Diskussion:p-adische Zahl

Sollte man den Artikel nicht nach adische Zahlen verschieben? Das p ist doch nur ein Variablenname (der für eine Primzahl steht) und man könnte statt dessen genausogut k-adische Zahlen schreiben. --Coma 14:52, 5. Nov 2003 (CET)

Das sollten wir nicht tun. Der Begriff "p-adische Zahl" bezeichnet allgemein die in diesem Artikel beschriebene Struktur. Alle anderen "adischen" Zahlen (b-adische, g-adische) sind gewöhnlich nur Darstellungen natürlicher oder reeller Zahlen in anderen Basen, und haben nur am Rande mit p-adischen Zahlen zu tun. (Google mal nach adische Zahlen -"p-adische", dann siehst du's.)

Natürlich kann man statt p jede andere Bezeichnung wählen, um ein konkretes Q_p zu bezeichnen, trotzdem ist "p-adisch" die allgemeine Bezeichnung solcher Strukturen.

Es wäre stattdessen zu überlegen, ob man den Artikel nach "p-adische Zahl" verschiebt, aber wie bei den meisten anderen Zahlen-Artikeln werden hier nicht einzelne Zahlen, sondern ganze Zahlmengen beschrieben, und die stehen halt im Plural. --SirJective 11:24, 6. Nov 2003 (CET)

Ich habe das mal geändert, weil es gegen die Namenskonventionen verstößt, sie im Plural stehen zu haben. Beispielsweise ist 3 eine natürliche Zahl. Der Begriff steht also durchaus im Singular. Plural ist meist nur dann geboten, wo es keinen Singular gibt (Eltern, Kosten) etc. Eine Zahl aber kann in der Einzahl stehen. Man sollte aber nicht die "Menge der reellen Zahlen" mit den reellen Zahlen verwechseln. In der Menge stehen die Zahlen natürlich im Plural. Aber eine Instanz aus der Menge ist eben eine einzelne Zahl. Stern 01:41, 13. Jun 2004 (CEST)

Mag sein, dass der Plural bei Zahlbegriffen gegen die Namenskonvention verstößt. Manche verwechseln vielleicht eine Menge mit ihren Elementen, und der Name "reelle Zahlen" für die "Menge der reellen Zahlen" trägt zu dieser Verwechslungsgefahr bei. Auch im englischen werden beide Bezeichnungen verwendet: "the real numbers" und "the reals" meinen "the set of real numbers", wogegen "real numbers" als Plural von "real number" gemeint ist (so lese --87.183.150.245 15:14, 21. Sep. 2007 (CEST)ich jedenfalls en:real number).Beantworten

Aber was ist dann eine reelle Zahl? Ich kann die Menge der reellen Zahlen auf verschiedene Weisen beschreiben, aber mir fiel und fällt keine mathematisch saubere Beschreibung einer einzelnen reellen Zahl ein, die nicht Bezug auf eine Konstruktion nimmt, die gleichzeitig die Menge der reellen Zahlen liefert. (Eine solche würde ich mir in der Einleitung des Artikels wünschen.)

Ich hab ebenso ein Problem, wenn ich eine p-adische Zahl erklären müsste: Wie beschreibt man ein Element einer Struktur, ohne diese Struktur zu beschreiben? Der Abschnitt "Motivation" dieses Artikels beschreibt zwar den Aufbau einzelner Zahlen, aber sowohl "Konstruktion" als auch "Eigenschaften" beschreiben die Menge, die p-adischen Zahlen. Viele Links auf p-adische Zahlen meinen die Menge, nicht die Elemente.

Ich schlage nicht vor, jetzt die Menge der reellen Zahlen neben dem Artikel reelle Zahl anzulegen, sondern stelle nur fest, dass der Artikel nicht ganz das beschreibt, was der Titel verspricht. --SirJective 10:26, 26. Jul 2004 (CEST)

Wie schon an anderer Stelle geschrieben: Der Unterschied zwischen der p-adischen Darstellung einer natürlichen Zahl und p-adischen Zahlen ist in etwa derselbe wie der zwischen der Dezimaldarstellung einer natürlichen Zahl und den (nicht-abbrechenden) Dezimalzahlen. Zwar spricht niemand von 10-adischen Zahlen (weil diese Nullteiler enthalten), aber p ist wirklich nur eine Variable, eine andere häufig verwendete Primzahl ist l. Da aber davon auszugehen ist, dass viele Leser unter diesem Lemma nachschlagen, spricht aus meiner Sicht nichts dagegen, den Artikel unter p-adische Zahl zu belassen.--Gunther 13:14, 28. Apr 2005 (CEST)

