Ejgeno kaj ejgenvektoro

En lineara algebro, ejgeno, aŭ ajgeno aŭ ankoraŭ propra valoro de kvadrata matrico A estas nombro λ tia ke por iu ne nula vektoro x veras egaleco

Ax = λx ,

tiam la vektoro x estas ejgenvektoro, aŭ ajgenvektoro aŭ ankoraŭ propra vektoro, respektiva al la ajgeno λ.

La bezono ke la ajgenvektoro esti ne nula estas ĉar la ekvacio A0 = λ0 (0 estas la nula vektoro) veras por ĉiu A kaj ĉiu λ. Pro tio ke la ekvacio estas tiam bagatele vera, ĉi tio ne estas interesa okazo. En kontrasto, ajgeno povas esti nulo en netriviala vojo. Ajgeno povas esti, kaj kutime estas, ankaŭ kompleksa nombro. En la difino donita pli supre, ajgenvektoroj kaj ajgenoj ne okazas sendepende. Anstataŭe, ĉiu ajgenvektoro estas asociita kun specifa ajgeno. Por ĉi tiu kaŭzo, ajgenvektoro x kaj respektiva ajgeno λ estas kune la ajgenparo.

Matrico A prezentas linearan transformon de la vektora spaco - turnadon, reflekton, streĉon, kunpremon, tondon aŭ kombinaĵon de ĉi tiuj.

Vektoroj kiuj ne estas ajgenvektoroj (kutime plejparto de la vektoroj) ŝanĝas sian direkton kiam la lineara transformo difinita per la matrico A estas aplikata. Ajgenvektoroj ne ŝanĝas sian direkton kiam la lineara transformo difinita per la matrico estas aplikata, alivorte Ax estas paralela al x. Notu, ke ĉi tie ŝanĝo de direkto estas en senco de iĝo neparalelan. Ŝanĝo de la direkto al la kontraŭa ne estas konsiderata kiel ŝanĝo de la direkto, kaj ĉi tia okazo respektivas al negativa ajgeno.

La termino ajgeno (prefereble nomata ejgeno de PIV) originas de la germana vorto eigen (= propra, tipa), kiu estis uzata, en ĉi tiu kunteksto, de David Hilbert en 1904. Eigen tradukiĝas per la adjektivoj propra, karakteriza aŭ la prefiksece uzata aŭto-.

Ĉiu ajgeno estas asociita kun nefinie multaj ajgenvektoroj. Se x estas ajgenvektoro respektiva al ajgeno λ, do por ĉiu reela aŭ kompleksa α, α≠0, ankaŭ αx estas ajgenvektoro respektiva al ajgeno λ, ĉar

A(αx) = α(Ax) = α(λx) = λ(αx) .

Tamen unu ajgeno povas esti asociita ankaŭ kun kelkaj neparalelaj ajgenvektoroj. Se x kaj y estas ĉi tiaj neparalelaj ajgenvektoroj respektivaj al la sama ajgeno λ', do por ĉiuj reelaj aŭ kompleksaj α kaj β, tiaj ke α≠0 aŭ β≠0, ankaŭ αx+βy estas ajgenvektoro respektiva al ajgeno λ, ĉar

A(αx+βy) = α(Ax)+β(Ay) = α(λx)+β(λy) = λαx+λβy = λ(αx+βy) .

Do ĉiu (ne nula) lineara kombinaĵo de ajgenvektoroj estas denove ajgenvektoro de la sama ajgeno. Tiel, kune kun la nula vektoro ajgenvektoroj respektivaj al la ajgeno formas linearan spacon, kiu estas nomata kiel ajgenspaco de la ajgeno.

Sed male, se ajgenvektoro estas donita, la asociita ajgeno por ĉi tiu ajgenvektoro estas unika. Ja, de la egaleco

Ax = λx = λ'x kaj de x ≠ 0 sekvas ke λ = λ' .

Ajgenvektoro estas la ĉefa ajgenvektoro aŭ domina ajgenvektoro se ĝi respektivas al la ajgeno de plej granda absoluta valoro. Rezulto de ripetita apliko de lineara transformo al ajna vektoro (kiu estas ne nula kaj ne estas la alia, neparalela, ajgenvektoro) proksimiĝas al vektoro paralela al la ĉefa ajgenvektoro.

