Renormumo

En kvantuma kampa teorio, renormumo estas kalkula procedo trovi finiajn valorojn de observeblaj kvantoj per reesprimi kvantojn kiel funkciojn de fizikaj ("vestitaj") parametroj, ne de nefizikaj ("nudaj") parametroj kiuj difiniĝas nur formale. Renormumeblaj teorioj havas nur finian nombron de parametroj kaj havas povon antaŭdiri; dume, nerenormumeblaj teorioj havas nefinian nombron de parametroj kaj, tiale, mankas povon antaŭdiri.

En preskaŭ ĉiuj kvantumaj kampaj teorioj, diagramoj de Feynman kun almenaŭ unu ciklo diverĝas. La diverĝeco okazas aŭ ĉe la regiono de malgranda movokvanto aŭ ĉe la regiono de granda movokvanto (aŭ ambaŭe). Tiu estas: en la integralo (de eŭklida teorio)

${\displaystyle \int _{|p|>p_{\text{min}}}^{|p|<p_{\text{maks}}}{\frac {\operatorname {d} ^{4}\!p}{(2\pi )^{4}}}I(p)}$,

la teorio eble diverĝas aŭ se ${\displaystyle p_{\text{min}}\to 0}$ aŭ se ${\displaystyle p_{\text{max}}\to \infty }$ (aŭ ambaŭe).

La unua speco de diverĝeco, la transruĝa problemo (ĉar transruĝa radiado havas malgrandan movokvanton), okazas se la teorio havas nulmasajn partiklojn (ekz., la fotono); oni solvu ĝin per sumi tutajn diagramojn kun arbitra nombro de neobservitaj, tre malgrandamovokvantaj ("molaj") fotonoj (aŭ aliaj nulmasaj partikloj). La dua speco de diverĝeco, la transviola problemo (ĉar transviola radiado havas grandan movokvanton), okazas kaŭze de virtualaj partikloj kun arbitre grandaj movokvantoj. Tiun ĉi problemon oni ne povas solvi simile al la transruĝa problemo.

Pro solvi la transviolan problemon, oni eksciu ke la virtualaj procezoj kaŭzas nefinie grandajn efikojn. La efektiva, observebla ("vestita") maso, kalkulita kun tutaj ciklaj diagramoj, estas ŝanĝita nefinie el la ("nuda") masparametro en la originala lagranĝiano. La efektiva maso devas esti finia; sekve, la nuda maso devas esti nefinia (aŭ, en teorioj kun asimptota libero, infinitezima). Pro kalkuli, do, oni anstataŭigu tutajn nudajn parametrojn per vestitajn parametrojn en ĉiaj kvantoj kalkulotaj. Tiu ĉi procedo nomiĝas renormumo.

Ĝenerale, renormumo sekvas la jenajn paŝojn.

1. Elekto de skemo de renormumo (angle renormalisation scheme): Difinu la valorojn de fizikaj parametroj iele. (Ekzistas pluraj skemoj.)
2. Aldono de kontraŭtermoj (angle counterterm): Esprimu la lagranĝianon kun fizikaj parametroj kaj diferencoj inter fizikaj kaj nudaj parametroj. La termojn proporciaj al tiuj ĉi diferencoj enhavota en la lagranĝiano nomiĝas la kontraŭtermoj.
3. Reguligo (angle regularisation): Konverĝigu la integralojn (en esprimoj de ia observeblaj kvantoj) iele kiel funkcio de tre granda parametro ${\displaystyle \Lambda }$. (Ekzistas pluraj skemoj de reguligo.) Reguligita integralo devus limesi al la originala integralo kiel ${\displaystyle \Lambda \to \infty }$ (se la "limeso" ekzistus).
4. Sorbo de diverĝeco en kontraŭtermojn: Limesu la integralon kiel ${\displaystyle \Lambda \to \infty }$ dum konstante restas la fizikaj parametroj sole. Tiam, la kontraŭtermoj (kaj konsekvence la nudaj parametroj) diverĝos (aŭ, se la teorio estas asimptote libera, limesos al nulo). Se tutaj integraloj konverĝas tiele por iaj ajn observeblaj kvantoj, la teorio estas renormumebla.

