Ecuación de tercer grado

Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por los antiguos babilonios, griegos, chinos, indios y egipcios.^[4]​^[5]​^[6]​ Se han encontrado tabletas cuneiformes con tablas para calcular cubos y raíces cúbicas, datadas en el imperio babilónico (siglos XX a XVI a. C.).^[7]​^[8]​ Los babilonios podrían haber usado las tablas para resolver ecuaciones cúbicas, pero no existe evidencia para confirmar que lo hicieran realmente.^[9]​ El problema de la duplicación del cubo involucra la ecuación cúbica más simple y más antigua estudiada, para la que los antiguos egipcios no creían que existiera una solución.^[10]​ En el siglo V a. C., Hipócrates redujo este problema al encontrar dos medias proporcionales entre un segmento y otro de dos veces su longitud, pero no lo pudo resolver solo con regla y compás,^[11]​ una tarea que, ahora se sabe, es imposible.

Métodos para resolver ecuaciones cúbicas aparecen en el Jiuzhang Suanshu, un texto matemático chino compilado alrededor del siglo II a. C., comentado por Liu Hui en el siglo III.^[5]​ En el siglo III, el matemático griego Diofanto de Alejandría encontró soluciones enteras o racionales para algunas ecuaciones de tercer grado y dos variables (ecuaciones diofánticas cúbicas).^[6]​^[12]​ Hipócrates de Quíos, Menecmo y Arquímedes se acercaron a resolver el problema de duplicar el cubo usando intersección de curvas cónicas,^[11]​ aunque historiadores como Reviel Netz discuten si los griegos abordaran las ecuaciones cúbicas generales, o si solo consideraban problemas concretos. Algunos otros, como T. L. Heath, que tradujo todos los trabajos de Arquímedes, no están de acuerdo y presentan evidencias de que Arquímedes realmente resolvió ecuaciones cúbicas usando intersecciones de dos cónicas, y que también discutió las condiciones en las que las raíces son 0, 1 o 2.^[13]​

 

En el siglo VII, el astrónomo y matemático de la dinastía Tang, Wang Xiaotong, en su tratado matemático titulado Jigu Suanjing, estableció y resolvió numéricamente de forma sistemática 25 ecuaciones cúbicas de la forma x³ + px² + qx = N, 23 de ellas con p, q ≠ 0 y dos de ellas con q = 0.^[14]​...

En el siglo XI, el poeta-matemático persa, Omar Jayam (1048-1131), realizó un progreso significativo en la teoría de las ecuaciones cúbicas. En un texto antiguo, descubrió que una ecuación cúbica puede tener más de una solución y declaró que no se puede resolver utilizando solo la regla y el compás. También encontró una solución geométrica.^[15]​^[16]​ En su trabajo posterior, el "Tratado sobre la demostración de problemas de álgebra", escribió una clasificación completa de ecuaciones cúbicas con soluciones geométricas generales encontradas mediante la intersección de secciones cónicas.^[17]​^[18]​

En el siglo XII, el matemático indio Bhaskara II intentó hallar la solución general de ecuaciones cúbicas sin éxito. Sin embargo, dio un ejemplo de una ecuación cúbica: x³ + 12x = 6x² + 35.^[19]​ En el siglo XII, otro matemático persa, Sharaf al-Din al-Tusi (1135–1213), escribió el Al-Muʿādalāt (Tratado sobre ecuaciones), en el que describió ocho tipos de ecuaciones cúbicas con soluciones positivas y cinco tipos de ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas. Utilizó lo que luego se conocería como el "método de Ruffini-Horner" para aproximar numéricamente las raíces de una ecuación cúbica. También utilizó los conceptos de extremos de una función para resolver ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas,^[20]​ y entendió la importancia del discriminante de la ecuación cúbica para encontrar soluciones algebraicas para ciertos tipos de ecuaciones cúbicas.^[21]​

En su libro "Flos", Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci (1170–1250), pudo aproximar la solución positiva de la ecuación cúbica x³ + 2x² + 10x = 20. Escribiendo en numeración sexagesimal dio el resultado como 1,22,7,42,33,4,40 (equivalente a 1 + 22/60 + 7/60² + 42/60³ + 33/60⁴ + 4/60⁵ + 40/60⁶), que tiene un error de aproximación del orden de 10⁻⁹.^[22]​

A principios del siglo XVI, el matemático italiano Scipione del Ferro (1465-1526) encontró un método para resolver una clase de ecuaciones cúbicas, a saber, las de la forma x³ + mx = n. De hecho, todas las ecuaciones cúbicas se pueden reducir a esta forma si se permite que m y n sean negativas, pero por entonces se desconocían los números negativos. Del Ferro mantuvo su logro en secreto hasta justo antes de su muerte, cuando se lo reveló a su estudiante Antonio Maria Del Fiore.

 

En 1530, Niccolò Fontana Tartaglia (1500-1557) recibió dos problemas en ecuaciones cúbicas remitidos por Zuanne da Coi y anunció que podía resolverlos. Pronto fue desafiado por Antonio Fiore, lo que llevó a un famoso concurso disputado entre los dos en 1535. Cada concursante tenía que aportar una cierta cantidad de dinero y proponer una serie de problemas para que su rival los resolviera. Quien resolviera más problemas en 30 días obtendría todo el dinero. Tartaglia recibió preguntas en la forma x³ + mx = n, ecuaciones para las que había elaborado un método general. Fiore recibió preguntas en la forma x³ + mx² = n, que resultaron ser demasiado difíciles de resolver para él, y Tartaglia ganó el concurso.