Se A estas la identa matrico multiplikita per iu nombro, tiam neniu vektoro ŝanĝas sian direkton, kaj ĉiuj ne-nulaj vektoroj estas ajgenvektoroj.

Konsideru n×n matricon, A, kun ejgenoj ${\displaystyle \lambda _{i}}$, ${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$. Sekvas ke:

• la spuro de A estas

${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum \lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}}$;

• la determinanto de A estas

${\displaystyle \operatorname {det} (A)=\prod \lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}}$;

• la ejgenoj de k-a potenco de ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle A^{k}}$, estas la k-aj potencoj de la ${\displaystyle \lambda _{i}}$, t.e. ${\displaystyle \lambda _{1}^{k},\dots ,\lambda _{n}^{k}}$.

La tri supraj rezultoj obteneblas per lineara transformo de la matrico al supra triangula matrico, pri kiu la ejgenoj estas lokataj laŭ la diagonalo, la spuro kaj la determinanto estas respektive la sumo kaj la produto de la diagonalelementoj.

• Se ${\displaystyle A=A^{H}}$, t.e., ${\displaystyle A}$ estas hermita matrico, ĉiu ejgeno estas reela. Se ankaŭ ĝi estas pozitive difinita matrico, pozitive duondifinita, negative difinita, aŭ negative duondifinita, ĉiu ejgeno estas respektive pozitiva, nenegativa, negativa, aŭ nepozitiva.

• Ĉiu ejgeno de unita matrico havas absolutan valoron ${\displaystyle |\lambda |=1}$.

La trovado de la ajgenoj kaj ajgenvektoroj estas grava en multaj terenoj.

La difinan egalecon

Ax = λx ,

eblas reskribi kiel

Ax = λIx ,

kie I estas la identa matrico, kaj plu kiel

Ax - λIx = 0 ,

(A - λI)x = 0           (1).

Ĉi tio povas esti vidita kiel lineara sistemo en kiu la koeficienta matrico estas (A - λI), la vektoro de la nekonataj valoroj estas x, kaj la dekstra flanko estas nulo. Laŭ regulo de Cramer, ĉi tiu sistemo havas ne-bagatelajn solvaĵojn (ne ĉiuj komponantoj de x estas nuloj) se kaj nur se ĝia determinanto estas nula:

det(A - λI) = 0 .

Ĉi tio estas ekvacio por λ kaj estas la karakteriza ekvacio de A, kaj la maldekstra flanko de ĝi estas la karakteriza polinomo. Se iu λ verigas la karakterizan ekvacion do ekzistas ne nula vektoro x kiu verigas la ekvacion (1) kaj do la difinan ekvacion de ajgeno, kaj tiam λ estas ajgeno kaj x estas ajgenvektoro.

Solvinte la karakterizan ekvacion eblas ekscii ajgenon λ, sed la ajgenvektoro x ne estas prezentita en la karakteriza ekvacio, do en ĉi tiu ŝtupo ne eblas ĝin kalkuli.

Ekzemple por se A estas 2 × 2 kvadrata matrico, la karakteriza ekvacio povas esti skribita kiel

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}\\a_{21}&a_{22}-\lambda \end{vmatrix}}=0}$ .

Elvolvado de la determinanto en maldekstre donas la karakterizan polinomon de grado 2, kaj la karakteriza ekvacio estas la kvadrata ekvacio:

${\displaystyle \lambda ^{2}-\lambda (a_{11}+a_{22})+(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})=0}$ ,

kiu havas jenajn solvaĵojn (radikojn):

${\displaystyle \lambda _{1,2}={\frac {1}{2}}\left[(a_{11}+a_{22})\pm {\sqrt {4a_{12}a_{21}+(a_{11}-a_{22})^{2}}}\right]}$ .

Por reelaj matricoj, la koeficientoj de la karakteriza polinomo estas ĉiuj reelaj. La kvanto kaj speco de radikoj dependas de valoro de la diskriminanto, D. Por okazoj) D>0, D=0 aŭ D<0, respektive, la radikoj estas du reelaj, unu reela aŭ du kompleksaj. Se la radikoj estas komplekso, ili estas ankaŭ kompleksaj konjugitoj unu de la alian. Kiam la nombro de radikoj estas malpli ol la grado de la karakteriza polinomo (la lasta estas ankaŭ la kvanto de dimensioj de la vektora spaco) la ekvacio havas opan radikon. Ĉe kvadrata ekvacio kun unu radiko, ĉi tiu radiko estas duopa radiko, aŭ radiko kun obleco 2. Radiko kun obleco de 1 estas simpla radiko. Kvadrata ekvacio kun du reelaj aŭ kompleksaj radikoj havas nur simplajn radikojn. Ĝenerale, la algebra obleco de ajgeno estas difinita kiel la obleco de la respektiva radiko de la karakteriza polinomo. La sumo de la algebraj oblecoj de ĉiuj ajgenoj estas egala al dimensio de la matrico.