Pluraj skemoj de renormumo ekzistas. Al la parametro de interago inter specoj ${\displaystyle \phi _{1},\dotsc ,\phi _{n}}$ konsideru la aron de (amputitaj) diagramoj kun eksteraj verticoj ${\displaystyle \phi _{1},\dotsc ,\phi _{n}}$ ĉe iuj movokvantoj. Unu skemo de renormumo, la metodo de masoŝelo, difinas fizikan parametron kiel la sumon de respondanta aro de diagramojn kalkulitan ĉe movokvantoj verigantaj la rilatojn ${\displaystyle p^{2}=m^{2}}$ (movokvantoj sur la masoŝelo).

Alia skemo, nomita minimuman subtrahon aŭ MS, difinas fizikan parametron kiel sumon de finiaj partoj (laŭ dimensia reguligo; vidu sube) de la diagramojn. Efektive, dum kalkulo oni ignoru termojn proporciajn al ${\displaystyle 1/\epsilon }$, se ni kalkulus en dimensio ${\displaystyle 4-\epsilon }$. Eta variaĵo (modifita minimuma subtraho aŭ MS) ignoras ankaŭ la termojn ${\displaystyle \ln(4\pi )-\gamma }$ kiuj okazas multfoje en dimensia reguligo (${\displaystyle \gamma }$ estas la konstanto de Eŭlero-Mascheroni).

Ekzemple, konsideru la lagranĝianon

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial \phi _{0})^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{0}^{2}-\lambda \phi ^{4}}$

kun nuda kampo ${\displaystyle \phi _{0}}$, nuda maso ${\displaystyle m_{0}}$, kaj nuda kuplokonstanto ${\displaystyle \lambda _{0}}$. Difinu:

${\displaystyle \phi ={\sqrt {Z}}\phi _{0}}$

${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}-\delta _{\lambda }}$

${\displaystyle m=m_{0}}$

kun fizika kampo ${\displaystyle \phi }$, maso ${\displaystyle m}$, ktp. Do difinu la kontraŭtermojn

${\displaystyle \delta _{Z}=Z-1}$

${\displaystyle \delta _{m^{2}}=m_{0}^{2}Z-m^{2}}$

${\displaystyle \delta _{\lambda }=\lambda _{0}Z^{2}-\lambda }$.

Do:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\lambda \phi ^{4}}$

${\displaystyle +{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial \phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta _{m^{2}}\phi _{r}^{2}-\delta _{\lambda }\phi ^{4}}$.

Oni ĝustigos la kontraŭtermojn nuligi la diverĝajn termojn. La kontraŭtermoj aspektas kvazaŭ ili estus "aldonata" al la originala lagranĝiano se oni konfuzus la nudajn kaj fizikajn parametrojn; tial oni idiome parolas pri la "aldono" de kontraŭtermoj. Reale, tamen, oni nur fendas ĉiun originalan termon al la fizika termo kaj la kontraŭtermo.

Pluraj skemoj de reguligo ekzistas. La plej simpla koncepte, sed malfacila teknike, estas limigo de la intervalon de integralado, t.e., oni integralas tra movokvantoj kiuj (eŭklidaj) normoj estas malpli ol ${\displaystyle \Lambda }$. Tamen tiu ĉi detruas simetrion de Lorentz ktp.

Pli facila teknike estas la metodo de Pauli–Villars, enkondukita en 1949 de Wolfgang Pauli kaj Felix Villars^[1], kio aldonas fikcian, tre pezan specon de partiklo kun maso ${\displaystyle \Lambda }$ al la teorio. La efiko de la peza partiklo nuliĝas kiel ${\displaystyle \Lambda \to \infty }$. La metodo de Pauli–Villars, tamen, detruas simetrion gaŭĝan.

Pro reguligi gaŭĝajn teoriojn, plej facila estas la dimensia reguligo, laŭ kiu oni traktas integralojn kiel meromorfaj funkcioj de nombro de dimensioj de spactempo (per analitika sternaĵo). Tiu estas, oni kalkulas la integralon en dimensio ${\displaystyle 4-\epsilon }$. La integraloj dependos de ${\displaystyle 1/\epsilon }$; oni kalkulas la limeson ${\displaystyle \epsilon \to 0}$.

