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[[Archivo:Mconvexe.png|mini|300px|Un conjunto en ℝ<sup>2</sup> que satisface las hipótesis del teorema de Minkowski]]

En [[matemáticas]], '''el teorema de Minkowski'''<ref name=JM>{{cita libro|título=Lectures on Discrete Geometry|autor=Jiri Matousek|editorial=Springer Science & Business Media|año=2013|url=https://books.google.es/books?id=K0fhBwAAQBAJ&pg=PA17#v=onepage&q&f=false|isbn=9781461300397|páginas= 17 de 486|fechaacceso= 22 de octubre de 2022}}</ref> afirma que cualquier [[convexidad|conjunto convexo]] de ℝ<sup>n</sup> simétrico respecto al origen y con [[volumen]] mayor que 2<sup>n</sup> contiene un [[red (grupo)|punto de retículo]] no nulo. El teorema fue demostrado por [[Hermann Minkowski]] en 1889 y se convirtió en la base de la rama de la [[teoría de números]] llamada [[geometría de números]].

== Formulación ==
Supóngase que {{Math|''L''}} es un retículo con [[determinante (matemática)|determinante]] d''(L)'' en el [[espacio vectorial]] real de dimensión {{Math|''n''}}, ℝ<sup>n</sup>, y {{Math|''S''}} es un [[convexidad|subconjunto convexo]] de ℝ<sup>n</sup> simétrico respecto el origen, es decir, que si {{Math|''x''}} pertenece a {{Math|''S''}} entonces {{Math|''-x''}} también pertenece a {{Math|''S''}}. El teorema de Minkowski declara que si el volumen de {{Math|''S''}} es estrictamente mayor que 2<sup>n</sup> {{Math|''d(L)''}}, entonces {{Math|''S''}} contiene al menos otro punto de la retícula además del origen. De hecho, dado que {{Math|''S''}} es simétrico, contendrá al menos tres puntos del retículo: el origen y {{Math|±''x''}} donde {{Math|''x'' ∈ ''L'' \ 0}}.

== Ejemplo ==
El ejemplo más sencillo de un retículo es el conjunto ℤ<sup>n</sup> de todos los puntos con coeficientes [[número entero|enteros]]; su determinante es 1. Para {{Math|''n''}} = 2, el teorema afirma que una figura convexa en el [[plano euclideo]] simétrica respecto el origen y con [[área]] mayor que 4 encierra al menos un punto de la retícula además del [[origen de coordenadas|origen]]. La cota del área es importante: Si {{Math|''S''}} es el interior del cuadrado con vértices (±1, ±1) entonces S es simétrico, convexo y su área es exactamente 4, pero el único punto de la retícula que contiene es el origen. Esta observación  es general para [[hipercubo]]s de dimensión {{Math|''n''}}.

==Demostración==
El siguiente argumento permiter probar el teorema de Minkowski para el caso específico de {{math|''L'' {{=}} ℤ<sup>2</sup>}}.

'''Prueba del caso <math display= "inline"> \mathbb{Z}^2 </math>:'''

Considérese la aplicación

:<math>f: S \to \mathbb{R}^2/2L, \qquad (x,y) \mapsto (x \bmod 2, y \bmod 2)</math>

Intuitivamente, esta aplicación corta el plano en cuadrados de 2 por 2, y luego apila los cuadrados uno encima del otro. Claramente, {{math|''f''&thinsp;(''S'')}} tiene un área menor o igual a 4, porque este conjunto se encuentra dentro de un cuadrado de 2 por 2. Supóngase que introduciendo una [[Prueba por contradicción|contradicción]] {{math|''f''}} podría ser una [[función inyectiva]], lo que significa que las piezas de {{math|''S''}} recortadas por los cuadrados se apilan sin superponerse. Debido a que {{math|''f''}} conserva el área localmente, esta propiedad de no superposición haría que conservara el área para todo {{math|''S''}}, por lo que el área de {{math|''f''&thinsp;(''S'')}} sería la misma que la de {{math|''S''}}, que es mayor que 4. Ese no es el caso, por lo que la suposición debe ser falsa: {{math|''f''}} no es inyectiva, lo que significa que existen al menos dos puntos distintos {{math|''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>}} en {{math|''S''}} que {{math|''f''}} asigna al mismo punto: {{math|''f''&thinsp;(''p''<sub>1</sub>) {{=}} ''f''&thinsp;(''p''<sub>2</sub>)}}.