La ĝenerala formulo por la karakteriza polinomo de n-kvadrata matrico estas

${\displaystyle p(\lambda )=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}S_{k}\lambda ^{n-k}}$ ,

kie S₀ = 1, S₁ = tr(A), la spuro de la matrico A, kaj S_k kun k > 1 estas sumoj de la ĉefaj minoroj de ordo k.

Laŭ la fundamenta teoremo de algebro, en kompleksa spaco la karakteriza polinomo havas almenaŭ unu nulo. Sekve, ĉiu matrico havas almenaŭ unu ajgenon.

Por ke trovi la ajgenvektorojn la trovitaj ajgenoj devas esti metitaj reen en la ekvacion.

Ekzemplo por n=2:

${\displaystyle \left({\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right){\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}\\a_{21}&a_{22}-\lambda \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$ ,

kie λ estas unu el la ajgenoj. Ĉi tiu matrica ekvacio estas ekvivalenta al sistemo de du linearaj ekvacioj:

${\displaystyle {\begin{cases}\left(a_{11}-\lambda \right)x+a_{12}y=0\\a_{21}x+\left(a_{22}-\lambda \right)y=0\end{cases}}}$

La ekvacioj estas solvataj por x kaj y per la kutimaj algebraj aŭ matricaj manieroj. Ofte eblas dividi ambaŭ flankojn de la ekvacioj je koeficientoj tiel ke la koeficientoj ĉe la nekonataj valoroj estos 1. Ĉi tio estas normaligo de la vektoroj, kaj respektivas al elekto de unu el la ununormigita ajgenvektoro kiel prezentanta de ĉiuj vektoroj en la ajgenspaco respektiva al la ajgeno. La x kaj y tial estas la komponantoj de la ajgenvektoro.

Per teoremo de Cayley-Hamilton kiu diras ke ĉiu kvadrata matrico kontentigas sian karakterizan ekvacio, eblas montri ke (plej ĝenerale, en la kompleksa spaco) ekzistas almenaŭ unu ne-nula vektoro kiu kontentigas la ajgenan ekvacion por la matrico.

La dimensio de ajgenspaco de ajgeno estas kvanto de la lineare sendependaj ajgenvektoroj, ĝi estas la geometria obleco de la ajgeno. La geometria obleco ne povas esti pli granda ol la algebra obleco.

Tamen (kiel estas pli supre skribite) al malsamaj ajgenoj ĉiam respektivas lineare sendependaj ajgenvektoroj.

La komplikeco de la problemo de trovo de ajgenoj pligrandiĝas rapide kun pligrandiĝo de n. Por n=3, ajgenoj estas radikoj de kuba ekvacio, por n=4 - radikoj de la ekvacio de la 4-a ordo. Por n > 4 ne estas akurataj solvaĵoj en ĝenerala okazo.

Noto ke maniero de kalkulado de ajgenoj kaj ajgenvektoroj per la karakteriza polinomo ne estas bone taŭga por reala nombra komputado en komputilo. Uzo de ĉi tiu maniero povas rezultiĝi je granda perdo de la precizeco. Por nombra komputado de ajgenoj kaj ajgenvektoroj estas specialaj algoritmoj, kiuj kondutas pli bone.

Ajgenoj povas esti konsiderataj ĉe linearaj operatoroj en vektora spaco de malfinia dimensio.

Ekzemple, estu spaco de diferencialeblaj funkcioj f(t). La transformo T estu diferenciala operatoro de diferencialado kun respekto al la argumento t. La ajgenvektoroj estas tiam kutime nomataj kiel propraj funkcioj de la operatoroT.