Posteriormente, Tartaglia fue persuadido por Gerolamo Cardano (1501–1576) para que le revelara su método secreto de resolver ecuaciones cúbicas. En 1539, Tartaglia lo hizo solo con la condición de que Cardano nunca lo revelara y de que si escribía un libro sobre cúbicas, le daría tiempo a Tartaglia para publicar su descubrimiento. Algunos años después, Cardano se enteró de la existencia del trabajo anterior de Scipione del Ferro, y publicó el método de este último en su libro Ars Magna en 1545, lo que significaba que Cardano le concediera a Tartaglia seis años para publicar sus resultados (con crédito otorgado a Tartaglia por una solución independiente). La promesa de Cardano a Tartaglia decía que no publicaría el trabajo de Tartaglia, pero Cardano defendió que estaba publicando el procedimiento de Del Ferro, justificando así evitar cumplir su promesa. Sin embargo, Tartaglia retó a Cardano a un concurso matemático, a lo que este se negó. El desafío fue finalmente aceptado por el estudiante de Cardano Lodovico Ferrari (1522-1565). Ferrari lo hizo mejor que Tartaglia en la competición, y Tartaglia perdió tanto su prestigio como sus ingresos.^[23]​

Cardano notó que el método de Tartaglia a veces requería que extrajera la raíz cuadrada de un número negativo. Incluso incluyó un cálculo con estos números complejos en su Ars Magna, pero realmente no lo entendió. Rafael Bombelli estudió este tema en detalle^[24]​ y por lo tanto, a menudo se le considera el descubridor de los números complejos.

François Viète (1540–1603) obtuvo de forma independiente la solución trigonométrica para la ecuación cúbica con tres raíces reales, y René Descartes (1596–1650) amplió el trabajo de Viète.^[25]​

 

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Se escribe de la siguiente manera:

${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$ 

donde los coeficientes son números racionales y siempre a es distinto de 0.^[26]​

Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones tienen como elementos a los números reales.

La derivada de una función cúbica es una función cuadrática y su integral, una función cuártica.

La ecuación cúbica es la ecuación que resulta de igualar a cero la función cúbica, y tiene la forma canónica:

(1)${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ 

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un anillo (enteros) o campo, usualmente el campo de los números reales o el de los números complejos. Las soluciones están generalmente en un cuerpo que incluye al anillo de los coeficientes.^[27]​

Resulta importante y a la vez esencial obtener propiedades elementales de los polinomios como herramientas de análisis en los resultados según los valores de sus coeficientes. Cualquier ecuación cúbica (1) con coeficientes reales tiene al menos una solución x sobre los números reales; esta es una consecuencia del teorema del valor intermedio. Se pueden distinguir varios posibles casos, usando para ello el discriminante,

${\displaystyle \Delta =18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}.\,}$ 

Los siguientes casos necesitan ser considerados:^[28]​

• Si ${\displaystyle \Delta >0}$ , entonces la ecuación tiene tres raíces reales distintas.
• Si ${\displaystyle \Delta =0}$ , entonces la ecuación tiene raíces múltiples y todas sus raíces son reales (puede ser una raíz triple o una doble y otra simple).
• Si ${\displaystyle \Delta <0}$ , entonces la ecuación tiene una raíz real y dos raíces complejas -no reales- conjugadas.

Las primeras ecuaciones de tercer grado que se intentaron resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran en ${\displaystyle \mathbb {C} }$ , extensión algebraica cerrada de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . La distinción aparece cuando se calcula el discriminante de la ecuación. Se puede notar que siempre hay por lo menos una solución real, independientemente de que el discriminante ${\displaystyle \Delta }$  sea mayor, menor o igual a cero. Se debe a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en ${\displaystyle +\infty }$  y ${\displaystyle -\infty }$  y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones continuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios.

Dado que se sabe que al menos habrá una solución real, también es posible resolverla aproximadamente con métodos numéricos, como por ejemplo el método de Newton-Raphson.

Si los coeficientes de una ecuación cúbica son números racionales, se puede obtener una ecuación equivalente con coeficientes enteros, multiplicando todos los coeficientes por un mínimo común múltiplo de sus denominadores. Tal ecuación

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}$  (Ejemplo)

con coeficientes enteros, se dice que es reducible si el polinomio del lado izquierdo es el producto de polinomios de grados inferiores. Por el lema de Gauss, si la ecuación es reducible, se puede suponer que los factores tienen coeficientes enteros.

Encontrar las raíces de una ecuación cúbica reducible es más fácil que resolver el caso general. De hecho, si la ecuación es reducible, uno de los factores debe tener el grado uno y, por lo tanto, tener la forma

${\displaystyle qx-p}$ 

con q y p siendo números coprimos. El teorema de la raíz racional permite encontrar q y p examinando un número finito de casos (porque q debe ser un divisor de a y p debe ser un divisor de d).

Por lo tanto, una raíz es ${\displaystyle \textstyle x_{1}={\frac {p}{q}},}$  y las otras raíces son las raíces del otro factor, que pueden encontrarse por división polinomial. Este otro factor es

${\displaystyle {\frac {a}{q}}x^{2}+{\frac {bq+ap}{q^{2}}}x+{\frac {cq^{2}+bpq+ap^{2}}{q^{3}}}}$ 

(Los coeficientes parecen no ser enteros, pero deben ser enteros si p / q es una raíz del polinomio).

Entonces, las otras raíces son las raíces de esta ecuación cuadrática y se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática.

Los polinomios de la forma

${\displaystyle z^{3}+pz+q}$ 

se dice que están reducidos. Son mucho más simples que las ecuaciones cúbicas generales, pero son fundamentales, porque el estudio de cualquier cúbica puede reducirse por un simple cambio de variable al de una cúbica reducida.

