Konjugation (Gruppentheorie)

Die Konjugationsoperation ist eine Operation einer Gruppe auf sich selbst, die entweder als Linksoperation

${\displaystyle (g,h)\mapsto ghg^{-1}}$ 

oder als Rechtsoperation

${\displaystyle (g,h)\mapsto h^{-1}gh}$ 

definiert ist.

Für die Rechtsoperation ${\displaystyle (g,h)\mapsto h^{-1}gh}$  ist die exponentielle Schreibweise ${\displaystyle h^{-1}gh=g^{h}}$  üblich. In dieser Notation erfüllt die Konjugationsoperation die Beziehung ${\displaystyle (x^{g})^{h}=x^{gh}}$ . Im Folgenden wird die Konjugationsoperation als Linksoperation definiert.

Zwei Elemente ${\displaystyle h_{1}}$  und ${\displaystyle h_{2}}$  einer Gruppe G heißen zueinander konjugiert, wenn es ein Element ${\displaystyle g\in G}$  gibt, sodass ${\displaystyle h_{1}=gh_{2}g^{-1}}$  ist. Die Konjugiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Sie besitzt also folgende Eigenschaften:

• Jedes Element ${\displaystyle h}$  ist konjugiert zu sich selbst (Reflexivität).
• Ist ${\displaystyle h_{1}}$  konjugiert zu ${\displaystyle h_{2}}$ , so ist auch ${\displaystyle h_{2}}$  konjugiert zu ${\displaystyle h_{1}}$  (Symmetrie).
• Ist ${\displaystyle h_{1}}$  konjugiert zu ${\displaystyle h_{2}}$  und ${\displaystyle h_{2}}$  konjugiert zu ${\displaystyle h_{3}}$ , dann ist auch ${\displaystyle h_{1}}$  konjugiert zu ${\displaystyle h_{3}}$  (Transitivität).

Alle Elemente, die zueinander konjugiert sind, bilden jeweils eine Äquivalenzklasse, die sogenannte Konjugationsklasse von ${\displaystyle h}$ :

${\displaystyle G\cdot h=\left\{ghg^{-1}\mid g\in G\right\}}$ 

Dabei kann als ${\displaystyle h}$  ein beliebiges Element der Konjugationsklasse gewählt werden. Die Konjugationsklassen sind die Bahnen der Konjugationsoperation.

Der Stabilisator

${\displaystyle Z_{G}(x)=\left\{g\in G\mid x=gxg^{-1}\right\}}$ 

eines Elementes ${\displaystyle x}$  ist der Zentralisator von ${\displaystyle x}$ .

Zwei Untergruppen ${\displaystyle U}$  und ${\displaystyle V}$  einer Gruppe ${\displaystyle G}$  heißen konjugiert zueinander, wenn es ein ${\displaystyle g\in G}$  gibt mit ${\displaystyle V=gUg^{-1}}$ .

Eine Untergruppe ${\displaystyle N}$  einer Gruppe ${\displaystyle G}$  ist invariant unter Konjugation, wenn für alle Elemente ${\displaystyle h}$  aus ${\displaystyle N}$  und alle Elemente ${\displaystyle g}$  aus ${\displaystyle G}$  das Produkt ${\displaystyle ghg^{-1}}$  wieder in ${\displaystyle N}$  liegt:

${\displaystyle gNg^{-1}=N}$ 

Eine unter Konjugation invariante Untergruppe einer Gruppe wird als Normalteiler der Gruppe bezeichnet. Normalteiler erlauben die Bildung von Faktorgruppen der Gruppe.

Zwei Gruppenwirkungen ${\displaystyle G_{1}\times X\to X}$  und ${\displaystyle G_{2}\times X\to X}$  heißen konjugiert zueinander, wenn ${\displaystyle G_{1}}$  und ${\displaystyle G_{2}}$  als Untergruppen der Automorphismengruppe ${\displaystyle Aut(X)}$  konjugiert zueinander sind.

Die Konjugation mit ${\displaystyle g}$  ist die Abbildung

${\displaystyle \operatorname {int} _{g}\colon G\rightarrow G,\quad h\mapsto ghg^{-1}}$ .

Sie entsteht aus der Konjugationsoperation, indem ${\displaystyle g}$  festgehalten wird. Die Konjugation ist ein Automorphismus von ${\displaystyle G}$ . Automorphismen von ${\displaystyle G}$ , die als Konjugation mit einem Element von ${\displaystyle G}$  geschrieben werden können, werden als innere Automorphismen bezeichnet. Daher kommt auch die Bezeichnung ${\displaystyle \operatorname {int} _{g}}$ , bei der das „int“ für „interior“ steht.^[1] Die inneren Automorphismen ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$  bilden einen Normalteiler der Automorphismengruppe von ${\displaystyle G}$ . Als Kern des Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle T\colon \ G\rightarrow \operatorname {Inn} (G),\quad g\mapsto \operatorname {int} _{g}}$ 

erhält man das Zentrum ${\displaystyle Z(G)}$  von ${\displaystyle G}$ . Nach dem Homomorphiesatz vermittelt die Abbildung ${\displaystyle T}$  also einen Isomorphismus von ${\displaystyle G/Z(G)}$  nach ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$ .

1. ↑ Siegfried Bosch: Algebra. Springer, 2004, ISBN 3-540-40388-4, S. 239