Debido a la forma en que se definió {{math|''f''}}, la única forma en que {{math|''f''&thinsp;(''p''<sub>1</sub>)}} puede ser igual a {{math|''f''&thinsp;(''p''<sub>2</sub>)}} es tomar {{math|''p''<sub>2</sub>}} con el fin de igualar {{math|''p''<sub>1</sub> + (2''i'', 2''j'')}} para algunos enteros {{math|''i''}} y {{math|''j''}}, no ambos cero.

Es decir, las coordenadas de los dos puntos difieren en dos enteros [[Números pares e impares|pares]].

Como {{math|''S''}} es simétrico con respecto al origen, {{math|−''p''<sub>1</sub>}} también es un punto en {{math|''S''}}. Dado que {{math|''S''}} es convexo, el segmento rectilíneo entre {{math|−''p''<sub>1</sub>}} y {{math|''p''<sub>2</sub>}} se encuentra completamente en {{math|''S''}} y, en particular, el punto medio de ese segmento se encuentra en {{math|''S''}}. En otras palabras,

:<math>\tfrac{1}{2}\left(-p_1 + p_2\right)= \tfrac{1}{2}\left(-p_1 + p_1 + (2i, 2j)\right)= (i, j)</math>

es un punto en {{math|''S''}}. Pero este punto {{math|(''i'', ''j'')}} es un punto entero y no es el origen ya que {{math|''i''}} y {{math|''j''}} no son ambos cero. Por lo tanto, {{math|''S''}} contiene un punto entero distinto de cero.

'''Observaciones:'''
* El argumento anterior prueba el teorema de que cualquier conjunto de volumen <math display= "inline"> >\!\det(L)</math> contiene dos puntos distintos que se diferencian por un vector reticular. Este es un caso especial del [[teorema de Blichfeldt]].<ref>{{cite book
|last1= Olds|first1= C. D.|author1-link= Carl D. Olds
|last2= Lax|first2= Anneli|author2-link= Anneli Cahn Lax
|last3= Davidoff|first3= Giuliana P.|author3-link= Giuliana Davidoff 
|contribution= Chapter 9: A new principle in the geometry of numbers
|isbn= 0-88385-643-3
|mr= 1817689
|page= 120
|publisher= Mathematical Association of America, Washington, DC
|series= Anneli Lax New Mathematical Library
|title= [[The Geometry of Numbers]]
|volume= 41
|year= 2000}}</ref>
* El argumento anterior destaca que el término <math display= "inline">2^n \det(L)</math> es el covolumen de la retícula <math display= "inline">2L</math>.
* Para obtener una demostración para redes generales, basta probar el teorema de Minkowski solo para <math display= "inline">\mathbb{Z}^n</math>; esto se debe a que cada retícula de rango completo se puede escribir como <math display= "inline">B\mathbb{Z}^n</math> para alguna [[aplicación lineal]] <math display= "inline">B</math>, y las propiedades de ser convexo y simétrico con respecto al origen se conservan mediante transformaciones lineales, mientras que el covolumen de <math display= "inline">B\mathbb{Z}^n</math> es <math display= "inline">|\!\det(B)|</math> y el volumen de un cuerpo escalado exactamente por <math display= "inline">\frac{1}{\det(B)}</math> bajo una aplicación de <math display= "inline">B^{-1}</math>.

==Aplicaciones==

===Acotación del vector más corto===

El teorema de Minkowski da un límite superior para la longitud del vector distinto de cero más corto. Este resultado tiene aplicaciones en [[criptografía]] de celosía y teoría de números.