Diferencialado estas lineara transformo pro tio ke

${\displaystyle \displaystyle {\frac {d}{dt}}(af+bg)=a{\frac {df}{dt}}+b{\frac {dg}{dt}}}$

kie f(t) kaj g(t) estas diferencialeblaj funkcioj, kaj a kaj b estas nombroj.

La propraj funkcioj h(t) devas kontentigi la ajgenan ekvacion:

${\displaystyle \displaystyle {\frac {dh}{dt}}=\lambda h}$ ,

kie λ estas la ajgeno asociita kun la funkcio.

La solvaĵo estas:

h(t)=αe^λt

por ĉiuj nombroj α≠0 kaj λ.

Ĝi estas konstanta funkcio se λ=0 kaj eksponenta funkcio se λ≠0.

La ajgenspaco asociita kun ĉiu donita ajgeno λ estas de unu dimensio, la dimensio respektivas al ŝanĝo de nombro α.

En ĝia plej simpla versio, la spektra teoremo diras, ke, je certaj kondiĉoj, produto de matrico kaj vektoro Av povas esti esprimita kiel lineara kombinaĵo de ajgenvektoroj de A, en kiu la koeficiento de ĉiu ajgenvektoro estas egala al la respektiva ajgeno multiplikita je skalara produto de la ajgenvektoro kun vektoro v. Ĉi tio povas esti skribita kiel:

${\displaystyle \mathbf {Av} =\lambda _{1}(\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}(\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} _{2}+\cdots }$

kie v₁, v₂, ... kaj λ₁, λ₂, ... estas ajgenvektoroj kaj respektivaj ajgenoj de A. La teoremo estas valida por ĉiuj hermitaj matricoj (inter ili - por ĉiuj reelaj simetriaj matricoj), kaj por la pli ĝenerala klaso de (kompleksaj) normalaj matricoj.

La k-a potenco de matrico A povas esti difinita kiel matrico A multiplikita je si (k-1) fojojn,

A²=AA, A³=AAA, ... .

Tiam la k-a potenco de transformo T(v)=Av estas sinsekve k transformoj T, rezultas produto de la vektoro v al la multipliko de A je si (k-1) fojojn:

T^k(v) = A^kv ;

ekzemple por k=2:

T²(v) = T(T(v)) = A(Av) = (AA)v = A²v .

Tiel oni povas ankaŭ difini polinomon de matrico kaj de transformo. Pli ĝenerala versio de la teoremo diras, ke ĉiu polinomo P de A aŭ de T estas donita per

${\displaystyle P(T)(\mathbf {v} )=P(A)\mathbf {v} =P(\lambda _{1})(\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} _{1}+P(\lambda _{2})(\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} _{2}+\cdots }$ .

La spektra teoremo por matricoj povas esti komencita kiel sekvas. Estu A kvadrata n×n matrico. Estu q₁, ... ,q_k ejgenvektora bazo, kio estas indeksita aro de k lineare sendependaj ejgenvektoroj, kie k estas la dimensio de la spaco generita de la ejgenvektoroj de A. Se k = n, tiam A povas esti skribita kiel

A=QΛQ⁻¹

kie Q estas kvadrata n×n matrico kies i-a kolumno estas la baza ejgenvektoro q_i kaj Λ estas la diagonala matrico kies diagonalaj eroj estas la respektivaj ejgenoj, kio estas Λ_ii = λ_i.

• Kvadrata ejgena problemo
• Lineara algebro
• Lineara bildigo
• Spektro de matrico aŭ farata per ĝi transformo sur finie dimensia vektora spaco estas difinita kiel la aro de ĉiuj ĝiaj ejgenoj.

• Ajgeno de matrico en PlanetMath.
• Ajgenvektoro je MathWorld
• ARPACK Arkivigite je 2009-02-24 per la retarkivo Wayback Machine - kolekto de fortran-proceduroj por ajgenaj taskoj
• LAPACK - kolekto de fortran-proceduroj por ajgenaj taskoj
• ALGLIB inkluzivas parton de proceduroj de LAPACK reskribitaj en C++, C#, Paskalo kaj tiel plu
• Surlinia kalkulilo por ajgenoj kaj ajgenvektoroj
• Surlinia matrica kalkulilo Arkivigite je 2008-12-12 per la retarkivo Wayback Machine de ajgenoj ajgenvektoroj kaj aliaj malkomponaĵoj de matricoj.
• Ŝablonoj por la solvado de ajgenaj problemoj