Sea

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ 

una ecuación cúbica. El cambio de variable

${\displaystyle x=z-{\frac {b}{3a}}}$ 

da como resultado una cúbica que no tiene término en z². Después de dividir por a se obtiene la ecuación cúbica reducida

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0,}$ 

con

${\displaystyle {\begin{aligned}z=&x+{\frac {b}{3a}}\\p=&{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}\\q=&{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.\end{aligned}}}$ 

Las raíces ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$  de la ecuación original están relacionadas con las raíces ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$  de la ecuación reducida por las relaciones

${\displaystyle x_{k}=z_{k}-{\frac {b}{3a}},}$ 

para k = 1, 2, 3

Partiendo de la ecuación polinómica

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ 

dividiendo entre a y haciendo una transformación de Tschirnhaus (sustituyendo ${\displaystyle x=z-{\tfrac {b}{3a}}}$ ) se elimina de la forma normal el término cuadrático, y como ya se ha señalado, se obtiene la forma reducida:

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0,}$ 

con lo cual,

${\displaystyle {\begin{aligned}p=&{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}\\q=&{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.\end{aligned}}}$ 

Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación auxiliar ${\displaystyle \Delta =(-4p^{3}-27q^{2})\,}$ .^[29]​ La ecuación cúbica incompleta ${\displaystyle z^{3}+pz+q=0\,}$  posee tres raíces reales cuando el discriminante ${\displaystyle \Delta >0\,}$ . Tales raíces se calculan en función de radianes utilizando la siguiente fórmula:

${\displaystyle z_{k+1}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {\theta +2k\pi }{3}}\right)}$  , para ${\displaystyle k=0,1,2\,}$ 

Mientras que el argumento ${\displaystyle \theta \,}$  está dado por la siguiente fórmula:

${\displaystyle \theta =\arccos {\left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {-{\frac {3}{p}}}}\right)}}$ 

De modo que si se quieren calcular las tres raíces de la ecuación cúbica completa ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}$ , entonces se puede obtenerlas fácilmente como

${\displaystyle x_{k}=z_{k}-{\frac {b}{3a}}}$  , para ${\displaystyle k=1,2,3\,}$ 

En cualquier ecuación cúbica es posible que se presenten raíces múltiples, es decir, raíces de multiplicidad dos y tres, esto es, que dos o tres de las raíces sean iguales entre sí. Las raíces de multiplicidad unitaria ya fueron descritas antes, ahora la raíz doble se puede presentar si y sólo si se cumple la condición de que

${\displaystyle \Delta =0,p\not =0,q\not =0\,}$ 

y las raíces de la ecuación cúbica incompleta serán

${\displaystyle z_{1}=-2z_{2}=-2z_{3}=2{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}}}\,}$ 

mientras que las raíces triples se presentan cuando se cumpla la condición de que

${\displaystyle \Delta =p=q=0\,}$ 

con lo que las raíces de la ecuación cúbica completa se calcularán fácilmente como

${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\frac {b}{3a}}\,}$ .

Sea ${\displaystyle K\,}$  un cuerpo conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación.

En un cuerpo algebraicamente cerrado se sabe que todo polinomio de tercer grado (o ecuación cúbica) tiene tres raíces. Este es el caso, por ejemplo, del cuerpo de los números complejos, según el Teorema Fundamental del Álgebra.

La solución de la ecuación algebraica cúbica fue dada por primera vez en el libro Ars Magna (del latín, que significa 'Gran Arte' o 'Arte Magno') por el matemático italiano Gerolamo Cardano (1501-1576) que publicó en el año de 1545, razón por la cual se le da la denominación método de Cardano.

Dada la ecuación cúbica

${\displaystyle x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0}$ 

Se calculan las siguientes cantidades:

${\displaystyle Q={\frac {3a_{2}-a_{1}^{2}}{9}}}$ 

${\displaystyle R={\frac {9a_{1}a_{2}-27a_{3}-2a_{1}^{3}}{54}}}$ 

Con base en los valores calculados de Q y de R, se calcula la Discriminante, que definirá las posibles soluciones de la ecuación:

${\displaystyle D=Q^{3}+R^{2}}$ 

Al ser D, la discriminante, se tiene:

i) Si D>0 entonces una de las raíces es real y dos de ellas son complejas.

ii) Si D=0 entonces todas las raíces son reales y al menos dos son iguales.

iii) Si D<0 entonces todas las raíces son reales y distintas.

Para el caso i)

Calcular:

${\displaystyle S_{1}={\sqrt[{3}]{R+{\sqrt {Q^{3}+R^{2}}}}}}$ 

${\displaystyle S_{2}={\sqrt[{3}]{R-{\sqrt {Q^{3}+R^{2}}}}}}$ 

La primera raíz real se pueden calcular simplemente como:

${\displaystyle x_{1}=S_{1}+S_{2}-{\frac {a_{1}}{3}}}$ 

Las dos raíces imaginarias se pueden calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle x_{2}=-{\frac {S_{1}+S_{2}}{2}}-{\frac {a_{1}}{3}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\bigl (}S_{1}-S_{2}{\bigr )}}$ 

${\displaystyle x_{3}=-{\frac {S_{1}+S_{2}}{2}}-{\frac {a_{1}}{3}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\bigl (}S_{1}-S_{2}{\bigr )}}$ 

Para los casos ii) y iii)

El cálculo de las tres raíces reales se simplifica un poco si se reescriben las soluciones mediante las siguientes fórmulas trigonométricas:

${\displaystyle x_{1}=-2{\sqrt {-Q}}\cos {\biggl (}{\frac {\theta }{3}}{\biggr )}-{\frac {a_{1}}{3}}}$ 

${\displaystyle x_{2}=-2{\sqrt {-Q}}\cos {\biggl (}{\frac {\theta +2\pi }{3}}{\biggr )}-{\frac {a_{1}}{3}}}$ 

${\displaystyle x_{3}=-2{\sqrt {-Q}}\cos {\biggl (}{\frac {\theta +4\pi }{3}}{\biggr )}-{\frac {a_{1}}{3}}}$ 

donde:

${\displaystyle \cos \theta =-{\frac {R}{\sqrt {-Q^{3}}}}}$ 

• En el caso ii) , dos de las tres raíces calculadas, serán iguales.