Pro ĝenerala leganto:

• Baez, J. Renormalization Made Easy, (2005).
• Blechman, A. E. Renormalization: Our Greatly Misunderstood Friend, (2002).
• Cao, T. Y., kaj S.S. Schweber. The Conceptual Foundations and the Philosophical Aspects of Renormalization Theory, Synthese, 97(1) (1993), 33–108. doi:10.1007/BF01255832
• Delamotte, B. A hint of renormalization, American Journal of Physics 72 (2004) pp. 170–184. doi:10.1119/1.1624112 hep-th/0212049.
• Elizalde, E.; Zeta regularization techniques with Applications.
• Ŝirkov, D. Fifty Years of the Renormalization Group, C.E.R.N. Courrier 41(7) (2001). [1] Arkivigite je 2008-12-05 per la retarkivo Wayback Machine.

Aplikaĵoj en partikla fiziko:

• Bogoliubov, N.N, kaj D. V. Shirkov. The Theory of Quantized Fields. Novjorko, Interscience (1959).
• 't Hooft, Gerard; The Glorious Days of Physics – Renormalization of Gauge theories (1998). arXiv:hep-th/9812203 Arkivigite je 2017-07-02 per la retarkivo Wayback Machine.
• Iagolnitzer, D. kaj Magnen, J. Renormalization group analysis, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publisher (1996). [2].
• Pokorski, S. Gauge Field Theories, Cambridge University Press (1987) ISBN 0-521-47816-2.
• Rivasseau, V. An introduction to renormalization, Poincaré Seminar (Parizo, 12 Okt. 2002), en : Duplantier, B. kaj Rivasseau, V. (redaktistoj). Poincaré Seminar 2002, Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003) ISBN 3-7643-0579-7. [3].
• —. From perturbative to constructive renormalization, Princeton University Press (1991) ISBN 0-691-08530-7. [4]^{[rompita ligilo]}.
• Ryder, L. H. Quantum Field Theory (Cambridge University Press, 1985), ISBN 0-521-33859-X
• Scharf, Günter; Finite quantum electrodynamics: The causal approach, Springer Verlag Berlino Heidelberg Novjorko (1995) ISBN 3-540-60142-2.
• A. S. Švarc (Albert Schwarz), Математические основы квантовой теории поля, Atomizdat, Moskvo, 1975. 368 pp.
• Weinberg, S. The Quantum Theory of Fields (3 volumes) Cambridge University Press (1995).
• Zee, A. Quantum Field Theory in a Nutshell, Princeton University Press (2003) ISBN 0-691-01019-6.

Aplikaĵoj en statistika fiziko:

• Brown, L. M. (redaktistoj); Renormalization: From Lorentz to Landau (and Beyond), Springer-Verlag (Novjorko, 1993) ISBN 0-387-97933-6.
• Cardy, J. Scaling and Renormalization in Statistical Physics, Cambridge University Press (1996) ISBN 0-521-49959-3.
• Domb, C. The Critical Point: A Historical Introduction to the Modern Theory of Critical Phenomena, CRC Press (Mar 1996) ISBN 0-7484-0435-X.
• Goldenfeld, N. Lectures on Phase Transitions and the Renormalization Group, Frontiers in Physics 85, Westview Press (June, 1992) ISBN 0-201-55409-7.
• Vasil'ev, A. N. The Field Theoretic Renormalization Group in Critical Behavior Theory and Stochastic Dynamics (Routledge Chapman & Hall 2004); ISBN 978-0415310024
• Zinn-Justin, J. Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Oxford University Press (4th edition – 2002) ISBN 0-19-850923-5.
• —. Phase Transitions & Renormalization Group: from Theory to Numbers, Poincaré Seminar (Parizo, Oct. 12, 2002), en: Duplantier, Bertrand; Rivasseau, Vincent (redaktistoj); Poincaré Seminar 2002, Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003) ISBN 3-7643-0579-7. [5] Arkivigite je 2005-10-15 per la retarkivo Wayback Machine.

Alioj:

• Connes, A. Symétries Galoisiennes & Renormalisation, Poincaré Seminar (Paris, Oct. 12, 2002), en: Duplantier, Bertrand; Rivasseau, Vincent (redaktistoj); Poincaré Seminar 2002, Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003) ISBN 3-7643-0579-7. arXiv:math/0211199v1.
• Ŝirkov, D. The Bogoliubov Renormalization Group, JINR Communication E2-96-15 (1996). arXiv:hep-th/9602024
• Zinn-Justin, J. Renormalization and renormalization group: From the discovery of UV divergences to the concept of effective field theories, e: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (redaktistoj), Proceedings of the NATO ASI on Quantum Field Theory: Perspective and Prospective, June 15–26, 1998, Les Houches, Francio, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375–388 (1999). [6].