File:SIRD model anim.gif

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DescriptionSIRD model anim.gif	Deutsch: Animation zum SIRD-Modell mit den Startwerten ${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$ sowie anfänglicher Infektionsrate ${\textstyle \beta =0,0005}$ sowie den konstanten Raten für die Gruppe R ${\textstyle \gamma =0,035}$ sowie Mortalität ${\textstyle \mu =0,005}$ . Stehen weder Medikamente noch eine Impfung zur Verfügung, so kann man nur die Zahl der Infektionen reduzieren (häufig als „Abflachung der Kurve“ bezeichnet), indem man geeignete Maßnahmen ergreift (z. B. durch weitgehende Kontaktvermeidung, Ausgangsperre). Die Animation zeigt, wie sich eine Senkung der Infektionsrate um 76 % (von ${\textstyle \beta =0,0005}$ auf ${\textstyle \beta =0,00012}$ ) auswirkt. System von Differentialgleichungen für dieses Modell: ${\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=-\beta \cdot S(t)\cdot I(t)$ ${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=\beta \cdot S(t)\cdot I(t)-\gamma \cdot I(t)-\mu \cdot I(t)$ ${\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}=\gamma \cdot I(t)$ ${\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} t}}=\mu \cdot I(t)$ Diese Animation wurde mit de:GeoGebra erstellt, wobei die numerischen Lösungen des genannten Systems der Differentialgleichungen ermittelt wurden. Der entscheidende Teil der Konstruktion lautet: ########################################## # das System der Differentialgleichungen # ########################################## S'(t, S, I, R, D) = -ß I S I'(t, S, I, R, D) = ß S I - γ I - μ I R'(t, S, I, R, D) = γ I D'(t, S, I, R, D) = μ I ####################################################################### # numerische Lösung des Systems der Differentialgleichungen bestimmen # ####################################################################### NLöseDgl[{S', I', R', D'}, 0, {s_0, i_0, r_0, d_0}, T_{max}] # liefert: # NumerischesIntegral1 -> S # NumerischesIntegral2 -> I # NumerischesIntegral3 -> R # NumerischesIntegral4 -> D Anmerkung: In der Literatur werden teilweise modifizierte Formen dieser DGL benutzt, die aber gleichwertig sind. Leider werden oft dieselben Parameter benutzt. Beispiel für die erste DGL, wobei die Infektionsrate der Klarheit halber ${\textstyle {\tilde {\beta }}}$ benannt ist: ${\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\tilde {\beta }}{N}}\cdot S(t)\cdot I(t)$ Setzt man ${\textstyle \beta ={\frac {\tilde {\beta }}{N}}}$ , so ist die DGL identisch mit der oben verwendeten. ${\textstyle N}$ ist konstant (Invariante des Modells) und für die Aufstellung der DGL nicht erforderlich; bei der hier verwendeten Implementierung wurde noch nicht einmal eine Variable für ${\textstyle N}$ vorgesehen. English: Animation of the SIRD model with initial values ${\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}$ , and rates of recovery ${\textstyle \gamma =0.035}$ and mortality ${\textstyle \mu =0.005}$ . The animation shows the effect of reducing the rate of infection from ${\textstyle \beta =0.5}$ to ${\textstyle \beta =0.12}$ . If there is no medicine or vaccination available, it is only possible to reduce the infection rate (often referred to as "flattening the curve") by measures such as "social distancing". System of differential equations used for this model: ${\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=-\beta \cdot S(t)\cdot I(t)$ ${\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=\beta \cdot S(t)\cdot I(t)-\gamma \cdot I(t)-\mu \cdot I(t)$ ${\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}=\gamma \cdot I(t)$ ${\frac {\mathrm {d} D}{\mathrm {d} t}}=\mu \cdot I(t)$ This animation was created with en:GeoGebra by computing the numerical solutions of the system of differential equations. The core part of the construction is as follows: #################################### # system of differential equations # #################################### S'(t, S, I, R, D) = -ß I S I'(t, S, I, R, D) = ß S I - γ I - μ I R'(t, S, I, R, D) = γ I D'(t, S, I, R, D) = μ I ############################################################### # numerical solutions of the system of differential equations # ############################################################### NSolveODE[{S', I', R', D'}, 0, {s_0, i_0, r_0, d_0}, T_{max}] # Result: # numericalIntegral1 -> S # numericalIntegral2 -> I # numericalIntegral3 -> R # numericalIntegral4 -> D Note: Some authors use modified, but equivalent forms of the ODEs. Unfortunately, the same parameters are sometimes used. Example for the first ODE, where the infection rate is named ${\textstyle {\tilde {\beta }}}$ for the sake of clarity: ${\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\tilde {\beta }}{N}}\cdot S(t)\cdot I(t)$ By substituting ${\textstyle \beta ={\frac {\tilde {\beta }}{N}}}$ , you get the same ODE as above. ${\textstyle N}$ is a constant value (invariant of the model) and not needed for the ODE; in fact, the implementation didn't even use a variable for ${\textstyle N}$ .
Date	18 March 2020
Source	own image
Author	Phrontis

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current	09:50, 28 March 2020		1,048 × 827 (4.82 MB)	Phrontis	+loop
	12:43, 18 March 2020		1,048 × 827 (4.82 MB)	Phrontis	== {{int:filedesc}} == {{Information \|Description= {{de\|1=Animation zum SIRD-Modell mit den Startwerten <math display="inline">S_0=997, I_0=3, R_0=0</math> sowie anfänglicher Infektionsrate <math display="inline">\beta=0,0005</math> sowie den konstanten Raten für die Gruppe ''R'' <math display="inline">\gamma=0,035</math> sowie Mortalität <math display="inline">\mu=0,005</math>. Stehen weder Medikamente noch eine Impfung zur Verfügung, so kann man nur die Zahl der Infektionen reduzieren (häu...