Lema de Gauss

Hallemos las raíces racionales del polinomio racional

${\displaystyle f=x^{8}+8/3x^{7}+1/3x^{6}-14/3x^{5}-14/3x^{4}-4/3x^{3}}$ 

Limpiando los denominadores de ${\displaystyle f}$  se obtiene el polinomio entero ${\displaystyle g}$  con las mismas raíces:

${\displaystyle g=3x^{8}+8x^{7}+x^{6}-14x^{5}-14x^{4}-4x^{3}=x^{3}(3x^{5}+8x^{4}+x^{3}-14x^{2}-14x-4)}$ 

Claramente, 0 es raíz de multiplicidad 3 de ${\displaystyle g}$  (y de ${\displaystyle f}$ ), y las restantes raíces racionales son las de

${\displaystyle h=3x^{5}+8x^{4}+x^{3}-14x^{2}-14x-4}$ 

Aquí, ${\displaystyle a_{0}=-4}$  y ${\displaystyle a_{n}=3}$ .

Los divisores de ${\displaystyle a_{0}}$  son ${\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 4}$  y los divisores de ${\displaystyle a_{n}}$  son ${\displaystyle \pm 1,\pm 3}$ , luego las raíces racionales se buscan en el conjunto:

${\displaystyle \{\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 1/3,\pm 2/3,\pm 4/3\}}$ 

Chequeando uno obtiene que ${\displaystyle h(-1)=0}$  y ${\displaystyle h(-2/3)=0}$ . Así, las raíces racionales distintas de ${\displaystyle h}$  son ${\displaystyle -1}$  y ${\displaystyle -2/3}$ , para conocer con que multiplicidad, se puede o bien dividir ${\displaystyle h}$  por ${\displaystyle (x+1)(x+2/3)}$  y volver a evaluar el cociente en ${\displaystyle -1}$  y ${\displaystyle -2/3}$ . O bien también se puede derivar ${\displaystyle h}$ :

${\displaystyle h'=15x^{4}+32x^{3}+3x^{2}-28x-14}$ 

y se tiene que ${\displaystyle h'(-1)=0}$  mientras que ${\displaystyle h'(-2/3)\neq 0}$ . O sea ${\displaystyle -1}$  es raíz de multiplicidad ≥ 2 y ${\displaystyle -2/3}$  es raíz simple.

Volviendo a derivar ${\displaystyle h}$ : ${\displaystyle h''=60x^{3}+96x+6x-28}$  y ${\displaystyle h''(-1)\neq 0}$ .

Se concluye que -1 es raíz doble de ${\displaystyle h}$ .

Finalmente la factorización de ${\displaystyle h}$  en ${\displaystyle \mathbb {Q} [X]}$  es:

${\displaystyle h=3(x+1)^{2}(x+2/3)(x^{2}-2)}$ 

Y dado que ${\displaystyle f=1/3x^{3}h}$ , resulta la siguiente factorización de ${\displaystyle f}$  en ${\displaystyle \mathbb {Q} [X]}$ :

${\displaystyle f=x^{3}(x+1)^{2}(x+2/3)(x^{2}-2)}$ 

• Polinomios y Raíces por Teresa Krick, Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires, Argentina.