Gütefaktor

Der dimensionslose Gütefaktor ${\displaystyle Q}$  wird in zwei gebräuchlichen und nicht deckungsgleichen Definitionen verwendet, die bei größerem Q-Faktor in Näherung gleiche Ergebnisse liefern.

Bei dieser Definition wird von der im System gespeicherten Energie in Relation zu der Energie pro Schwingungsperiode der Resonanzfrequenz ${\displaystyle f_{r}}$ , welche in dem System als Verlust auftritt und in thermische Energie umgewandelt wird, ausgegangen. Der Gütefaktor ist mit dem aus praktischen Gründen vorhandenen Vorfaktor ${\displaystyle 2\pi }$  definiert als^[3]

${\displaystyle Q\mathrel {=} 2\pi {\frac {\text{gespeicherte Energie}}{\text{Energieverlust pro Periode}}}=2\pi f_{r}{\frac {\text{gespeicherte Energie}}{\text{Verlustleistung}}}=\omega {\frac {\text{gespeicherte Energie}}{\text{Verlustleistung}}}}$ 

mit ${\displaystyle \omega }$  der Kreisfrequenz.

Diese Definition wird auch bei einzelnen verlustbehafteten reaktiven Bauelementen wie einem Kondensator oder einer Spule verwendet, wo das Verhältnis von Blindleistung zu Wirkleistung den Gütefaktor des verlustbehafteten reaktiven Bauelements ausdrückt.

Bei dieser Definition wird von der Resonanzfrequenz ${\displaystyle f_{r}}$  in Relation zur Resonanzbreite ${\displaystyle \Delta f}$  ausgegangen. Die Resonanzbreite stellt eine Bandbreite dar, bei der das Leistungsdichtespektrum auf die Hälfte abgenommen hat, dies entspricht der Halbwertsbreite und wird im technischen Bezug auch als 3-dB-Bandbreite bezeichnet:

${\displaystyle Q={\frac {f_{r}}{\Delta f}}={\frac {\omega _{r}}{\Delta \omega }}}$ 

Nach dieser Definition entspricht die relative Bandbreite ${\displaystyle d}$  dem Kehrwert des Gütefaktors:

${\displaystyle d={\frac {\Delta \omega }{\omega _{r}}}={\frac {1}{Q}}}$ 

Im folgenden Abschnitt sind einige Beispiele zu dem Gütefaktor mit Bezug zu elektrischen Netzwerken beschrieben.

 

Ein Reihenschwingkreis umfasst in Reihenschaltung einen elektrischen Widerstand ${\displaystyle R}$ , eine Spule mit der Impedanz ${\displaystyle X_{L}}$  und einen Kondensator mit der Impedanz ${\displaystyle X_{C}}$ , welche von dem Wechselstrom ${\displaystyle I}$  durchflossen werden. Der Gütefaktor wird im Resonanzfall bestimmt, wobei in diesem speziellen Fall die beiden Impedanzen gleich sind und zu einem Impedanzwert ${\displaystyle X=X_{L}=X_{C}}$  gleichgesetzt werden können. Mit dieser Vereinfachung und der Energiedefinition des Gütefaktors kann ausgehend von der Blindleistung ${\displaystyle P_{Q}}$  der Impedanz und der durch den ohmschen Widerstand verursachten Wirkleistung ${\displaystyle P_{W}}$ , welche den thermischen Verlust des Schwingkreises darstellt, der Gütefaktor eines Reihenschwingkreises ausgedrückt werden als:

${\displaystyle Q={\frac {P_{Q}}{P_{W}}}={\frac {I^{2}X}{I^{2}R}}={\frac {X}{R}}}$ 

Ausgehend von dieser Beziehung kann im Resonanzfall bei der Resonanzfrequenz

${\displaystyle f_{r}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}}$ 

mit den Gleichungen für die Impedanz der Induktivität

${\displaystyle X_{L}=2\pi f_{r}L}$ 

bzw. der Impedanz der Kapazität

${\displaystyle X_{C}={\frac {1}{2\pi f_{r}C}}}$ 

der Gütefaktor mit den Werten der Bauelemente ausgedrückt werden:

${\displaystyle Q={\frac {X}{R}}={\frac {2\pi f_{r}L}{R}}={\frac {1}{2\pi f_{r}C\cdot R}}={\frac {1}{R}}\;{\sqrt {\,{\frac {L}{C}}\,}}}$ 

 