Se le acredita a Gerolamo Cardano por el primer método para resolver ecuaciones cúbicas. El método aplica para las ecuaciones cúbicas reducidas, pero, por lo enseñado en la forma reducida, permite resolver todas las ecuaciones cúbicas.

El resultado original de Cardano es que, si

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0}$ 

es una ecuación cúbica tal que p y q son números reales tales que su discriminante ${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}$  sea positivo, entonces la ecuación tiene una única raíz real

${\displaystyle z={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}}$ ,

donde para simplificar un poco la expresión, asignaremos cada raíz a dos variables respectivamente:

${\displaystyle {\begin{cases}u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\\v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}\end{cases}}}$ ,

de dicha acción obtenemos:

${\displaystyle z=u+v}$ 

mientras las otras dos raíces son complejas conjugadas en este caso. Se sabía que las otras dos raíces son obtenidas al multiplicar cada una de las raíces cúbicas por las raíces cúbicas primitivas de la unidad, es decir, obtenemos una raíz compleja multiplicando una raíz cúbica ${\displaystyle (u)}$  por ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i}$  y la otra ${\displaystyle (v)}$  por ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i}$ , luego sumando ambos productos, mientras que obtenemos la otra multiplicando cada raíz cúbica por los conjugados de dichas raíces primitivas respectivamente. Entonces obtenemos las tres raíces resultantes:

${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}=u+v\\z_{2}=\left[-{\frac {1}{2}}(u+v)\right]+\left[{\frac {\sqrt {3}}{2}}(u-v)\right]i\\z_{3}=\left[-{\frac {1}{2}}(u+v)\right]-\left[{\frac {\sqrt {3}}{2}}(u-v)\right]i\end{cases}}}$ ,

Si ${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}$  es negativo, hay tres raíces reales, pero la teoría de Galois permite demostrar que éstas no pueden ser expresadas algebraicamente involucrando números reales, por lo que la ecuación no puede ser resuelta en este caso con el conocimiento de la época de Cardano. Este caso se ha llamado así "casus irreduciblis", significando "caso irreducible" en latín.

En el "casus irreduciblis", aunque el método de Cardano aún puede ser utilizado, algo de cuidado es necesario en el uso de raíces cúbicas. Una primera alternativa es definir los símbolos ${\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}$  y ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$  como representar el valor principal de la función raíz (que es la raíz que representa la parte real más larga). Con este convenio, el método de Cardano para las tres raíces reales permanece válido, pero no es puramente algebraico, dado que la definición de una parte principal no es puramente algebraica, desde que involucra desigualdades para comparar partes reales. También, el uso de la raíz cúbica principal puede dar un resultado erróneo si los coeficientes son números complejos. Además, si los coeficientes pertenecen a otro campo, la raíz cúbica principal no está definida en general.

La segunda manera para hacer que el método de Cardano sea siempre correcto es volver a expresar que el producto de dos raíces cúbicas debe ser ${\displaystyle -{\frac {p}{3}}}$ . Resulta que una raíz de la ecuación es:

${\displaystyle z=u-{\frac {p}{3u}}}$ 

En esta fórmula, los símbolos ${\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}$  y ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$  denotan cualquier raíz cuadrada y cualquier raíz cúbica, mientras las otras dos raíces se obtienen al cambiar de raíz cúbica o, equivalentemente, al multiplicar la raíz cúbica por una raíz cúbica primitiva de la unidad, que es ${\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}}$ .

Esta fórmula siempre es correcta excepto cuando ${\displaystyle p=q=0,}$  bajo la condición, si ${\displaystyle q=0}$ , de elegir la raíz cuadrada para tener ${\displaystyle u\neq 0}$ . Sin embargo, la fórmula no funciona en estos casos dado que las raíces pueden ser expresadas sin ninguna raíz cúbica. De forma similar, la fórmula tampoco funciona en los otros casos donde ninguna raíz cúbica se necesita, cuando ${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}$  es igual a cero, y cuando la ecuación cúbica no es irreducible. Esta fórmula también es correcta cuando ${\displaystyle p}$  y ${\displaystyle q}$  pertenecen a cualquier campo de característica 2 o 3.

Una fórmula cúbica para las raíces de la ecuación cúbica general con ${\displaystyle a\neq 0}$ 

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ 

puede ser deducida de toda variante de la fórmula de Cardano por reducción a una ecuación cúbica reducida. Esta variante es presentada aquí no solo para coeficientes reales, sino para los coeficientes ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$  y ${\displaystyle d}$ , perteneciendo a cualquier campo de característica 2 o 3.

La fórmula siendo muy complicada, vale ser repartida en fórmulas más compactas:

Sean

${\displaystyle \Delta _{1}=b^{2}-3ac}$ ,

${\displaystyle \Delta _{2}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}$ 

y

${\displaystyle W={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{2}\pm {\sqrt {{\Delta _{2}}^{2}-4{\Delta _{1}}^{3}}}}{2}}}}$ ,

donde los símbolos ${\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}$  y ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$  denotan cualquier raíz cuadrada y cualquier raíz cúbica respectivamente. El signo ${\displaystyle \pm }$  precedido de la raíz cuadrada es + o -; la selección es casi arbitraria. Sin embargo, si una selección conduce a ${\displaystyle W=0}$ , el otro signo debe ser seleccionado. Entonces, una de las raíces es

${\displaystyle x=-{\frac {1}{3a}}\left(b+W+{\frac {\Delta _{1}}{W}}\right)}$ .

Las otras dos raíces se pueden obtener al cambiar la selección de la raíz cúbica en definición de ${\displaystyle W}$ , o, equivalentemente al multiplicar ${\displaystyle W}$  por una raíz cúbica primitiva de la unidad (que es ${\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}}$ ). En otros términos, las raíces son:

${\displaystyle x_{k+1}=-{\frac {1}{3a}}\left(b+\omega ^{k}W+{\frac {\Delta _{1}}{\omega ^{k}W}}\right),\qquad k\in \{0,1,2\}}$ 

donde ${\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$ .

