Linearität (Physik)

 

Eignen sich zur Beschreibung des Verhaltens eines Bauelementes (eines Gerätes, einer Einrichtung) oder eines physikalischen Zusammenhangs eine Eingangsgröße ${\displaystyle x}$  und eine Ausgangsgröße ${\displaystyle y}$ , und genügen diese Größen der Gleichung

${\displaystyle y=m\cdot x+b\quad {\text{mit }}\ m,b={\text{reelle Konstanten,}}}$ 

so spricht man von einem linearen Bauelement oder einer linearen Funktion.^[2][3] Gleichbedeutend mit diesem linearen Zusammenhang gilt als Kennzeichen der Linearität, wenn

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}=m={\text{konst}}}$ 

ist – und zwar unabhängig von der Größe von ${\displaystyle \Delta x}$  und von der Lage eines Arbeitspunktes, ab dem sowohl ${\displaystyle \Delta x}$  als auch ${\displaystyle \Delta y}$  zählen.

Im Sonderfall ${\displaystyle b=0}$  ist der Zusammenhang durch Proportionalität geprägt. Dann gilt zusätzlich

${\displaystyle {\frac {y}{x}}=m={\text{konst .}}}$ 

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit gleichmäßig geteilten Achsen wird der lineare Zusammenhang zwischen dem Ausgangssignal und dem Eingangssignal durch eine gerade Kennlinie dargestellt. Bei proportionalem Zusammenhang geht diese durch den Koordinatenursprung.

Bei einer stetig gekrümmten Kennlinie kann eine lineare Näherung im Rahmen eines Kleinsignalverhaltens verwendet werden, soweit bei kleinen Werten von ${\displaystyle |\Delta x|}$  die Abweichung der Kurve von ihrer Tangente (im jeweils gewählten Arbeitspunkt) noch gering ist.

 

• Häufig liegt zwischen einer Messgröße (z. B. Konzentration eines Stoffes in der analytischen Chemie) und dem Messsignal (z. B. die elektrische Spannung eines Sensors) eine lineare Funktion zu Grunde. Angestrebt wird bei einem Messgerät möglichst Proportionalität. Dazu wird im Rahmen der Signalbearbeitung in einer Messkette nicht nur das Signal verstärkt, sondern bei Bedarf zusätzlich der Nullpunkt verschoben. Im Fall des nebenstehend gezeigten Messgerätes ist eine Möglichkeit vorhanden, den Zeiger von außen zu verdrehen und damit den Nullpunkt einzustellen.

• In nebenstehendem Bild besteht im zur oberen Skale gehörenden Messbereich ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen der Messgröße und dem Ausschlag bzw. dem Winkel des Zeigers. Durch eine ebenfalls nichtlineare Skalenteilung wird der ablesbare Wert dennoch proportional zur Messgröße.

 

• Eine Spannungsquelle wird als lineare Spannungsquelle bezeichnet, wenn die Klemmenspannung ${\displaystyle U_{\text{kl}}}$  mit steigender Stromstärke ${\displaystyle I}$  abnimmt gemäß der Gleichung

${\displaystyle U_{\text{kl}}=U_{0}-I\,R_{\text{i}}}$ .

 

• Die grundlegenden passiven Bauelemente ohmscher Widerstand, Spule und Kondensator werden in einem Wechselstromkreis als lineare Widerstände bezeichnet, da sie auf eine harmonische Schwingung ${\displaystyle \Delta x}$  der Eingangsgröße mit einer ebenfalls harmonischen Schwingung ${\displaystyle \Delta y}$  der Ausgangsgröße bei gleicher Frequenz reagieren. Dabei sind diese Größen die elektrische Spannung ${\displaystyle U}$  und elektrische Stromstärke ${\displaystyle I}$ . – Halbleiterbauelemente verhalten sich in aller Regel nichtlinear.