Ein Parallelschwingkreis umfasst in Parallelschaltung einen elektrischen Widerstand ${\displaystyle R}$ , eine Spule mit der Impedanz ${\displaystyle X_{L}}$  und einen Kondensator mit der Impedanz ${\displaystyle X_{C}}$ , an welchen die Wechselspannung ${\displaystyle U}$  anliegt. Der Gütefaktor wird auch in diesem Fall im Resonanzfall bestimmt, wobei in diesem speziellen Fall die beiden Impedanzen gleich sind und zu einem Impedanzwert ${\displaystyle X=X_{L}=X_{C}}$  gleichgesetzt werden können. Mit dieser Vereinfachung und der Energiedefinition des Gütefaktors kann wieder ausgehend von der Blindleistung ${\displaystyle P_{Q}}$  der Impedanz und der durch den ohmschen Widerstand verursachten Wirkleistung ${\displaystyle P_{W}}$  der Gütefaktor eines Parallelschwingkreises ausgedrückt werden als:

${\displaystyle Q={\frac {P_{Q}}{P_{W}}}={\frac {\frac {U^{2}}{X}}{\frac {U^{2}}{R}}}={\frac {R}{X}}}$ 

Ausgehend von dieser Beziehung kann im Resonanzfall bei der Resonanzfrequenz

${\displaystyle f_{r}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}}$ 

mit den Gleichungen für die Impedanzen der Gütefaktor mit den Werten der Bauelemente ausgedrückt werden zu:

${\displaystyle Q={\frac {R}{X}}={\frac {R}{2\pi f_{r}L}}=2\pi f_{r}C\cdot R=R\;{\sqrt {\,{\frac {C}{L}}\,}}}$ 

Bei einzelnen verlustbehafteten reaktiven Bauelementen wie einem Kondensator oder einer Spule stellt der Gütefaktor einen Ausdruck dar, wie gut das reaktive Bauelement dem Ideal nahe kommt, also möglichst keine internen Verluste aufweist. Im Gegensatz zu der Begriffsverwendung des Gütefaktors bei Schwingkreisen kommt dabei keine Resonanzfrequenz als ausgezeichneter Betriebsfall vor, die Frequenz wird von außen vorgegeben, womit der Gütefaktor in diesem Fall frequenzabhängig ist.

Bei einem realen Kondensator kommt dabei im einfachsten Fall der Modellbildung eine Ersatzschaltung zur Anwendung, welche aus einem idealen Kondensator und einem Reihenwiderstand, bezeichnet auch als ESR oder englisch Equivalent Series Resistance, gebildet wird. Eine reale Spule wird durch eine ideale Spule mit einem Reihenwiderstand beschrieben, welcher primär die ohmschen Verluste in der Wicklung der Spule ausdrückt. Der Gütefaktor der Spule wird auch als Spulengüte bezeichnet.^[8]

Für verlustbehaftete Impedanzen lässt sich damit der frequenzabhängige Gütefaktor ${\displaystyle Q}$  bestimmen zu:

${\displaystyle Q={\frac {P_{Q}}{P_{W}}}={\frac {I^{2}X}{I^{2}R}}={\frac {X}{R}}}$ 

Eine hohe Spulengüte ist vor allem dann erforderlich, wenn in einem Schwingkreis eine geringe Bandbreite angestrebt wird. Der Gütefaktor ist bei Netzwerkelementen zugleich der Kotangens des Verlustwinkels.^[9]

 

Der Gütefaktor eines Resonanzkreises ist ein Maß für die Schärfe der Resonanz. Diese wird durch die 3-dB-Bandbreite ${\displaystyle B}$  ausgedrückt:^[10]

${\displaystyle B=f_{2}-f_{1}={\frac {f_{0}}{Q}}}$ 

mit dem daraus gebildeten Gütefaktor:

${\displaystyle Q={\frac {f_{0}}{B}}}$ 

Die obere Grenzfrequenz ${\displaystyle f_{2}}$  und die untere Grenzfrequenz ${\displaystyle f_{1}}$  sind diejenigen Frequenzen, bei denen die Spannung ${\displaystyle {\hat {u}}}$  bzw. der Strom ${\displaystyle {\hat {\imath }}}$  auf den ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707}$ -fachen Wert des Maximalwertes zurückgehen. An dieser Stelle ist die Leistung im Schwingkreis nur noch halb so groß wie bei der Resonanzfrequenz des verlustlosen Schwingkreises. Bei Darstellung des Pegels in Abhängigkeit von der Frequenz ist die Bandbreite gleich dem Frequenzbereich, an dessen Grenzen die Leistungswurzelgröße um 3 dB abnimmt. Die Grenzfrequenzen können berechnet werden aus:

${\displaystyle f_{1}={\frac {{\sqrt {R^{2}+4{\frac {L}{C}}}}-R}{4\pi L}}}$    und   ${\displaystyle f_{2}={\frac {{\sqrt {R^{2}+4{\frac {L}{C}}}}+R}{4\pi L}}}$ 

Sie sind mit der Resonanzfrequenz des idealen Schwingkreises verbunden durch:

${\displaystyle f_{0}={\sqrt {f_{1}\,f_{2}}}}$ .

In der Mechanik geht man bei einem Federpendel (Masse-Feder-System) von folgenden Differenzialgleichungen aus:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+d{\dot {x}}+kx=0\qquad {\text{oder}}\qquad {\ddot {x}}+2D\omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0}$ 

Dabei bedeutet ${\displaystyle x}$  die Auslenkung aus der Ruhelage und ${\displaystyle m}$  die Masse. Weitere Terme sind die vorzugsweise durch Reibung bestimmten Dämpfungskonstanten ${\displaystyle d}$ , die Federkonstanten ${\displaystyle k}$ , der Dämpfungsgrad ${\displaystyle D}$  und die Eigenkreisfrequenz ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$  des ungedämpften Systems.

Dieselbe Definition des Gütefaktors wie beim elektrischen Schwingkreis führt auf:^[11][12]

${\displaystyle Q=\omega _{d}\;{\frac {m}{d}}\approx {\frac {\sqrt {m\cdot k}}{d}}={\frac {1}{2D}}}$ 

mit der gegenüber ${\displaystyle \omega _{0}}$  leicht verminderten Eigenkreisfrequenz des schwach gedämpften Systems:

${\displaystyle \omega _{d}={\sqrt {{\frac {k}{m}}-{\frac {d^{2}}{4m^{2}}}}}=\omega _{0}{\sqrt {1-D^{2}}}}$ 

In der folgenden Tabelle sind einige Größenordnungen von Gütefaktoren bei verschiedenen schwingenden Systemen angegeben.

System	Gütefaktor Q
Aperiodischer Grenzfall	${\displaystyle 0{,}5}$
Elektrodynamischer Lautsprecher	typ. ${\displaystyle 0{,}2\,\ldots \,1{,}2}$
Elektrischer Schwingkreis	${\displaystyle 10^{2}}$
Pendeluhr	${\displaystyle 10^{4}}$
Schwingungstilger	${\displaystyle 10^{5}}$
Schwingquarz 10 MHz	${\displaystyle (3\,\ldots \,10)\cdot 10^{5}}$
Frequenzstabilisierter Laser	${\displaystyle 10^{9}}$
Supraleitender Hohlraumresonator	${\displaystyle 10^{9}\,\ldots \,10^{11}}$
Cäsium-Atomuhr	${\displaystyle 10^{13}}$
Mößbauer-Effekt bei Gammastrahlung	${\displaystyle 10^{15}}$

• Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie. 4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0. 

• Umrechnung: 'Bandbreite in Oktaven' N in Gütefaktor Q und Gütefaktor Q in 'Bandbreite in Oktaven' N
• Q-Faktor und Mittenfrequenz - Finde die Grenzfrequenzen (Bandbreite)
• Gütefaktor Q in „Bandbreite in Oktaven“ N - und zurück – Excel

1. ↑ Otto Zinke, Heinrich Brunswig: Physik - Ein Lehrbuch. 16. Auflage. 1989, ISBN 3-540-51196-2, Kapitel 4.1.2, S. 140 - 141. 
2. ↑ Mike Tooley: Electronic Circuits - Fundamentals And Applications. 5. Auflage. Routledge, 2020, ISBN 978-0-367-82265-1, Chapter 2: Passive circuits, S. 79 - 81. 
3. ↑ ^{a b} Christian Gerthsen, Hans O. Kneser, Helmut Vogel: Physik - Ein Lehrbuch. 16. Auflage. 1989, ISBN 3-540-51196-2, Kapitel 4.1.2, S. 140 - 141. 
4. ↑ Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – IEV 151-15-47
5. ↑ Time and Frequency from A to Z: Quality Factor, Q. NIST, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 4. Mai 2008; abgerufen am 3. Dezember 2022. 
6. ↑ Patent US1628983: Electrical network. Veröffentlicht am 1923, Anmelder: Western Electric, Erfinder: Kenneth S. Johnson.‌
7. ↑ Estill Green: The Story of Q. Bell Telephone Laboratories, 1955, abgerufen am 3. Dezember 2022. 
8. ↑ Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – IEV 151-15-45
9. ↑ Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – IEV 151-15-48
10. ↑ Erwin Böhmer, Dietmar Ehrhardt, Wolfgang Oberschelp: Elemente der angewandten Elektronik: Kompendium für Ausbildung und Beruf. 16. Auflage. Vieweg+Teubner, 2010, S. 69
11. ↑ Dieter Meschede (Hrsg.), Christian Gerthsen: Gerthsen Physik. 21. Auflage. Springer, 2013, S. 150f
12. ↑ Alan M. Portis, Hugh D. Young: Physik im Experiment. Vieweg, 1978, S. 34