{n1}&-G_{n2}&\dots &G_{nn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\\\vdots \\\varphi _{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\\\vdots \\I_{n}\end{pmatrix}}}$

Juhtivuste maatriks on sümmeetriline maatriks. Järelikult on vastassuunalised sidestusjuhtivused (põhidiagonaali suhtes) identsed ${\displaystyle \left(G_{ij}=G_{ji}\,\forall \,i,j\right.}$ ja ${\displaystyle \left.i\neq j\right)}$. See peab nii olema, sest need sidestusjuhtivused on mõlemal juhul samade sõlmede vahel. Erinevalt põhidiagonaali positiivsetest kumulatiivsetest juhtivustest on kõik sidestusjuhtivused negatiivsed.

Võrrandisüsteemi teisel poolel asuv sõlmevoolude vektor ${\displaystyle I_{i}}$ sisaldab nende ekvivalentsete vooluallikate summat, millega vastav sõlm on ühendatud. Sissevoolavad voolud on positiivsed, väljavoolavad voolud negatiivsed. Kui sõlmega pole ühendatud ühtegi allikat, sisestatakse null.

Haruvoolu arvutamiseks peavad olema teada kahe kõrvuti asetseva sõlme potentsiaalid (φ_i ja φ_j) . Selleks lahendatakse ühe potentsiaali jaoks võrrandisüsteem. Seda tehakse kas Crameri reegli või Gaussi elimineerimismeetodi abil. Kui üks neist kahest on baassõlm, tuleb arvutada ainult üks potentsiaal. Haru pinge arvutatakse tavaliselt sõlmepotentsiaalide erinevusest selliselt, et selle harupinge suund ühtib otsitava voolu eeldatava suunaga. Vastavalt Kirchhoffi teisele seadusele tuleb harus oleva mistahes pingeallika väärtus lahutada haru pingest, kui see ühtib haru pinge suuna, või lisada, kui selle suund on vastupidine. Seejärel jagatakse tulemus otsitava voolu saamiseks haru takistusega või korrutatakse haru juhtivusega. Positiivne haruvoolu suund ühtib sõlmepotentsiaalide erinevuse (pingelanguse) suunaga, negatiivse haruvoolu suund on vastupidine:

${\displaystyle I_{ij}={\frac {\varphi _{i}-\varphi _{j}\pm U_{q_{ij}}}{R_{ij}}}=\left(\varphi _{i}-\varphi _{j}\pm U_{q_{ij}}\right)\cdot G_{ij}}$

Leiame sõlmepinge meetodit samm-sammult rakendades kõrval oleva skeemiga elektriahela voolu ${\displaystyle I_{6}}$.

Valime sõlme, millega otsitava voolu ${\displaystyle I_{6}}$ haru on ühendatud, nullpotentsiaaliga baassõlmeks. Skeemil on selleks alumine sõlm. Varustame ülejäänud kolm sõlme tähistega ${\displaystyle \varphi _{1}}$, ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ja ${\displaystyle \varphi _{3}}$.

Ahelas on kaks pingeallikat ja üks vooluallikas. Pingeallikad teisendatakse samaväärseteks vooluallikateks:

${\displaystyle I_{q1}={\frac {U_{q1}}{R_{3}}}}$ ja ${\displaystyle I_{q3}={\frac {U_{q3}}{R_{6}}}}$

Tuleb tähele panna, et vooluallikate jaoks on näidatud korrektne voolu suund. Lisaks ei ole vool läbi ${\displaystyle G_{6}}$ enam võrdne vooluga ${\displaystyle I_{6}}$, sest see jaguneb nüüd harudesse ${\displaystyle G_{6}}$ ja ${\displaystyle I_{q3}}$. Kui ka takistused asendada nende juhtivusväärtustega, saame alumise skeemi.

Vastavalt ülaltoodud reeglitele koostame Võrrandisüsteemi maatrikskujul:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}G_{1}+G_{2}+G_{3}+G_{4}&-G_{4}ja-G_{3}\\-G_{4}jaG_{4}+G_{5}+G_{6}ja-G_{5}\\-G_{3}&-G_{5}&G_{3}+G_{5}+G_{7}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\\\varphi _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-I_{q1}+I_{q2}\\-I_{q2}+I_{q3}\\I_{q1}\end{pmatrix}}}$

Kuna baaspinge on juba teada, on vaja ainult potentsiaali ${\displaystyle \varphi _{2}}$. Selle arvutamiseks on olemas mitmeid lineaarsete võrrandisüsteemide lahendusmeetodeid.

Nullpotentsiaali väljendame väärtusega 0 V. Potentsiaalide vahe moodustamisel lähtume voolu ${\displaystyle I_{6}}$ eeldatavast suunast. Potentsiaalide vahele tuleb lisada pingeallika väärtus ${\displaystyle U_{q3}}$.

Potentsiaalide vahe ja takistuse ${\displaystyle R_{6}}$ järgi saamegi Ohmi seaduse abil arvutada otsitava voolu:

${\displaystyle I_{6}={\frac {0-\varphi _{2}+U_{q3}}{R_{6}}}}$.

Sõlmepingemeetod sobib hästi maatriksi lahendusvektori arvutipõhiseks arvutamiseks, sest selle lineaarse võrrandisüsteemi on lihtsam programmeerida kui kontuurvoolumeetodit kasutades. Seetõttu on sõlmepingemeetod enamiku lineaarsete elektriahelate analüüsi arvutiprogrammide aluseks. Kasutatava ahelaanalüüsi meetodi optimaalne valik sõltub aga elektriahela struktuurist (harude arv võrreldes sõlmede arvuga) ja on praktikas iga võrgu puhul individuaalne.

Modifitseeritud arvutipõhine sõlmeanalüüs hõlmab ka mittelineaarsete komponentidega (transistorid) ahelate arvutamist.

• Kontuurvoolumeetod