Ich halte es für gefährlich, die Frage zu diskutieren, ob e (oder ${\displaystyle e^{6}}$ oder whatever) als Zahl in irgendwelchen Q_p's liegt. Es gibt nicht eine Zahl ${\displaystyle e^{6}}$, sondern jeweils eine in den jeweiligen Körpern. (Es gibt einen falschen Irrationalitaetsbeweis von ${\displaystyle \pi }$, der in etwa so verlaeuft: waere ${\displaystyle \pi =a/b}$, so sei ${\displaystyle p>2}$2}"/> ein Primteiler von ${\displaystyle a}$, dann waere ${\displaystyle \sin n\pi =0}$ und die entsprechende Reihe in Q_p konvergent, aber ${\displaystyle \sin }$ kann nicht unendlich viele Nullstellen in Z_p haben: Widerspruch. Das Problem ist, dass die Reihe in Q_p zwar konvergiert, aber nicht notwendigerweise gegen 0.)--Gunther 12:23, 24. Feb 2005 (CET)

Du hast recht: Die eulersche Zahl e oder irgendeine seiner Potenzen ist nicht Element irgend eines Q_p. Stattdessen gibt es nur die "p-adischen algebraischen Zahlen" exp(1) für jedes p. Ich werde diesen Absatz umformulieren. --SirJective 13:47, 24. Feb 2005 (CET)

Ist etwas unglücklich, und durch meine Änderung nicht wirklich besser geworden. Es gibt zwei Möglichkeiten:

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\lim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$, d.h. Elemente von ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ sind Folgen ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$ mit ${\displaystyle a_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\lim _{n}\{0,1,\ldots ,p^{n}-1\}}$, d.h. Elemente von ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ sind Folgen nichtnegativer ganzer Zahlen mit ${\displaystyle a_{n}<p^{n}}$.

Die angegebenen Folgen des Typs ${\displaystyle (2,8,8,35,35,\ldots )}$ entsprechen der zweiten Variante (die ich sonst noch nirgendwo gesehen habe), ansonsten könnte man ja auch gleich ${\displaystyle (35,35,35,35,\ldots )}$ schreiben. Auch die Kompatibilitätsbedingung

${\displaystyle a_{n}\equiv a_{m}\mod p^{n}}$ für ${\displaystyle m>n}$n}"/>

ist in dieser Form nur für die zweite Variante sinnvoll: ${\displaystyle a_{n}}$ und ${\displaystyle a_{m}}$ sind nur dann vergleichbar, wenn man sie im selben Ring betrachtet, und da kommt nur ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ in Frage, aber in diesem Ring ist Kongruenz modulo ${\displaystyle p^{n}}$ dasselbe wie Gleichheit.

Eine saubere Lösung wäre eine dritte Konstruktionsmöglichkeit als Folgen ganzer Zahlen mit der Kompatibilitätsbedingung wie oben und der Äquivalenzrelation ${\displaystyle (a_{n})\sim (b_{n})}$ falls ${\displaystyle a_{n}\equiv b_{n}\mod p^{n}\forall n}$ (oder Quotient nach dem entsprechenden Ideal). Diese Äquivalenzrelation lenkt allerdings wieder vom Wesentlichen ab, und ich kann mich auch nicht erinnern, diesen Ansatz schonmal irgendwo gesehen zu haben.--80.136.154.54 15:03, 2. Dez 2005 (CET)

Kann man irgendwelche Aussagen über den Ganzheitsring der p-adischen Zahlen treffen?

"Man kann dann zum Beispiel 1/3 zur Basis 5 darstellen als Grenzwert der Reihe 0,13131313...₅." Eine Darstellung ist ein Homomorphismus, eine strukturerhaltende Abbildung zwischen zwei Strukturen A und B. p-adische Darstellungen sind hier als Abbildungen zwischen Q und einer Menge der Folgen zu verstehen. Insofern wird nicht 1/3 zur Basis 5 "dargestellt", schon gar nicht "als Grenzwert". Vielmehr muss es heißen, dass 1/3 die p-adische Darstellung 0,1313...₅ besitzt. Oder "0,13...₅ist die p-adische Darstellung von 1/3".

--87.183.150.245 15:14, 21. Sep. 2007 (CEST)Beantworten

Das Zitat: beispielsweise ergibt die Addition von ...${\displaystyle 44444_{5}}$ und ${\displaystyle 1_{5}}$ die Zahl ${\displaystyle 0_{5}}$ ist für mich nicht nachvollziehbar.