Sin embargo, si ${\displaystyle {\Delta _{2}}^{2}-4{\Delta _{1}}^{3}<0}$ , las tres raíces son reales, que toman la siguiente forma:

${\displaystyle x_{k+1}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {2}{3a}}{\sqrt {\Delta _{1}}}\cos {\left({\frac {\theta +2k\pi }{3}}\right)},\qquad k\in \{0,1,2\}}$ 

donde ${\displaystyle \theta =\arccos {\left({\frac {\Delta _{2}}{2{\sqrt {{\Delta _{1}}^{3}}}}}\right)}}$ .

Cuando una ecuación cúbica con coeficientes reales tiene tres raíces reales, las fórmulas que expresan estas raíces en términos de radicales involucran números complejos. La teoría de Galois permite probar que cuando las tres raíces son reales y ninguna es racional (presentándose el casus irreducibilis), no se pueden expresar las raíces en términos de radicales reales. Sin embargo, se pueden obtener expresiones puramente reales de las soluciones usando funciones trigonométricas, específicamente en términos de cosenos y arcocosenos.^[30]​ Más precisamente, una raíz real de la ecuación cúbica reducida ${\displaystyle z^{3}+pz+q=0}$  es^[31]​

${\displaystyle z_{k+1}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)+{\frac {2k\pi }{3}}\right)\quad {\text{para}}\quad k=\{0,1,2\}.}$ 

Esta fórmula se debe al matemático francés François Viète.^[25]​ La raíz es puramente real cuando la ecuación tiene tres raíces reales (es decir, ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0}$ ). De lo contrario, sigue siendo correcto, pero la resolución involucra utilizar cosenos y arcocosenos complejos cuando solo hay una raíz real, y pierde sentido (al presentarse la división entre cero) cuando ${\displaystyle p=0}$ .

La expresión se puede transformar directamente en una fórmula para las raíces reales de una ecuación cúbica general, utilizando la sustitución inversa descrita en la ecuación cúbica reducida.

Cuando solo hay una raíz real (y p ≠ 0), esta raíz se puede representar de manera similar usando una función hiperbólica, como^[33]​^[34]​

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=-2{\frac {|q|}{q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cosh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {-3|q|}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)\right)\quad {\text{si }}\quad 4p^{3}+27q^{2}>0{\text{ y }}p<0\,,\\z_{1}&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}\right)\right)\quad {\text{si }}\quad p>0\,.\end{aligned}}}$ 

Si p ≠ 0 y las desigualdades de la derecha no se satisfacen (el caso de tres raíces reales), las fórmulas siguen siendo válidas pero implican cantidades complejas.

Cuando p = ±3, los valores anteriores de z₁ a veces se denominan "raíces cúbicas de Chebyshev".^[35]​ Más precisamente, los valores que involucran cosenos y cosenos hiperbólicos definen, cuando p = −3, la misma función analítica denota C_1/3(q), que es la raíz cúbica de Chebyshev propia. El valor que involucra senos hiperbólicos se denota de manera similar a S_1/3(q), cuando p = 3.

 

Para resolver la ecuación cúbica x³ + m²x = n donde n > 0, Omar Jayam construyó la parábola y = x²/m, el círculo que tiene como diámetro el segmento [0, n/m²] en el eje x positivo, y una línea vertical a través del punto donde el círculo y la parábola se cruzan por encima del eje x. La solución viene dada por la longitud del segmento de línea horizontal desde el origen hasta la intersección de la línea vertical y el eje x (véase la figura).

Una prueba moderna simple es la siguiente: multiplicar la ecuación por x y reagrupar los términos, resulta

${\displaystyle {\frac {x^{4}}{m^{2}}}=x\left({\frac {n}{m^{2}}}-x\right).}$ 

El lado izquierdo es el valor de y² en la parábola. La ecuación del círculo es y² + x(x − n/m²) = 0, el lado derecho es el valor de y² en el círculo.

Una ecuación cúbica con coeficientes reales se puede resolver geométricamente usando regla y compás, y un ángulo trisector si y solo si tiene tres raíces reales.^[36]​^{: Thm. 1}

Una ecuación cúbica se puede resolver mediante una construcción con regla y compás (sin trisector) si y solo si tiene una raíz racional. Esto implica que los viejos problemas de la trisección del ángulo y de la duplicación del cubo, establecidos por los antiguos matemáticos griegos, no pueden resolverse mediante construcciones exclusivamente con regla y compás.

 

La expresión trigonométrica de Viète de las raíces en el caso de las tres raíces reales se presta a una interpretación geométrica en términos de un círculo.^[25]​^[37]​ Cuando el polinomio de tercer grado se escribe de forma reducida (2), z³ + pz + q = 0, como se muestra arriba, la solución se puede expresar como

${\displaystyle z_{k+1}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)+{\frac {2k\pi }{3}}\right)\quad {\text{para}}\quad k=\{0,1,2\}\,.}$ 

Aquí ${\displaystyle \arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)}$  es un ángulo en el círculo de radio uno; tomando una tercera parte de ese ángulo se determina una raíz cúbica de un número complejo; agregando +2kπ/3 para k = 1, 2 se localizan las otras raíces cúbicas; y multiplicando los cosenos de estos ángulos resultantes por ${\displaystyle 2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}}$  se corrige la escala.

Para el caso no reducido (1) (que se muestra en el gráfico adjunto), el caso reducido como se indicó anteriormente se obtiene definiendo z de modo que x = z − b/3a y z = x + b/3a. Gráficamente esto corresponde simplemente a cambiar el gráfico horizontalmente al cambiar entre las variables z y x, sin cambiar las relaciones de los ángulos. Este cambio mueve el punto de inflexión y el centro del círculo al eje y. En consecuencia, las raíces de la ecuación en z suman cero.