'''Teorema (cota de Minkowski en el vector más corto):''' Sea <math display="inline">L</math> una red. Luego hay un <math display="inline">x \in L \setminus \{0\}</math> con <math display="inline">  \|x\|_{\infty} \leq \left|\det(L)\right|^{1/n}</math>. En particular, por la comparación estándar entre las normas <math display="inline">l_2</math> y <math display="inline">l_{\infty}</math>, <math display="inline"> \|x\|_2 \leq \sqrt{n}\, \left|\det(L)\right|^{1/n}</math>.
{{Demostración|Sea <math display="inline">l= \min \{\|x\|_{\infty} : x \in L \setminus \{0\} \}</math> y establézcase que <math display="inline">C= \{y : \|y\|_{\infty} < l \}</math>. Entonces <math display="inline"> \text{vol}(C)= (2l)^n</math>. Si <math display="inline">(2l)^n > 2^n|d(L)|</math>, entonces <math display="inline">C</math> contiene un punto reticular distinto de cero, lo cual es una contradicción. De este modo <math display="inline"> l\leq|d(L)|^{1/n}</math>. Q.E.D.}}

'''Observaciones:'''

* La constante en el límite <math display="inline">L^2</math> se puede mejorar, por ejemplo, tomando la bola abierta de radio <math display="inline"> < l</math> como <math display="inline">C</math> en el argumento anterior. La constante óptima se conoce como [[constante de Hermite]].
* La cota dada por el teorema puede ser muy flexible, como se puede ver al considerar la red generada por <math display="inline">(1,0), (0,n)</math>.
* Aunque el teorema de Minkowski garantiza un vector reticular corto dentro de un cierto límite de magnitud, encontrar este vector es en general [[Problema de retícula|un problema computacional difícil]]. Encontrar el vector dentro de un factor garantizado por el límite de Minkowski es denominado el Problema vectorial de Minkowski (MVP),<ref>[https://cseweb.ucsd.edu/classes/sp07/cse206a/lec8.pdf UCSD]</ref> y se sabe que la aproximación SVP se reduce a él usando una [[retícula dual]] y sus propiedades de transferencia. El [[problema computacional]] también se conoce a veces como ''HermiteSVP''.<ref name="Nguyen 2009 pp. 19–69">{{cite book|last=Nguyen|first=Phong Q.|title=The LLL Algorithm|chapter=Hermite’s Constant and Lattice Algorithms|series=Information Security and Cryptography|publisher=Springer Berlin Heidelberg|publication-place=Berlin, Heidelberg|year=2009|isbn=978-3-642-02294-4|issn=1619-7100|doi=10.1007/978-3-642-02295-1_2|pages=19–69}}</ref>
* El [[Algoritmo LLL|algoritmo de reducción de bases LLL]] puede verse como una versión algorítmica débil pero eficiente del límite de Minkowski en el vector más corto. Esto se debe a que una <math display="inline"> \delta </math> de base reducida <math display="inline"> b_1, \ldots, b_n </math>-LLL para <math display="inline"> L </math> tiene la propiedad de que <math display="inline"> \|b_1\|\leq \left(\frac{1}{\delta - .25}\right)^{\frac{n-1}{4}} \det(L)^{1/n} </math>; pueden consultarse estas [http://cseweb.ucsd.edu/classes/sp14/cse206A-a/lec5.pdf notas de la conferencia de Micciancio] para obtener más información al respecto. Como se explica en el texto titulado ''The LLL Algorithm''<ref name="Nguyen 2009 pp. 19–69">{{cite book|last=Nguyen|first=Phong Q.|title=The LLL Algorithm|chapter=Hermite’s Constant and Lattice Algorithms|series=Information Security and Cryptography|publisher=Springer Berlin Heidelberg|publication-place=Berlin, Heidelberg|year=2009|isbn=978-3-642-02294-4|issn=1619-7100|doi=10.1007/978-3-642-02295-1_2|pages=19–69}}</ref> las pruebas de límites en la [[constante de Hermite]] contienen algunas de las ideas clave del algoritmo de reducción LLL.

===Aplicaciones a la teoría de números===
====Números primos que son sumas de dos cuadrados====
Una implicación difícil del [[teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados]] se puede probar utilizando el límite de Minkowski en el vector más corto.

'''Teorema:''' Todo [[número primo]] con <math display="inline">p \equiv 1 \mod 4</math> se puede escribir como suma de dos [[Cuadrado perfecto|cuadrados]].

