Aplicación regrediente

En matemática, el concepto de pullback o aplicación regrediente, tiene diferentes significados según sea el contexto. Los principales son:

• Entre conjuntos: Dado dos aplicaciones ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ y ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ la composición ${\displaystyle g\cdot f\colon X\to Z}$ puede considerarse como el pullback de ${\displaystyle g}$ bajo ${\displaystyle f}$ y se escribe simbólicamente ${\displaystyle f^{*}(g)=g\cdot f}$

• En el álgebra multilineal: Dada una transformación lineal ${\displaystyle L\colon V\to W}$ entre dos espacios vectoriales ${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle W}$, y un funcional lineal ${\displaystyle f\colon W\to \mathbb {R} }$ entonces ${\displaystyle f\cdot L\colon V\to \mathbb {R} }$ es un nuevo funcional lineal de esta manera se construye el pullback ${\displaystyle L^{*}(f)=f\cdot L}$ de ${\displaystyle f\,}$. Esta idea se generaliza para una aplicación k-multilineal ${\displaystyle f\colon W\otimes \cdots \otimes W\to \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle L\colon V\to W}$ lineal, entonces podemos hacer el pullback ${\displaystyle L^{*}(f)\colon V\otimes \cdots \otimes V\to \mathbb {R} }$ mediante el artificio

${\displaystyle L^{*}(f)(v_{1},...,v_{k})=f(Lv_{1},...,Lv_{k})\,}$

• En los fibrados: Dado un fibrado ${\displaystyle F\subset E\to B}$ con proyección ${\displaystyle \pi }$ y una aplicación continua ${\displaystyle f\colon X\to B}$ podemos construir un nuevo fibrado (llamado el pullback de E) ${\displaystyle F\subset f^{*}E\to X}$ mediante

${\displaystyle f^{*}E=\{(x,e)\in X\times E\colon f(x)=\pi (e)\}}$

• En la teoría de categorías

• Aplicación progrediente

• Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlín ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.