• In der Kennlinie eines Feldeffekttransistors ist der Zusammenhang zwischen der Steuerspannung ${\displaystyle U_{\mathrm {GS} }}$  und der gesteuerten Stromstärke ${\displaystyle I_{\mathrm {D} }}$  eines Feldeffekttransistors dargestellt. Es lassen sich zwei Bereiche unterscheiden, wobei die Grenze fließend ist.
  • Im Bereich 0 … −1 V kann die Kurve in guter Näherung als geradlinig angesehen werden; es liegt Linearität vor. Hier folgt einer Spannungsänderung ${\displaystyle \Delta U_{\mathrm {GS} }}$ , die ab einem Arbeitspunkt gezählt wird, eine proportionale Änderung der Stromstärke ${\displaystyle \Delta I_{\mathrm {D} }}$ . Bei einer sinusförmigen zeitlichen Änderung von ${\displaystyle \Delta U_{\mathrm {GS} }}$  folgt ${\displaystyle \Delta I_{\mathrm {D} }}$  ebenfalls sinusförmig.
  • Im Bereich −1 … −3 V ist die Funktion nichtlinear. Hieraus resultieren Verzerrungen: Bei sinusförmigem zeitlichem Verlauf von ${\displaystyle \Delta U_{\mathrm {GS} }}$  folgt ${\displaystyle \Delta I_{\mathrm {D} }}$  mit einem nicht sinusförmigen Verlauf.

Entsprechend der lateinischen Bedeutung des Wortes linea erfolgt u. a. eine Unterscheidung der Bewegungsrichtung von Körpern danach, ob die Bewegung entlang einer entsprechend ausgeprägten geraden Linie erfolgt (linear) oder nicht (nicht linear). Beispiel: In einem Verbrennungsmotor führt der Hubkolben eine geradlinige Bewegung aus (eine ungleichmäßige Translation) und die mit ihm verbundene Kurbelwelle eine kreisförmige Bewegung (im stationären Zustand eine gleichmäßige Rotation).

 

Soweit bei chemischen Analysen elektrische oder andere physikalische Größen gemessen werden, sind Zusammenhänge bekannt, die durch lineare Funktionen beschrieben werden; dazu drei Beispiele:

• In wässerigen Lösungen ist der Zusammenhang zwischen Konzentration und elektrolytischer Leitfähigkeit meistens ein proportionaler.
• Der Zusammenhang zwischen pH-Wert und elektrischer Spannung ist bei geeigneten Elektroden „linear“,^[4] siehe Bild.
• Wird die Temperaturabhängigkeit einer Reaktionsgeschwindigkeit in einem Arrheniusgraphen aufgetragen, erhält man bei kinetisch einfachen Reaktionen einen „linearen Zusammenhang“.^[5] Aus der Steigung des „linearen Graphen“^[6] erhält man die Aktivierungsenergie.

Bei der Methodenvalidierung, wie sie z. B. in der analytischen Chemie oder Forensik verwendet wird, ist ein statistischer Test auf Linearität nach Mandel, der sogenannte Mandel-Test (oder Mandel-Anpassungstest) üblich, anhand dessen bestimmt wird, welches Regressionsmodell (lineare oder quadratische Regression) für den vorliegenden Untersuchungsfall anzunehmen ist.

1. ↑ Detlef Kamke, Wilhelm Walcher: Physik für Mediziner. 2. Auflage. Teubner, 1994, S. 191
2. ↑ Thomas Wenisch: Kurzlehrbuch Physik, Chemie, Biologie. 2. Auflage. Urban&Fischer, 2009, S. 13
3. ↑ Ma​y-Britt Kallenrode: Rechenmethoden der Physik. Springer, 2003, S. 31
4. ↑ Richard Joseph Meyer: Gmelins Handbuch der anorganischen Chemie - Ausgabe 56., 1973, S. 230
5. ↑ Günter Westphal, Hans Buhr, Horst Otto: Reaktionskinetik in Lebensmitteln. Springer, 1996, S. 104
6. ↑ David Smith: Kurzlehrbuch Physikalische Chemie. Wiley – VCH, 2020, S. 284