{{Demostración|Dado que <math display="inline">4 \,|\, p - 1</math> y <math display="infline">a</math> es un [[residuo cuadrático]] módulo primo <math display="inline">p</math> si y solo si <math display="infline"> a^{\frac{p-1}{2}}= 1~(\texto{mod}~p)</math> (Criterio de Euler), entonces existe una raíz cuadrada de <math display="inline">-1</math> en <math display="inline">\Z / p\Z</math>; elíjase uno y selecciónese un representante en <math display="inline">\Z</math> para <math display="inline">j</math>. Considérese la red <math display="inline">L</math> definida por los vectores <math display="inline">(1, j), (0,p)</math> y denótese con <math display="inline">B</math> la [[Matriz (matemática)|matriz]] asociada. El determinante de esta retícula es <math display="inline">p</math>, donde el límite de Minkowski permite afirmar que hay un <math display="inline">x= (x_1, x_2) \in \mathbb{Z}^2</math> distinto de cero con <math display="inline">0 < \|Bx\|_2^2 < 2p</math>. Se tiene que <math display="inline">\|Bx\|^2= \|(x_1, jx_1 + px_2)\|^2= x_1^2 + (jx_1 + px_2)^2</math> y se definen los enteros <math display="inline">a= x_1, b= (jx_1 + px_2)</math>. El límite de Minkowski asegura que <math display="inline">0 < a^2 + b^2 < 2p</math>, y mediante [[aritmética modular]] simple se demuestra que <math display="inline">a^2 + b^2= x_1^2 + (jx_1 + px_2)^2= 0 \mod p</math>, por lo que se concluye que <math display="inline">a^2 + b^2= p</math>. QED}}

Además, la perspectiva de la retícula brinda un enfoque computacionalmente eficiente para el teorema de Fermat sobre sumas de cuadrados:

{{Algoritmo| |Primero, debe recordarse que encontrar cualquier vector distinto de cero con una norma menor que <math display="inline">2p
</math> en <math display="inline">L</math>, la retícula de la prueba, da una descomposición de <math display="inline">p</math> como una suma de dos cuadrados. Dichos vectores se pueden encontrar de manera eficiente, por ejemplo, utilizando el [[algoritmo LLL]]. En particular, si <math display="inline">b_1, b_2</math> es una base reducida de <math display="inline"> 3/4 </math>-LLL, entonces, por la propiedad de que <math display="inline">\|b_1\|\leq (\frac{1}{\delta - .25})^{\frac{n-1}{4}} \text{det}(B)^{1/n}</math>, <math display="inline">\|b_1\|^2 \leq \sqrt{2} p 
< 2p</math>. Por lo tanto, al ejecutar el algoritmo de reducción de base de retícula LLL con <math display="inline"> \delta= 3/4 </math>, se obtiene una descomposición de <math display="inline">p</math> como una suma de cuadrados. Téngase en cuenta que debido a que cada vector en <math display="inline">L</math> tiene un múltiplo normal al cuadrado de <math display="inline">p</math>, el vector devuelto por el algoritmo LLL en este caso es, de hecho, el vector más corto.}}

====Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange====
El teorema de Minkowski también es útil para probar el [[teorema de los cuatro cuadrados]], que establece que todo [[número natural]] se puede escribir como la suma de los cuadrados de cuatro números naturales.

====Teorema de Dirichlet sobre aproximación racional simultánea====
El teorema de Minkowski se puede utilizar para demostrar [[Teorema de aproximación de Dirichlet|Teorema de Dirichlet sobre la aproximación racional simultánea]].

====Teoría algebraica de números====
Otra aplicación del teorema de Minkowski es el resultado de que cada clase en el [[grupo de clases de ideales]] de un [[cuerpo de números algebraicos]] {{math|''K''}} contiene un [[ideal integral]] de [[Norma de un cuerpo|norma]] que no excede un cierto límite, dependiendo de {{math|''K''}}, llamado [[cota de Minkowski]]: la finitud del [[Grupo de clases de ideales|número de clases]] de un cuerpo numérico algebraico se sigue de este hecho inmediatamente.

