Progresión geométrica

Una progresión geométrica es una sucesión de números reales llamados términos, en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante denominada «razón» o «factor» de la progresión. Si se denota por ${\displaystyle a_{n}}$ al término que ocupa la posición ${\displaystyle n}$ de la sucesión, se puede obtener el valor de cualquier término a partir del primero (${\displaystyle a_{1}}$) y de la razón (${\displaystyle r}$) mediante la siguiente fórmula llamada término general:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}\,}$

• La progresión 5, 15, 45, 135, 405,...' es una progresión geométrica con razón ${\displaystyle r=3}$
• Las progresiones 1, 2, 4, 8, 16,... y 5, 10, 20, 40,... son geométricas con razón ${\displaystyle r=2}$.
• La progresión -3, 6, -12, 24, ... tiene razón ${\displaystyle /r=-2}$. Esta progresión es también una sucesión alternada.
• Otros ejemplos son: la paradoja de Aquiles y la tortuga, el problema del trigo y del tablero de ajedrez y la cantidad de movimientos de los anillos en la torres de Hanói.^[1]​

Se llama progresión geométrica una sucesión numérica (${\displaystyle b_{n}}$) definida por las condiciones

${\displaystyle b_{n}=\left\{{\begin{array}{llcl}si&n=1&\longrightarrow &p\\si&n>1&\longrightarrow &b_{n-1}\cdot q\end{array}}\right.}$

llamada ecuación recursiva de orden 1^[2]​ ( ${\displaystyle q\neq 0}$), ${\displaystyle n=1,2,...}$ (${\displaystyle q}$ es la razón de la progresión geométrica)^[3]​

Una progresión geométrica es monótona creciente cuando cada término es mayor o igual que el anterior (${\displaystyle a_{n}\geq a_{n-1}}$), monótona decreciente cuando cada término es menor o igual que el anterior (${\displaystyle a_{n}\leq a_{n-1}}$), constante cuando todos los términos son iguales (${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}}$) y alternada cuando cada término tiene signo distinto que el anterior (ocurre cuando ${\displaystyle r<0}$).^[4]​

Monotonía en función del primer término, ${\displaystyle a_{1}}$, y de la razón, ${\displaystyle r}$:^[5]​

${\displaystyle a_{1}>0}$	${\displaystyle r>1}$	creciente
	${\displaystyle 0<r<1}$	decreciente
${\displaystyle a_{1}<0}$	${\displaystyle r>1}$	decreciente
	${\displaystyle 0<r<1}$	creciente
	${\displaystyle r=1}$	constante
	${\displaystyle r<0}$	alternada

Se denota por ${\displaystyle S_{n}}$ a la suma de los ${\displaystyle n}$ primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}}$

Se puede calcular esta suma a partir del primer término ${\displaystyle a_{1}}$ y de la razón ${\displaystyle r}$ mediante la fórmula

${\displaystyle S_{n}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}}$

Sea ${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n}}$ Se multiplican ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión ${\displaystyle r}$. ${\displaystyle r\cdot S_{n}=r\cdot (a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n})}$ ${\displaystyle r\cdot S_{n}=r\cdot a_{1}+r\cdot a_{2}+...+r\cdot a_{n-1}+r\cdot a_{n}}$ puesto que ${\displaystyle r\cdot a_{i}=a_{i+1}}$ ${\displaystyle r\cdot S_{n}=a_{2}+a_{3}+...+a_{n}+a_{n+1}}$ Si se procede a restar de esta igualdad la primera: ${\displaystyle r\cdot S_{n}-S_{n}=a_{n+1}-a_{1}}$ ya que todos los términos intermedios se cancelan mutuamente. Despejando ${\displaystyle S_{n}}$: ${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{n+1}-a_{1}}{r-1}}={\frac {a_{1}\cdot r^{n}-a_{1}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}}$ De esta manera se obtiene la suma de los ${\displaystyle n}$ términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión ${\displaystyle a_{n}}$ como: ${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}\cdot r^{n}-a_{1}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}}$ que expresa la suma de ${\displaystyle n}$ términos consecutivos de una progresión geométrica en función del primer término y de la razón de la progresión.

Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios ${\displaystyle a_{m}}$y ${\displaystyle a_{n}}$(ambos incluidos):

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}={\frac {r\cdot a_{n}-a_{m}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {(r^{n}-r^{m-1})}{r-1}}=a_{m}\cdot {\frac {(r^{n-m+1}-1)}{r-1}}}$

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad ${\displaystyle |r|<1}$, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si ${\displaystyle |r|<1}$, ${\displaystyle r^{\infty }}$ tiende hacia 0, de modo que simplemente se los puede simplificar y la razón que da como único término :

${\displaystyle S_{\infty }=a_{1}{\cfrac {r^{\infty }-1}{r-1}}=a_{1}\cdot {\cfrac {0-1}{r-1}}}$

Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es:

${\displaystyle S_{\infty }={\cfrac {a_{1}}{1-r}}}$, ${\displaystyle |r|<1}$

Un ejemplo de progresión geométrica aparece en el caso de una de las paradojas de Zenón: el reto de Aquiles y de la tortuga.

El producto de los ${\displaystyle n}$ primeros términos de una progresión geométrica se puede obtener mediante la fórmula

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}=\left({\sqrt {a_{1}\cdot a_{n}}}\right)^{n}}$ (si ${\displaystyle a_{1},r>0}$).

Dado que los logaritmos de los términos de una progresión geométrica de razón ${\displaystyle r}$ (si ${\displaystyle a_{1},r>0}$), están en progresión aritmética de diferencia ${\displaystyle \log r}$, se tiene:

${\displaystyle \log(\prod _{i=1}^{n}a_{i})=\ \sum _{i=1}^{n}\log a_{i}=\ {\frac {(\log a_{1}+\log a_{n})n}{2}}=\ \log \left({\sqrt {a_{1}\cdot a_{n}}}\right)^{n}}$ ,

y tomando antilogaritmos se obtiene la fórmula.

• Progresión aritmética
• Serie geométrica

• Weisstein, Eric W. «Progresión geométrica». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Sum of Geometric Progression Calculator