 

Cuando el gráfico de una función cúbica se traza en coordenadas cartesianas, si solo hay una raíz real, entonces coincide con la abscisa (coordenada x) de la intersección del eje horizontal con la curva (punto R en la figura). Además,^[38]​^[39]​^[40]​ si las raíces conjugadas complejas se escriben como g ± hi, entonces la parte real g del número complejo anterior es la abscisa del punto de tangencia H de la tangente a la cúbica, que pasa a través de la intersección R del eje x con la cúbica (que es la longitud marcada como RM, negativa en la figura). Las partes imaginarias ±h son las raíces cuadradas de la tangente del ángulo entre esta línea tangente y el eje horizontal.

Con una raíz real y dos raíces complejas, las tres raíces se pueden representar como puntos en el plano complejo, al igual que las dos raíces de la derivada cúbica. Existe una interesante relación geométrica entre todas estas raíces.

Los puntos en el plano complejo que representan las tres raíces sirven como vértices de un triángulo isósceles. El triángulo es isósceles porque una raíz está en el eje horizontal (real) y las otras dos raíces, que son conjugados complejos, aparecen simétricamente arriba y debajo del eje real.

El teorema de Marden afirma que los puntos que representan las raíces de la derivada de la cúbica son los focos de la inelipse de Steiner del triángulo, la única elipse que es tangente al triángulo en los puntos medios de sus lados. Si el ángulo en el vértice en el eje real es menor que π/3, entonces el eje principal de la elipse se encuentra en el eje real, al igual que sus focos y, por lo tanto, las raíces de la derivada. Si ese ángulo es mayor que π/3, el eje mayor es vertical y sus focos, las raíces de la derivada, son conjugados complejos. Y si ese ángulo es π/3, el triángulo es equilátero, la inelipse de Steiner es simplemente el incírculo del triángulo, sus focos coinciden entre sí en el incentro, que se encuentra en el eje real y, por lo tanto, la derivada tiene raíces reales duplicadas.

Dado un polinomio irreducible cúbico sobre un campo k de característica diferente de 2 y 3, el grupo de Galois sobre k es el grupo del automorfismo que fija k de la extensión más pequeña de k (cuerpo de descomposición). Como estos automorfismos deben permutar las raíces de los polinomios, este grupo es el grupo S₃ de las seis permutaciones de las tres raíces o el grupo A₃ de las tres permutaciones circulares.

El discriminante Δ de la cúbica es el cuadrado de

${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}=a^{2}(r_{1}-r_{2})(r_{1}-r_{3})(r_{2}-r_{3}),}$ 

donde a es el coeficiente principal de la cúbica, y r₁, r₂ y r₃ son las tres raíces de la cúbica. A medida que ${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$  cambia de signo si se intercambian dos raíces, ${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$  es fijado por el grupo de Galois solo si el grupo de Galois es A₃. En otras palabras, el grupo de Galois es A₃ si y solo si el discriminante es el cuadrado de un elemento de k.

Como la mayoría de los enteros no son cuadrados, cuando se trabaja sobre el campo Q de los números racionales, el grupo de Galois de la mayoría de los polinomios cúbicos irreducibles es el grupo S₃ con seis elementos. A₃ da un ejemplo de un grupo p(x) = x³ − 3x − 1 de Galois con tres elementos, cuyo discriminante es 81 = 9².

 

En esta sección se reagrupan varios métodos para deducir la Fórmula de Cardano:

Este método se debe a Scipione del Ferro y Tartaglia, pero lleva el nombre de Gerolamo Cardano, quien lo publicó por primera vez en su libro Ars Magna (1545).

Se aplica a un polinomio cúbico reducido, del tipo z³ + pz + q = 0. La idea es introducir dos variables u y v de modo que z = u + v. Al aplicar el cambio a la cúbica reducida, se obtiene

${\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.}$ 

En este punto, Cardano impuso la condición de que 3uv + p = 0. Esto elimina el tercer término en la igualdad previa, lo que lleva al sistema de ecuaciones

${\displaystyle {\begin{cases}u^{3}+v^{3}=-q\\uv=-{\frac {p}{3}}\end{cases}}}$ 

Conociendo la suma y el producto de u³ y v³, se deduce que son las dos soluciones de la ecuación de segundo grado

${\displaystyle (z-u^{3})(z-v^{3})=0}$ 

${\displaystyle z^{2}-(u^{3}+v^{3})z+u^{3}v^{3}=0}$ 

${\displaystyle z^{2}-(u^{3}+v^{3})z+(uv)^{3}=0.}$ 

Por lo tanto,

${\displaystyle z^{2}+qz-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$ 

El discriminante de esta ecuación es ${\displaystyle \Delta =q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}$ , y suponiendo que sea positivo, las soluciones reales a estas ecuaciones son (después de la división por 4 debajo de la raíz cuadrada):

${\displaystyle z_{1,2}=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}$ 

Entonces (sin perder generalidad al elegir u o v):

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$ 

${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$ 

Como z = u + v, la suma de las raíces cúbicas de estas soluciones es una raíz de la ecuación. Es decir

${\displaystyle z={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}}$ 

es una raíz de la ecuación. Esta expresión es la fórmula de Cardano.

Funciona correctamente cuando ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}>0,}$  pero si ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0,}$  la raíz cuadrada que aparece en la fórmula no es real. Como un número complejo tiene tres raíces cúbicas, usar la fórmula de Cardano sin cuidado proporcionaría nueve raíces, mientras que una ecuación cúbica no puede tener más de tres raíces. Esto fue aclarado por Rafael Bombelli en su libro "L'Algebra" (1572). La solución es utilizar el hecho de que uv = –p/3, es decir v = –p/3u. Esto significa que solo se necesita calcular una raíz cúbica, y conduce a la segunda fórmula dada en el epígrafe dedicado a la fórmula de Cardano.