==Teoría de la complejidad==
La complejidad de encontrar el punto garantizado por el teorema de Minkowski, o el teorema de Blitchfields estrechamente relacionado con él, se han estudiado desde la perspectiva de los problemas de búsqueda [[TFNP]]. En particular, se sabe que un análogo computacional del teorema de Blichfeldt, un [[corolario]] de la prueba del teorema de Minkowski, es PPP-completo.<ref name="Cryptology ePrint Archive: Report 2018/778 2018">{{cite web|title=PPP-Completeness with Connections to Cryptography|website=Cryptology ePrint Archive: Report 2018/778|date=2018-08-15|url=https://eprint.iacr.org/2018/778|access-date=2020-09-13}}</ref> También se sabe que el análogo computacional del teorema de Minkowski está en la clase PPP, y se ha [[conjetura]]do que puede ser PPP completo.<ref name="Information Processing Letters 2019 pp. 48–52">{{cite journal|title=Reductions in PPP|journal=Information Processing Letters|volume=145|date=2019-05-01|issn=0020-0190|doi=10.1016/j.ipl.2018.12.009|pages=48–52|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0020019019300018|access-date=2020-09-13|last1=Ban|first1=Frank|last2=Jain|first2=Kamal|last3=Papadimitriou|first3=Christos H.|last4=Psomas|first4=Christos-Alexandros|last5=Rubinstein|first5=Aviad|s2cid=71715876}}</ref> 

==Véase también==
* [[Conjunto de Danzer]]
* [[Teorema de Pick]]
* [[Teorema de las unidades de Dirichlet]]
* [[Segundo Teorema de Minkowski]]
* [[Conjetura de volumen de Ehrhart]]

== Referencias ==
{{listaref}}

== Bibliografía ==
* {{Cita libro|autor=Enrico Bombieri y Walter Gubler|título=Heights in Diophantine Geometry|año=2006|editorial=Cambridge U. P.}}
* J.{{esd}}W.{{esd}}S.{{esd}}Cassels. ''Una Introducción a la Geometría de Números.'' Salmer Classics en Matemáticas, Salmer-Verlag, 1997 (reimpresión de 1959 y 1971, Salmer-Verlag ediciones).
* [[John Horton Conway]] y N.{{esd}}J.{{esd}}Un. Sloane, Esfera Packings, Enrejados y Grupos, Salmer-Verlag, NY, 3.ª{{esd}}ed., 1998.
* {{Cita libro|apellidos=Hancock, Harris|título=Development of the Minkowski Geometry of Numbers|año=1939|editorial=Macmillan}} (republicada en 1964 por Dover).
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "{{Springer|title=Geometry of numbers|id=G/g044350}}"
* Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. ''Número geométrico y Analítico Teoría.'' Universitext. Salmer-Verlag, 1991.
* C.{{esd}}G.{{esd}}Lekkerkerker. ''Geometría de Números.'' Wolters-Noordhoff, Holanda Del norte, Wiley. 1969.
* Wolfgang M. Schmidt. ''Diophantine Aproximación.'' Notas de conferencia en Matemáticas 785. Salmer. (1980 [1996 con correcciones menores]).
* Wolfgang M. Schmidt.''Diophantine Aproximaciones y Diophantine ecuaciones'', Notas de Conferencia en Matemáticas, Salmer Verlag, 2000.
* {{Cita libro|apellidos=Siegel, Carl Ludwig|enlaceautor=Carl Ludwig Siegel|título=Lectures on the Geometry of Numbers|año=1989|editorial=Springer-Verlag}} 
* Rolf Schneider, cuerpos Convexos: el Brunn-Minkowski teoría, Cambridge Prensa Universitaria, Cambridge, 1993.
* «El teorema de Minkowski». {{planetmath_reference|id=4601|title=Minkowski's theorem}} 
* Stevenhagen, Peter. [http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/ant.pdf ''Anillos de número''.]
* Malyshev, Un.V. (2001), "{{Springer|last=Malyshev|first=A.V.|title=Minkowski theorem|id=M/m064090}}", en Hazewinkel, Michiel.

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