Atendata valoro

En probablo-teorio la atendata valoro (aŭ ekspekto aŭ matematika ekspekto) de hazarda variablo estas la sumo de probabloj de ĉiuj eblaj rezultoj de la eksperimento, multiplikitaj per respektivaj valoroj de la variablo. Tial, ĝi prezentas la averaĝan kvanton, kiun oni "atendas" havi de la eksperimentado, se ĝi estas ripetita multfoje. Notu, ke la valoro mem estas tute ne atendata en la ĝenerala senco; ĝi povas esti malverŝajna aŭ tute neebla. Ludo aŭ situacio, en kiu la atendita valoro por la ludanto estas nulo (alivorte - nek gajno, nek malgajno) estas nomita "justa ludo".

Ekzemple, ĵetkubo povas doni egalprobable nombrojn 1, 2, 3, 4, 5, 6. Do la probablo de ĉiu el ĉi tiuj nombroj estas 1/6. Do la atendata valoro estas

(1/6)*1 + (1/6)*2 + (1/6)*3 + (1/6)*4 + (1/6)*5 + (1/6)*6 = 3.5 .

Ĝenerale, se ${\displaystyle X\,}$ estas hazarda variablo difinita sur probablospaco ${\displaystyle (\Omega ,P)\,}$, do la atendita valoro de ${\displaystyle X\,}$ (signita kiel ${\displaystyle \mathrm {E} (X)\,}$ aŭ iam ${\displaystyle \langle X\rangle }$ aŭ ${\displaystyle \mathbb {E} (X)}$) estas difinita kiel

${\displaystyle \mathrm {E} (X)=\int _{\Omega }X\,dP}$

kie la lebega integralo estas uzata. Notu, ke ne ĉiu hazarda variablo havas atenditan valoron, ĉar la integralo povas ne ekzisti (ekzemple por la koŝia distribuo). Du variabloj kun la sama probablodistribuo havas la saman atenditan valoron, se ĝi estas difinita.

Se ${\displaystyle X}$ estas diskreta hazarda variablo kun valoroj ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ... kaj respektivaj probabloj ${\displaystyle p_{1}}$, ${\displaystyle p_{2}}$, ... (kiuj sume estas 1) do ${\displaystyle \mathrm {E} (X)}$ povas esti komputita kiel la sumo de serio

${\displaystyle \mathrm {E} (X)=\sum _{i}p_{i}x_{i}\,}$

kiel en la ekzemplo menciita pli supre.

Se la probablodistribuo de ${\displaystyle X}$ havas probablodensan funkcion ${\displaystyle f(x)}$, tiam la atendita valoro povas esti komputita kiel

${\displaystyle \mathrm {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x.}$

Se ${\displaystyle X}$ estas konstanta hazarda variablo ${\displaystyle X=b}$ por iu fiksita reela nombro ${\displaystyle b}$, do la atendita valoro de ${\displaystyle X}$ estas ankaŭ ${\displaystyle b}$.

La atendita valoro de ajna funkcio de x, g(x), kun respekto al la probablodensa funkcio f(x) estas donita per

${\displaystyle \mathrm {E} (g(X))=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,\mathrm {d} x.}$

La atendata-valora operatoro (aŭ ekspekta operatoro) ${\displaystyle \mathrm {E} }$ estas lineara en la senco, ke

${\displaystyle \mathrm {E} (aX+bY)=a\mathrm {E} (X)+b\mathrm {E} (Y)\,}$

por ĉiuj du hazardaj variabloj ${\displaystyle X}$ kaj ${\displaystyle Y}$ (kiuj devas esti difinitaj sur la sama probablospaco) kaj ĉiuj reelaj nombroj ${\displaystyle a}$ kaj ${\displaystyle b}$.

Por ĉiuj du hazardaj variabloj ${\displaystyle X,Y}$ oni povas difini la kondiĉan ekspekton:

${\displaystyle \mathrm {E} [X|Y](y)=\mathrm {E} [X|Y=y]=\sum _{x}x\cdot \mathrm {P} (X=x|Y=y).}$

Tiam la ekspekto de ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathrm {E} \left(\mathrm {E} [X|Y]\right)&=&\sum _{y}\mathrm {E} [X|Y=y]\cdot \mathrm {P} (Y=y)\\&=&\sum _{y}\left(\sum _{x}x\cdot \mathrm {P} (X=x|Y=y)\right)\cdot \mathrm {P} (Y=y)\\&=&\sum _{y}\sum _{x}x\cdot \mathrm {P} (X=x|Y=y)\cdot \mathrm {P} (Y=y)\\&=&\sum _{y}\sum _{x}x\cdot \mathrm {P} (Y=y|X=x)\cdot \mathrm {P} (X=x)\\&=&\sum _{x}x\cdot \mathrm {P} (X=x)\cdot \left(\sum _{y}\mathrm {P} (Y=y|X=x)\right)\\&=&\sum _{x}x\cdot \mathrm {P} (X=x)\\&=&\mathrm {E} [X].\end{matrix}}}$

De ĉi tie jena ekvacio sekvas:

${\displaystyle \mathrm {E} [X]=\mathrm {E} \left(\mathrm {E} [X|Y]\right).}$

La dekstra flanko de ĉi tiu ekvacio nomiĝas la ripetita ekspekto. Ĉi tiu propozicio estas traktita en leĝo de tuteca ekspekto.

Se hazarda variablo X estas ĉiam malpli ol aŭ egala al alia hazarda variablo Y, do la ekspekto de X estas malpli ol aŭ egala al tiu de Y:

Se ${\displaystyle X\leq Y}$, tiam ${\displaystyle \mathrm {E} [X]\leq \mathrm {E} [Y]}$.

Aparte, ĉar ${\displaystyle X\leq |X|}$ kaj ${\displaystyle -X\leq |X|}$, la absoluta valoro de ekspekto de hazarda variablo estas malpli aŭ egala al la ekspekto de ĝia absoluta valoro:

${\displaystyle |\mathrm {E} [X]|\leq \mathrm {E} [|X|]}$

Jena formulo veras por ĉiu nenegativa reelvalora hazarda variablo ${\displaystyle X}$ tia ke ${\displaystyle \mathrm {E} [X]<\infty }$) kaj pozitiva reela nombro ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \mathrm {E} [X^{\alpha }]=\alpha \int _{0}^{\infty }t^{\alpha -1}\mathrm {P} (X>t)\mathrm {d} t.}$

Ĝenerale, la atendita-valora operatoro estas ne multiplika, kio signifas, ke ${\displaystyle \mathrm {E} (XY)}$ ne estas bezone egala al ${\displaystyle \mathrm {E} (X)\mathrm {E} (Y)}$, escepte se ${\displaystyle X}$ kaj ${\displaystyle Y}$ estas sendependaj aŭ nekorelaciigitaj. Ĉi tiu manko de multiplikeco necesigas studojn de kunvarianco kaj korelacio.

Ĝenerale, la ekspekta operatoro kaj funkcioj de hazarda variablo ne estas komutecaj; tio estas ke

${\displaystyle \mathrm {E} (g(X))=\int _{\Omega }g(X)\,\mathrm {d} P\neq g(\operatorname {E} X),}$

• Reprodukta valoro (populacia genetiko)
• Kondiĉa ekspekto
• An neegalaĵo sur loko kaj skalaj parametroj
• Atendata nombro
• Atendata valoro estas ankaŭ grava koncepto en ekonomiko.