Las otras raíces de la ecuación se pueden obtener cambiando la raíz cúbica o, de manera equivalente, multiplicando la raíz cúbica por cada una de las dos raíces cúbicas primitivas de la unidad, que son ${\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}.}$ 

Dada la ecuación cúbica

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ 

Se calculan las siguientes cantidades:

${\displaystyle {\begin{matrix}p={\cfrac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}},&q={\cfrac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}\\\\u={\sqrt[{3}]{-{\cfrac {q}{2}}+{\sqrt {\Delta }}}},&v={\sqrt[{3}]{-{\cfrac {q}{2}}-{\sqrt {\Delta }}}}\end{matrix}}}$ 

En ese caso las tres raíces se pueden escribir simplemente como:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=u+v-{\cfrac {b}{3a}}\\x_{2}=\left[-{\cfrac {1}{2}}(u+v)-{\cfrac {b}{3a}}\right]+\left[{\cfrac {\sqrt {3}}{2}}(u-v)\right]i\\x_{3}=\left[-{\cfrac {1}{2}}(u+v)-{\cfrac {b}{3a}}\right]-\left[{\cfrac {\sqrt {3}}{2}}(u-v)\right]i\end{cases}}}$ 

Al ser el discriminante ${\displaystyle \Delta ={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}$  se tiene:

a) Una de las raíces es real y dos de ellas son complejas si ${\displaystyle \Delta >0}$ .

b) Todas las raíces son reales y al menos dos son iguales si ${\displaystyle \Delta =0}$ .

c) Todas las raíces son reales y distintas si ${\displaystyle \Delta <0}$ .

En este último caso el cálculo de las raíces se simplifica un poco si se reescriben las soluciones mediante fórmulas trigonométricas:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {\theta }{3}}\right)-{\cfrac {b}{3a}}\\x_{2}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {\theta +2\pi }{3}}\right)-{\cfrac {b}{3a}}\\x_{3}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {\theta +4\pi }{3}}\right)-{\cfrac {b}{3a}}\end{cases}}}$ 

donde

${\displaystyle \theta =\arccos {\left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)}}$ 

La sustitución de Viète es un método introducido por François Viète en un texto publicado póstumamente en 1615, que proporciona directamente la segunda fórmula del método de Cardano y evita el problema de calcular dos raíces cúbicas diferentes.^[41]​

A partir de la cúbica reducida z³ + pz + q = 0, la sustitución de Vieta consiste en hacer la sustitución z = w – p/3w.^[42]​

La sustitución z = w – p/3w transforma la cúbica reducida en

${\displaystyle w^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.}$ 

Multiplicando por w³, se obtiene una ecuación cuadrática en w³:

${\displaystyle (w^{3})^{2}+q(w^{3})-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$ 

pudiendo ser

${\displaystyle w^{3}=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}$ 

cualquier raíz distinta de cero de esta ecuación cuadrática. Si w₁, w₂ y w₃ son las tres raíces cúbicas de w, entonces las raíces de la cúbica reducida original son w₁ − p/3w₁, w₂ − p/3w₂ y w₃ − p/3w₃. La otra raíz de la ecuación cuadrática es ${\displaystyle \textstyle -{\frac {p^{3}}{27w^{3}}}.}$  Esto implica que cambiar el signo de la raíz cuadrada intercambia w_n y − p/3w_n por n = 1, 2, 3, y por lo tanto no cambia las raíces. Este método solo falla cuando ambas raíces de la ecuación cuadrática son cero, es decir, cuando p = q = 0, en cuyo caso la única raíz de la cúbica reducida es 0.

En su artículo "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" (Reflexiones sobre la resolución algebraica de ecuaciones), el matemático italiano^[43]​ Joseph-Louis Lagrange introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de grado bajo de manera uniforme, con la esperanza de que pudiera generalizarse para grados más altos. Este método funciona bien para ecuaciones cúbicas y cuárticas, pero Lagrange no logró aplicarlo a la ecuación de quinto grado, porque requiere abordar un polinomio resolutivo de al menos de sexto grado.^[44]​^[45]​^[46]​ Excepto que nadie había logrado resolver el problema antes, esta fue la primera indicación de la inexistencia de fórmulas algebraicas para grados quinto y superiores. Esto se demostró más tarde y se denominó Teorema de Abel-Ruffini. Sin embargo, los métodos modernos para resolver ecuaciones quínticas solucionables se basan principalmente en el método de Lagrange.^[46]​

En el caso de las ecuaciones cúbicas, el método de Lagrange ofrece la misma solución que el de Cardano. El método de Lagrange se puede aplicar directamente a la ecuación cúbica general ax³ + bx² + cx + d = 0, pero el cálculo es más simple con la ecuación cúbica reducida, z³ + pz + q = 0.

La idea principal de Lagrange era trabajar con la transformada de Fourier discreta de las raíces en lugar de con las raíces mismas. Más precisamente, sea ξ una raíz cúbica primitiva de la unidad, que es un número tal que ξ³ = 1 y ξ² + ξ + 1 = 0 (cuando se trabaja en el espacio de los números complejos, se tiene que ${\displaystyle \textstyle \xi ={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}=e^{i{\frac {2\pi }{3}}},}$  pero esta interpretación compleja no se usa aquí). Denotando x₀, x₁ y x₂ las tres raíces de la ecuación cúbica a resolver, sea entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}+x_{1}+x_{2},\\s_{1}&=x_{0}+\xi x_{1}+\xi ^{2}x_{2},\\s_{2}&=x_{0}+\xi ^{2}x_{1}+\xi x_{2},\end{aligned}}}$ 

la transformada discreta de Fourier de las raíces. Si se conocen s₀, s₁ y s₂, las raíces pueden recuperarse de ellos con la transformada inversa de Fourier, que consiste en invertir esta transformación lineal; es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+s_{1}+s_{2}),\\x_{1}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi ^{2}s_{1}+\xi s_{2}),\\x_{2}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi s_{1}+\xi ^{2}s_{2}).\end{aligned}}}$ 

Por las relaciones de Cardano-Vieta, se sabe que s₀ es cero en el caso de una cúbica reducida, y −b/a para una cúbica general. Entonces, solo s₁ y s₂ necesitan ser calculados. No son funciones simétricas de las raíces (intercambiando x₁ y x₂ así como s₁ y s₂), pero algunas funciones simétricas simples de s₁ y s₂ también son simétricas en las raíces de la ecuación cúbica a resolver. Por lo tanto, estas funciones simétricas se pueden expresar en términos de los coeficientes (conocidos) de la cúbica original, y esto finalmente permite expresar s_k como raíces de un polinomio con coeficientes conocidos.