Übertragen ins Dezimalsystem würde das bedeuten: beispielsweise ergibt die Addition von ...9999 und 1 die Zahl 0

Hier erkennt wohl jeder, das da was nicht stimmen kann?

Doch, diese Aussage ist richtig. Ebenso ist ...${\displaystyle 9999+1}$ tatsächlich 0.

Begründung: Bekanntlich ist ${\displaystyle 9+1=10}$, ${\displaystyle 99+1=100}$, ${\displaystyle 999+1=1000}$, ${\displaystyle 9999+1=10000}$, usw. Bei der Addition von 1 mit der unendlich-stelligen Zahl ...999 setzt sich der Übertrag nach links bis ins Unendliche fort. Salopp gesagt hat das Ergebnis von rechts gesehen erst einmal unendlich viele Nullen und dann eine 1. "Unendlich viele Nullen" heißt natürlich, dass die 1 niemals kommt, also besteht das Ergebnis einfach nur aus unendlich vielen Nullen, d.h. das Ergebnis ist 0.

Entsprechend ist ...${\displaystyle 44444_{5}+1_{5}=0_{5}}$. -- 84.56.152.8 14:00, 15. Mai 2011 (CEST)Beantworten

Sorry, dass ich das erst jetzt bemerke: Die Begründung meines Vorredners ist nicht richtig.

1. ${\displaystyle ...44444_{5}+1_{5}=0_{5}}$ ist richtig im System der 5-adischen Zahlen, weil ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }5^{n}=0}$ im Sinne der 5-adischen Metrik. (Dagegen divergiert ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }5^{-n}}$, denn der 5-Betrag der negativen Potenzen von 5 wächst über alle Grenzen. Zufällig ist auch ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }10^{n}=0}$, weil 5 ein Teiler von 10 ist.)
2. ${\displaystyle ...99999}$ und damit auch ${\displaystyle ...99999+1}$ ist unsinnig (nicht definiert) im System der dekadischen (= reellen) Zahlen, denn die reellen Zahlen konvergieren nicht bei den hohen (positiven) Potenzen (einer natürlichen Zahl > 1). M.a.W. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }10^{n}}$ divergiert in der reellen Metrik. (Dagegen ist ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }10^{-n}=0}$ bei den negativen Potenzen und ${\displaystyle 0{,}99999...=1}$. Übrigens divergiert ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }5^{n}}$ ebenso in den reellen Zahlen.)

Man kann also bei unendlich langen Darstellungen keine Überlegungen von p-adisch auf dekadisch oder binär übertragen, nicht von 2-adisch auf binär und nicht einmal von 2-adisch auf 5-adisch, denn das Konvergenzverhalten ist völlig unterschiedlich. Das geht nur im Reellen – z.B. bei dekadisch und binär. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:14, 1. Jul. 2014 (CEST)Beantworten

Ist für mich auch absolut nicht nachvollziehbar da merkt man der der den artikel geschrieben hat hat es gar nicht verstanden :D Sebastian Janker (Diskussion) 02:12, 4. Aug. 2018 (CEST)Beantworten

also ...9999 + 1 ist nicht 0 das ist ja wohl klar! da ist es eher noch unendlich Sebastian Janker (Diskussion) 02:19, 4. Aug. 2018 (CEST)Beantworten

Sehr unverständlich ist hier das Beispiel. Es ist garnicht nachzuvollziehen woher man das n kennt für die jeweiligen Beträge. Wäre das ganze etwas detaillierter in mehreren Schritten, würde es jeder verstehen. Würde es ja machen aber weis echt nicht wie man auf das n kommt. -- ZodiacXP 18:12, 22. Mär. 2008 (CET)Beantworten

Ich möchte bitte solche Sachen besser lesen können: ${\displaystyle r_{\infty },r_{2},r_{3},r_{5},r_{7},...}$ Und was ist das ${\displaystyle n}$ für ein Zeichen? n? --Awaler 23:45, 6. Aug. 2009 (CEST)Beantworten

Soviel ich weiß ist Q als Teilmenge eines unendlichen Produkts von Q_p´s abgeschlossen. Der Approximationssatz gilt glaube ich nur für endliche Familien von p´s. --188.192.141.96 11:36, 23. Feb. 2013 (CET)Beantworten

In Algebra Zweiter Teil von v.d.Waerden finde ich einen Approximationssatz, den ich wie folgt in die hiesige Sprache übersetze:
Sei ${\displaystyle p_{1},...,p_{n}\in \mathbb {P} }$ eine endliche Menge von Primzahlen. Dann gibt es zu ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}\in \mathbb {Q} }$ ein ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$, das in der Bewertung ${\displaystyle p_{\nu }}$ beliebig nahe bei ${\displaystyle a_{\nu }}$ liegt:

${\displaystyle \mid a_{\nu }-a\mid _{p_{\nu }}<\epsilon }$

Hier geht es also um eine endliche Menge.
Andererseits ist ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ abgeschlossen, aber auch dicht in ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$ (siehe Limes (Kategorientheorie)#Beispiele und en:Finite field#Algebraic closure). Das bedeutet doch, das es zu einer Folge ${\displaystyle \{a_{p}\}}$ mit ${\displaystyle a_{p}\in \mathbb {Z} _{p}}$ für ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ ein ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ gibt, das allen (unendlich vielen) ${\displaystyle a_{p}}$ beliebig nahe kommt. Oder?
--Nomen4Omen (Diskussion) 20:13, 2. Jul. 2014 (CEST)Beantworten

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist dicht, aber nicht abgeschlossen in ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$ (sonst wären die Mengen gleich und ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ überabzählbar). Im eingeschränkten Produkt über alle ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ausschließlich ${\displaystyle p=\infty }$ liegt ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dicht, einschließlich ${\displaystyle p=\infty }$ ist es aber nicht dicht, sondern sogar diskret. Da es sich hierbei um Konvergenz in der (eingeschränkten) Produkttopologie handelt, ist die Aussage aber auch im ersten Fall schwächer als die im Artikel behauptete (d.h. es ist im Allgemeinen nicht möglich, eine Folge unendlich vieler p-adischer Zahlen simultan beliebig genau durch eine rationale Zahl zu approximieren). (nicht signierter Beitrag von 188.193.147.20 (Diskussion) 01:29, 20. Jul 2014 (CEST))

Mit Sicherheit ist ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$ dicht in ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} =\mathbb {Q} _{\infty }}$ (und überhaupt nicht diskret). Wenn es dazu dicht ist in ${\displaystyle \scriptstyle Q:=\prod _{p\in \mathbb {P} }\mathbb {Q} _{p}}$, ist es doch auch dicht in ${\displaystyle \scriptstyle R:=Q\times \mathbb {R} =\prod _{p\in \mathbb {P} \cup \infty }\mathbb {Q} _{p}}$. Oder?

Die Konvergenz ist nicht «simultan» (gleichzeitig) gleich gut auf allen ${\displaystyle \scriptstyle p}$, d.h. es gilt nicht: ${\displaystyle \scriptstyle \forall r\in R\forall \epsilon >0\exists x\in \mathbb {Q} :\forall p\;|x-r_{p}|_{p}<\epsilon }$0\exists x\in \mathbb {Q} :\forall p\;|x-r_{p}|_{p}<\epsilon }"/>. Aber es gilt:

${\displaystyle \forall r\!\in \!R\;\;\exists (x)_{\nu }\!\in \!\mathbb {Q} :\forall \epsilon >0\;\;\forall p\!\in \!\mathbb {P} \!\cup \!\{\infty \}\;\;\exists \nu _{\epsilon ,p}\!\in \!\mathbb {N} :\forall \nu \geq \nu _{\epsilon ,p}\;:\;|x_{\nu }-r_{p}|_{p}<\epsilon }$0\;\;\forall p\!\in \!\mathbb {P} \!\cup \!\{\infty \}\;\;\exists \nu _{\epsilon ,p}\!\in \!\mathbb {N} :\forall \nu \geq \nu _{\epsilon ,p}\;:\;|x_{\nu }-r_{p}|_{p}<\epsilon }"/>.

Und das ist die Aussage im Text. (Die zugrunde liegende Topologie wird wohl auch dieTopologie der punktweisen Konvergenz genannt.) --Nomen4Omen (Diskussion) 10:08, 20. Jul. 2014 (CEST)Beantworten

Tut mir leid, war wohl missverständlich. Ja, ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$ liegt jeweils dicht in allen ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$,auch in ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{\infty }=\mathbb {R} }$ und in ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\prod }}_{p<\infty }\mathbb {Q} _{p}}$, aber eben nicht in ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\prod }}_{p\leq \infty }\mathbb {Q} _{p}}$ (es besteht eine nichttriviale Relation zwischen den verschiedenen p-adischen Absolutbeträgen, die manchmal "Geschlossenheitsrelation" genannt wird). Diese Aussage ist mir als "starke Approximation" geläufig, siehe z.B. A. Deitmar, Automorphe Formen, Satz 5.2.1. Die Dichtheit bedeutet aber nicht, dass eine unendliche Folge simultan beliebig genau approximiert werden kann, sondern, dass für jedes ${\displaystyle \scriptstyle n\in \mathbb {N} }$, jede Folge p-adischer Zahlen ${\displaystyle \scriptstyle x_{p_{1}},\dots ,x_{p_{n}}}$ mit paarweise nichtassoziierten Primzahlen ${\displaystyle \scriptstyle p_{1},\dots ,p_{n}}$ und jedes ${\displaystyle \scriptstyle \epsilon >0}$0}"/> ein ${\displaystyle \scriptstyle q\in \mathbb {Q} }$ mit ${\displaystyle \scriptstyle \forall i\in \{1,\dots ,n\}:|x_{i}-q|<\epsilon }$ existiert. ${\displaystyle \scriptstyle q}$ ist aber von ${\displaystyle \scriptstyle n}$ abhängig, weswegen die Aussage für unendliche Folgen p-adischer Zahlen im Allgemeinen falsch ist. Die Aussage im Text ist, dass es für jede (unendliche) Folge ${\displaystyle \scriptstyle (r_{p})_{p}\in \prod _{p\leq \infty }\mathbb {Q} _{p}}$ p-adischer Zahlen eine Folge rationaler Zahlen ${\displaystyle \scriptstyle (q_{n})_{n}\in \prod _{n\in \mathbb {N} }\mathbb {Q} }$ gibt, für die

${\displaystyle \forall p\leq \infty \forall \epsilon >0\exists N_{p}\in \mathbb {N} \forall n>N_{p}:|r_{p}-q_{n}|<\epsilon }$0\exists N_{p}\in \mathbb {N} \forall n>N_{p}:|r_{p}-q_{n}|<\epsilon }"/>

gilt und das ist allein schon deshalb falsch, weil eine rationale Zahl ${\displaystyle \scriptstyle q}$ immer an fast allen Stellen ganz ist, das heißt es existiert eine endliche Menge ${\displaystyle \scriptstyle p_{1},\dots ,p_{n}}$ von Primzahlen, sodass für alle von den ${\displaystyle \scriptstyle p_{i}}$ verschiedenen Primzahlen ${\displaystyle \scriptstyle p}$ ${\displaystyle \scriptstyle q\in \mathbb {Z} _{p}}$ gilt (daher auch das eingeschränkte Produkt oben und nicht das Produkt selbst). (nicht signierter Beitrag von 188.193.144.114 (Diskussion) 15:13, 21. Jul 2014 (CEST))

Liebe/r Anonyma/us, der Abschnitt P-adische Zahl#Approximationssatz ist nicht von mir (findet sich aber auch bei den Engländern in en:p-adic number in dem Satz direkt vor dem Abschnitt en:p-adic number#Rational arithmetic und bei den Franzosen in fr:Nombre p-adique#Topologie letzter Satz), und ich verstehe nicht alle Deine Äußerungen vom 21. Juli noch habe ich A. Deitmar zur Hand. Immerhin sind wir uns darin einig, was dicht in ${\displaystyle \scriptstyle \prod _{p\in \{\infty \}\!\cup \mathbb {P} }\mathbb {Q} _{p}}$ formelmäßig bedeutet. Für ein einzelnes ${\displaystyle \scriptstyle p\in \{\infty \}\!\cup \mathbb {P} }$ bedeutet dicht in ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$ bekanntlich

${\displaystyle \forall r_{p}\!\in \!\mathbb {Q} _{p}\;\;\exists (x_{p,\nu })_{\nu \in \mathbb {N} }\!\in \!\mathbb {Q} :\forall \epsilon >0\;\;\exists \nu _{p,\epsilon }\!\in \!\mathbb {N} :\forall \nu \geq \nu _{p,\epsilon }\;:\;|x_{p,\nu }-r_{p}|_{p}<\epsilon }$0\;\;\exists \nu _{p,\epsilon }\!\in \!\mathbb {N} :\forall \nu \geq \nu _{p,\epsilon }\;:\;|x_{p,\nu }-r_{p}|_{p}<\epsilon }"/>.

Um nun die punktweise Konvergenz zu zeigen, müssen wir Dreiecke bauen horizontal mit wachsenden Primzahlen ${\displaystyle \scriptstyle p\in \{\infty \}\!\cup \mathbb {P} }$ mit ${\displaystyle \scriptstyle p=\infty }$ ganz vorne und vertikal wachsend die reziproke Toleranz ${\displaystyle \scriptstyle 1/\epsilon }$. Bei diesen Dreiecken schieben wir die Hypotenuse immer weiter vom Ursprung weg und decken so im Limes den ganzen Quadranten (Primzahlen,Toleranz) ab. Gegeben sei also eine unendliche Folge ${\displaystyle \scriptstyle (r_{p})_{p}\in \prod _{p\in \{\infty \}\!\cup \mathbb {P} }\mathbb {Q} _{p}}$ reell/p-adischer Zahlen und ein ${\displaystyle \scriptstyle \epsilon >0}$0}"/>. Wenn es nun ${\displaystyle \scriptstyle \nu _{p,\epsilon }\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle \scriptstyle (x_{\nu })_{\nu <\nu _{p,\epsilon }}\!\in \mathbb {Q} }$ mit folgender Eigenschaft gibt

${\displaystyle \forall p<1/\epsilon \;\;\forall \nu \geq \nu _{p,\epsilon }\;:\;|x_{\nu }-r_{p}|_{p}<\epsilon }$

dann sind wir fertig. Dabei sei die (unechte) „Primzahl“ ${\displaystyle \scriptstyle p=\infty }$ ganz vorne „am Induktionsanfang“ eingeordnet, also ${\displaystyle \scriptstyle \forall \epsilon >0:\infty <1/\epsilon }$0:\infty <1/\epsilon }"/> gesetzt. Die Dichtheit von ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} }$ in ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ garantiert den Induktionsanfang. Bevor wir aber dort den Limes ${\displaystyle \scriptstyle \lim \epsilon \to 0}$ vollziehen, nehmen wir bei jedem Induktionsschritt eine weitere echte Primzahl ${\displaystyle \scriptstyle p<1/\epsilon }$ hinzu und erhöhen bei den anderen den Exponenten um 1. Bei jeder echten Primzahl, die neu ins Spiel kommt, bringen wir als erstes den gebrochenen Teil ${\displaystyle \scriptstyle f_{p}:=\sum _{\nu <0}r_{p,\nu }p^{\nu }\in \mathbb {Q} }$ mit ${\displaystyle \scriptstyle r_{p}-f_{p}\in \mathbb {Z} _{p}}$ unter, falls vorhanden. Bei den folgenden Schritten für diese Primzahl geht es nur noch um Kongruenzen in ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} _{p}}$ mit wachsendem Modul ${\displaystyle \scriptstyle p^{\nu _{p,\epsilon }}}$. Wir haben also die endlich vielen Kongruenzen für ${\displaystyle \scriptstyle \sum _{\nu =0}^{\nu _{p,\epsilon }}x_{\nu }p^{\nu }\!\in \mathbb {Z} }$ für die endlich vielen echten ${\displaystyle \scriptstyle p<1/\epsilon }$ zu lösen, bspw. mit Hilfe des Chinesischer Restsatzes. Die Moduln sind alles Primzahlpotenzen und teilerfremd, wobei die niedrigeren Primzahlen höhere Exponenten ${\displaystyle \scriptstyle \nu _{p,\epsilon }}$ haben als die höheren. Das reelle Intervall ${\displaystyle \scriptstyle |x_{\nu }-r_{\infty }|<\epsilon }$ müssten wir im Auge behalten können, da der Chinesische Restsatz unendlich viele Möglichkeiten offen lässt. (Das lass ich mal als Übung für den Leser.)

Fürs Funktionieren des Dreiecks ist natürlich wichtig, dass sich die Komponenten ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} _{p}}$ in ${\displaystyle \scriptstyle \prod _{p\in \{\infty \}\!\cup \mathbb {P} }\mathbb {Q} _{p}}$ abzählen und anordnen lassen wie eine Umgebungsbasis. --Nomen4Omen (Diskussion) 10:34, 22. Jul. 2014 (CEST)Beantworten

Kann dem Artikel eine klare Definition vorangestellt werden, wie dies bei anderen Mathematik-Artikeln der Fall ist?

Definition

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\{x:x=\sum _{i=i_{0}}^{i_{n}}a^{i}\cdot p;-\infty \leq i_{0};i_{n}\leq \infty ;a^{i}\in \{0,1\dots p-1\}\};prim(p)}$.

Natürliche Sprache zwischen der mathematischen Notation wäre sicher angemessen. Ob die Notation so überhaupt richtig ist, wage ich auch zu bezweifeln. Ich habe leider wenig Übung und Erfahrhung in der Mathematik-Didaktik ... oder von der Definition der Definition. 91.66.91.126 08:03, 1. Jun. 2017 (CEST)Beantworten

Lieber 91.66.91.126 ! Eine Formel, ähnlich Deiner, ist mehrfach vorhanden. Einmal sogar markiert mit (1). (Allerdings nicht für die ganze Menge, sondern nur für eine einzelne ${\displaystyle p}$-adische Zahl.)

Zugegeben, die Motivation nimmt der Definition den Platz weg. Und dann gibt es auch noch zwei Konstruktionen, eine analytische (in der die Def wiederholt ist) und eine algebraische. Es gibt Leute, denen ist die Motivation sehr wichtig. (Sie hat immer etwas Informelles.) Geschmackssache!

Aber Deine Formel stimmt nicht mit der üblichen mathematischen Schreibweise überein. Sie könnte wie folgt lauten: Für primes ${\displaystyle p}$ sind die ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen definiert durch

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}:=\{x:x=\sum _{i=i_{0}}^{\infty }a_{i}\cdot p^{i};i_{0}\in \mathbb {Z} ;a_{i}\in \{0,1,\dots ,p-1\}\}}$ ,

dabei ist ${\displaystyle \{a_{i}\}_{i}}$ eine (geordnete) indizierte Menge von Zahlen und die ${\displaystyle p^{i}}$ sind Potenzen von ${\displaystyle p}$. --Nomen4Omen (Diskussion) 13:25, 1. Jun. 2017 (CEST)Beantworten

In diesem Fall steht die Motivation nicht im Gegensatz zu einer Definition, sondern behandelt bereits eine Definitionen wichtiger Eigenschaften. Z. B.:

"... beispielsweise ergibt die Addition von ${\displaystyle \dotso 44444_{5}}$ und ${\displaystyle 1_{5}}$ die Zahl ${\displaystyle 0_{5}}$..

Ich behaupte, das sei keineswegs offensichtlich oder zwangsläufig und gehöre daher zur Definition. Eine Erklärung des Sinns dieser Definition wäre dann gut in der Motivation aufgehoben.

Naiv betrachtet scheint das Ergebnis schlicht nicht in endlich vielen Schritten berechenbar, jedenfalls nicht wenn der Ansatz lautet, die Berechnung nach dem Prinzip der b-adischen Zahlen (Schulmathematik) unendlich fortzusetzen. Während der Übertrag jedes einzelnen Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}}$ offensichtlich null werden muss, bleibt fraglich: was passiert mit dem Übetrag?

Falls in der Körpererweiterung immer noch gelten muss ${\displaystyle 0_{5}<1_{5};x<x+1_{5}}$, wäre ${\displaystyle \dotso 444_{5}<0_{5}}$. Aber da ${\displaystyle \dotso 444_{5}=0+\sum ^{\infty }4}$ (via Induktionsprinzip), könnte das nicht sein. Ob das doch nicht gilt, wird nicht deutlich. Die Motivation verwirrt also mehr, als zu erklären, u. a. wegen der Länge des Textes. Sicherlich ist das Geschmackssache, deswegen lasse ich eine Rückmeldung zum Geschmack, des Artikels. Ich nehme an, fachlich sei alles richtig. Ich will sicher sein, das Thema verstanden zu haben, bevor ich inhaltliche Kritik übe.

Der Ansatz der Berechnung ${\displaystyle 0-1}$ nach schriftlicher Division ist interessant. Die Motivation läuft entsprechend aber erstmal nur auf eine andere Schreibweise für negative Zahlen hinaus (der mir wegen der Restklassenarithmetik aus der Informatik bereits bekannt vorkommt). Zur Struktur hätte ich noch mehr zu sagen, vielleicht werde ich versuchen den Artikel zusammenzufassen. YvesRehbein (Diskussion) 19:45, 1. Jun. 2017 (CEST)Beantworten

Lieber YvesRehbein! Also dass die p-adischen Zahlen nicht angeordnet werden können, steht ganz deutlich im Abschnitt Eigenschaften als dritter Bullet. Und im Abschnitt Unterschiede zu den archimedischen Systemen als 5. Punkt. --Nomen4Omen (Diskussion) 20:33, 1. Jun. 2017 (CEST)Beantworten

Ja, das habe ich auch gelesen, aber besonders deutlich ist das eben nicht, denn diese Abschnitte waren nicht gemeint. Mein Induktionsbeweis muss dann falsch sein.

In der Motivation wird eine nicht weiter definierte Kongruenz relation erwähnt, und die ist auch die Pointe in der Motivation letzter Absatz. Aber im Kontext der ausgeweiteten Einführung auf Schulniveau überliest sich das leicht.

Ich folgte der Aufforderung ${\displaystyle \dotso 000-1}$ zu berechnen und kam dann hierher. Die darauffolgenden Abschnitte der Konstruktionen holen den Leser inhaltlich nicht dort ab, wo die Motivation endet. Da geht die Motivation schnell verloren. Deshalb betrifft die Überschrift die Struktur des Artikels, nicht meine Verständnisprobleme.

Ich bin nicht dein lieber Scholli, auch wenn wir uns hier dutzen. Danke dir dennoch für Antworten.

Grob klingt die Motivation wie der englische Artikel, der kommt leider auch nicht zum Punkt. Wenn das im Ansatz eine Übersetzung ist, soll ich mich dann dort hin wenden? YvesRehbein (Diskussion) 18:54, 2. Jun. 2017 (CEST)Beantworten

@Nomen4Omen: Warum hast du diese Änderung gesichtet?[1] Ist das nicht einfach nur Vandalismus? --BlauerBaum (Diskussion) 18:24, 28. Sep. 2020 (CEST)Beantworten

Kurz davor ist erklärt, dass das b- oft für die gewöhnliche archimedische Orientierung und das p- für die nicht-archimedische des hiesigen Artikels genommen wird – und dass dieser Artikel diesen Sprachgebrauch fortzusetzen vorhat. Insofern hat 89.204.130.171 nur ernst und konsequent genommen, was ohnehin schon dasteht. –Nomen4Omen (Diskussion) 18:52, 28. Sep. 2020 (CEST)Beantworten

Ähh, ja Tatsache, habe das irgendwie vorher nicht gesehen. Danke dir.--BlauerBaum (Diskussion) 19:36, 28. Sep. 2020 (CEST)Beantworten

Ich bitte noch um ein oder zwei Beispiele hier: "Da für alle Primzahlen p {\displaystyle p} p die Zahl − 1 {\displaystyle -1} -1 in Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} \mathbb {Q} _{p} als Summe von Quadraten dargestellt werden kann". Danke --2.247.249.31 19:13, 17. Feb. 2021 (CET)Beantworten

Du musst nur dem angegebenen Link Summe von Quadraten folgen. Dort kannst du dir jedes von dir gewünschte Beispiel aussuchen. –Nomen4Omen (Diskussion) 21:24, 17. Feb. 2021 (CET)Beantworten

Mir scheint, dass du dir die Beispiele etwas ausführlicher vorstellst. Das hat durchaus Wikipedia-Charakter. Also folgende Tabelle für die ersten 6 Primzahlen:

p	Radikand	1. Näherung	2. Näherung	Quadratsumme
2	−7	${\displaystyle 1^{2}\equiv -7{\bmod {8}}}$	${\displaystyle 3^{2}\equiv -7{\bmod {1}}6}$	${\displaystyle 1^{2}+1^{2}+2^{2}+{\sqrt {-7}}^{2}=-1}$
3	−2	${\displaystyle 1^{2}\equiv -2{\bmod {3}}}$	${\displaystyle 4^{2}\equiv -2{\bmod {9}}}$	${\displaystyle 1^{2}+{\sqrt {-2}}^{2}=-1}$
5	−1	${\displaystyle 2^{2}\equiv -1{\bmod {5}}}$	${\displaystyle 7^{2}\equiv -1{\bmod {2}}5}$	${\displaystyle {\sqrt {-1}}^{2}=-1}$
7	−3	${\displaystyle 2^{2}\equiv -3{\bmod {7}}}$	${\displaystyle 12^{2}\equiv -3{\bmod {4}}9}$	${\displaystyle 1^{2}+1^{2}+{\sqrt {-3}}^{2}=-1}$
11	−2	${\displaystyle 3^{2}\equiv -2{\bmod {1}}1}$	${\displaystyle 19^{2}\equiv -2{\bmod {1}}21}$	${\displaystyle 1^{2}+{\sqrt {-2}}^{2}=-1}$
13	−1	${\displaystyle 5^{2}\equiv -1{\bmod {1}}3}$	${\displaystyle 70^{2}\equiv -1{\bmod {1}}69}$	${\displaystyle {\sqrt {-1}}^{2}=-1}$

Wie man vom 2. Rest zu höheren Näherungen kommt und also die Quadratwurzel aus dem Radikanden innerhalb von ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ziehen kann, lässt sich mit dem henselschen Lemma induktiv entwickeln. –Nomen4Omen (Diskussion) 13:59, 18. Feb. 2021 (CET)Beantworten

Danke sehr. --2.247.248.18 12:41, 22. Feb. 2021 (CET)Beantworten

Die Darstellung jeder ganzen Zahl funktioniert doch mit jedem p aus Z. Wofür wird das auf Primzahlen eingeschränkt? 109.42.112.177 21:55, 9. Sep. 2023 (CEST)Beantworten

Außer 0 natürlich 109.42.112.177 22:01, 9. Sep. 2023 (CEST)Beantworten