Wright-Omega-Funktion

In der Mathematik ist die Wright-Omega-Funktion, auch Wright-Funktion genannt,^{[Notizen 1]} geschrieben als ω, definiert über die Lambertsche W-Funktion:

${\displaystyle \omega (z)=W_{{\big \lceil }{\frac {\mathrm {Im} (z)-\pi }{2\pi }}{\big \rceil }}(e^{z}).}$

Eine der Hauptanwendungen dieser Funktion ist die Auflösung der Gleichung z = ln(z), da die einzige Lösung durch z = e^−ω(π i) gegeben ist.

y = ω(z) ist einer der Lösungen, wenn ${\displaystyle z\neq x\pm i\pi }$ für x ≤ −1, der Gleichung y + ln(y) = z. Die Wright-Omega-Funktion ist auf allen Zweigen außer zweien stetig und gerade analytisch.

Die Wright-Omega-Funktion erfüllt die Relation ${\displaystyle W_{k}(z)=\omega (\ln(z)+2\pi ik)}$.

Sie erfüllt auch die Differentialgleichung

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dz}}={\frac {\omega }{1+\omega }}}$

immer dann wenn ω analytisch ist (wie leicht erkannt werden kann mit der Trennung der Variablen und dem erhalten der Gleichung ${\displaystyle \ln(\omega )+\omega =z}$) und daraus folgt die Konsequenz, dass ihr Integral so geschrieben werden kann:

${\displaystyle \int w^{n}\,dz={\begin{cases}{\frac {\omega ^{n+1}-1}{n+1}}+{\frac {\omega ^{n}}{n}}&{\mbox{wenn }}n\neq -1,\\\ln(\omega )-{\frac {1}{\omega }}&{\mbox{wenn }}n=-1.\end{cases}}}$

Die Taylorreihenentwicklung um den Punkt ${\displaystyle a=\omega _{a}+\ln(\omega _{a})}$ hat die Form:

${\displaystyle \omega (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {q_{n}(\omega _{a})}{(1+\omega _{a})^{2n-1}}}{\frac {(z-a)^{n}}{n!}}}$

wobei

${\displaystyle q_{n}(w)=\sum _{k=0}^{n-1}{\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n+1\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }(-1)^{k}w^{k+1}}$

in welcher

${\displaystyle {\bigg \langle }\!\!{\bigg \langle }{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}{\bigg \rangle }\!\!{\bigg \rangle }}$

die Euler-Zahl zweiter Ordnung ist.

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\omega (0)&=W_{0}(1)&\approx 0.56714\\\omega (1)&=1&\\\omega (-1\pm i\pi )&=-1&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)+i\pi )&=-{\frac {1}{3}}&\\\omega (-{\frac {1}{3}}+\ln \left({\frac {1}{3}}\right)-i\pi )&=W_{-1}\left(-{\frac {1}{3}}e^{-{\frac {1}{3}}}\right)&\approx -2.237147028\\\end{array}}}$

• Graphische Darstellungen der Wright-Omega-Funktion auf der komplexen Ebene
• 
  z = Re(ω(x + i y))
• 
  z = Im(ω(x + i y))
• 
  ω(x + i y)

• "On the Wright ω function", Robert Corless und David Jeffrey

1. ↑ Nicht zu verwechseln mit der Fox-Wright-Funktion, welche auch Wright-Funktion genannt wird.