En el caso de una ecuación cúbica, P=s₁s₂ y S=s₁³ + s₂³ son polinomios simétricos (véase más adelante). Se deduce que s₁³ y s₂³ son las dos raíces de la ecuación cuadrática z² − Sz + P³ = 0. Por lo tanto, la resolución de la ecuación se puede determinar exactamente como con el método de Cardano, con s₁ y s₂ en lugar de u y v.

En el caso de una cúbica reducida, se tiene que x₀ = 1/3(s₁ + s₂) y s₁s₂ = −3p, mientras que en el método de Cardano se ha establecido que x₀ = u + v y uv = −1/3p. Así se tiene que, hasta el intercambio de u y v, s₁ = 3u y s₂ = 3v. En otras palabras, en este caso, el método de Cardano y el método de Lagrange calculan exactamente las mismas cosas, hasta un factor de tres en las variables auxiliares. La diferencia principal es que el método de Lagrange explica por qué estas variables auxiliares aparecen en el problema.

Se llega a un cálculo sencillo utilizando las relaciones ξ³ = 1 y ξ² + ξ + 1 = 0 da

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=s_{1}s_{2}=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-(x_{0}x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{0}),\\S&=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}=2(x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3})-3(x_{0}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{0}+x_{0}x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{2}x_{0}^{2})+12x_{0}x_{1}x_{2}.\end{aligned}}}$ 

Esto demuestra que P y S son funciones simétricas de las raíces. Usando las identidades de Newton, es sencillo expresarlos en términos de funciones elementales simétricas de las raíces, dando

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=e_{1}^{2}-3e_{2},\\S&=2e_{1}^{3}-9e_{1}e_{2}+27e_{3},\end{aligned}}}$ 

con e₁ = 0, e₂ = p y e₃ = −q en el caso de una cúbica reducida, y e₁ = −b/a, e₂ = c/a y e₃ = −d/a, en el caso general.

Sea la ecuación cúbica ${\displaystyle 2t^{3}+6t^{2}+12t+10=0\,}$ , se procederá a resolverla, para ello, se siguen los siguientes pasos.

1) Se divide la ecuación entre 2:

${\displaystyle t^{3}+3t^{2}+6t+5=0\,}$ .

2) Con ${\displaystyle t=x-1}$ , es decir ${\displaystyle x=t+1}$ , reemplazando:

${\displaystyle (x-1)^{3}+3(x-1)^{2}+6(x-1)+5=0\,}$ .

3) Desarrollando, se obtiene la ecuación en forma reducida

${\displaystyle x^{3}+3x+1=0\,}$ .

4) Se procede a calcular ${\displaystyle x=u+v}$ , estableciendo las siguientes sustituciones:

${\displaystyle U=u^{3},V=v^{3}}$ .

5) Se impone ${\displaystyle U+V=-1}$  y ${\displaystyle UV=-1}$ . ${\displaystyle U}$  y ${\displaystyle V}$  son las raíces de la ecuación

${\displaystyle x^{2}+x-1=0}$ .

6) Se despeja ${\displaystyle U}$ , ${\displaystyle V}$  y ${\displaystyle t}$ .

${\displaystyle U={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}\,}$  y ${\displaystyle V={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}\,}$ 

7) Deshacemos la sustitución y se soluciona para ${\displaystyle u}$  y ${\displaystyle v}$ :

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}\,}$  y ${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}\,}$ .

Por lo tanto, la única solución real de ${\displaystyle t^{3}+3t^{2}+6t+5=0\,}$  es:

${\displaystyle t=x-1=u+v-1={\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}-1\approx -1,3221853546}$ .

Este ejemplo es histórico porque fue el que tomó Rafael Bombelli quien fue, con Cardano, el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia del renacimiento, en pleno siglo XVI).

La ecuación dada es ${\displaystyle x^{3}-15x=4}$ .

Estudiando la función ${\displaystyle f(x)=x^{3}-15x-4}$  o calculando el discriminante ${\displaystyle \Delta =13068>0}$ , se puede comprobar que esta ecuación tiene tres raíces reales. Por lo tanto debería ser más fácil que en el primer ejemplo encontrar una.

Puesto que está en forma reducida se sustituye ${\displaystyle x=u+v}$ , ${\displaystyle U=u^{3}}$ , ${\displaystyle V=v^{3}}$ .

${\displaystyle U+V=4}$  y ${\displaystyle UV=125}$ .

Por tanto, ${\displaystyle U}$  y ${\displaystyle V}$  son las raíces de ${\displaystyle x^{2}-4x+125=0}$ , ecuación de segundo grado cuyo discriminante es negativo. Por lo tanto no tiene raíces reales. Este método nos permite encontrar las raíces, todas reales, pasando de forma forzada por los números complejos.

Esta constatación fue un argumento a favor de los números complejos: son herramientas imprescindibles para resolver ecuaciones, aunque sólo tengan soluciones reales.

Se determinan ${\displaystyle U=2+11i}$  y ${\displaystyle V=2-11i}$ . La extracción de raíces cúbicas en los complejos no es lo mismo que en los reales. Hay dos métodos: uno geométrico, que utiliza el argumento y el módulo (se divide el argumento por tres, y se toma la raíz cúbica del módulo), y otro algebraico, que emplea las partes real e imaginaria: