Simboloj de Christoffel

En diferenciala geometrio, la simboloj de Christoffel estas la koeficientoj de la konekto de Levi-Civita difinita de la rimana metriko.

Supozu rimanan sternaĵon ${\displaystyle (M,g_{ij})}$. Ni uzas la ejnŝtejnan notacion, laŭ kiu ripetita paro de malsupra kaj supra indicoj implicite indikas sumon.

La simboloj de Christoffel estas la ĉi-subaj objektoj:

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\frac {1}{2}}g^{kk'}(\partial _{i}g_{jk'}+\partial _{j}g_{ik'}-\partial _{k'}g_{ij})}$.

Ĉi tiuj estas la koeficientoj de la konekto de Levi-Civita difinita de la rimana metriko ${\displaystyle g}$. Konkrete, jen la kovarianta derivo de vektora kampo ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle \nabla _{i}X^{j}=\partial _{i}X^{j}+\Gamma _{j'i}^{j}X^{j'}}$.

Simile, la kovarianta derivo de diferenciala 1-formo ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \nabla _{i}\alpha _{j}=\partial _{i}\alpha _{j}-\Gamma _{ij}^{j'}\alpha ^{j'}}$.

La simboloj de Christoffel estas simetriaj je la malsupra paro de indicoj:

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}}$.

La kontrahiĝo de la simboloj de Christoffel estas simpla:

${\displaystyle \Gamma _{ji}^{i}={\frac {1}{2}}\partial _{j}\ln |\det g|}$.

En la ĉi-supro, ${\displaystyle |\det g|}$ estas la absoluta valoro de la determinanto de ${\displaystyle g_{ij}}$.

La simbolojn de Christoffel malkovris la germana matematikisto Elwin Bruno Christoffel.

• Eric W. Weisstein, Christoffel symbols en MathWorld.