Salinon

Das Salinon (griechisch vermutlich für „Salzfässchen“^[1]) ist eine aus vier Halbkreisen gebildete, spiegelsymmetrische geometrische Figur. Sie wurde erstmals vermutlich durch Archimedes in seinem Buch der Lemmata beschrieben.

${\displaystyle O}$ sei der Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Auf der ${\displaystyle x}$-Achse liegen außen die beiden Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ (jeweils mit gleichem Abstand zu ${\displaystyle O}$) und innen die Punkte ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle E}$ (ebenfalls mit gleichem Abstand zu ${\displaystyle O}$); damit ist ${\displaystyle {\overline {AD}}={\overline {EB}}}$. Man errichte einen Halbkreis über ${\displaystyle AB}$, sowie zwei kleinere, gleich große Halbkreise über ${\displaystyle AD}$ und ${\displaystyle EB}$. Schließlich zeichne man einen vierten Halbkreis unter ${\displaystyle DE}$. Das Salinon ist die durch diese vier Halbkreise begrenzte Figur (blau in der Abbildung). Sie schneidet die ${\displaystyle y}$-Achse in den Punkten ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle F}$.

Archimedes beschrieb die Eigenschaften des Salinon als Satz 14 in seinem Buch der Lemmata unter Bezug auf Euklids Elemente, Buch 2, Proposition 10.

Bezeichnet man den Radius des großen Halbkreises (${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{2}}={\overline {AO}}}$) mit ${\displaystyle R}$ und den des kleinen, mittleren Halbkreises (${\displaystyle {\frac {\overline {DE}}{2}}={\overline {DO}}}$) mit ${\displaystyle r}$, so gilt für die Fläche ${\displaystyle A}$ des Salinon:

${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\pi \left(R+r\right)^{2}.}$

Beweis:

Aus dem Ansatz

${\displaystyle A={\frac {\pi r^{2}}{2}}+{\frac {\pi R^{2}}{2}}-\pi \left({\frac {R-r}{2}}\right)^{2}}$

folgt nach einigen elementaren Termumformungen die obige Aussage.

Weiterhin lässt sich hieraus folgern, dass der Kreis mit dem Durchmesser ${\displaystyle {\overline {CF}}}$ (rot in der Abbildung) denselben Flächeninhalt hat wie das Salinon.

Beweis:

Der Durchmesser dieses Kreises ist die Summe aus dem Radius ${\displaystyle R}$ des Halbkreises über ${\displaystyle AB}$ und dem Radius ${\displaystyle r}$ des Halbkreises über ${\displaystyle DE}$, also beträgt sein Radius

${\displaystyle {\frac {R+r}{2}}}$

und somit seine Flächenmaßzahl

${\displaystyle \pi \left({\frac {R+r}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}\pi \left(R+r\right)^{2}}$.

Darüber hinaus hat das Salinon folgende weiteren Eigenschaften:

• Die Punkte auf den vier Halbkreisen mit dem jeweils größten Abstand zur ${\displaystyle x}$-Achse (darunter ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle F}$) bilden ein Quadrat.
• Wenn der Durchmesser des Halbkreises unter ${\displaystyle DE}$ zu Null wird (die Punkte ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle E}$ also in ${\displaystyle O}$ zusammenfallen), geht das Salinon in einen zur ${\displaystyle y}$-Achse spiegelsymmetrischen Arbelos über, eine weitere Figur aus Halbkreisen, deren Untersuchung Archimedes zugeschrieben wird.

• Arbelos

• Wolfgang Zeuge: Nützliche und schöne Geometrie – Eine etwas andere Einführung in die Euklidische Geometrie. Zweite korrigierte und ergänzte Auflage, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-63830-9, S. 156/157

Commons: Salinon – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Eric W. Weisstein: Salinon. In: MathWorld (englisch).
• Alexander Bogomolny: Salinon: From Archimedes’ Book of Lemmas. In: Cut The Knot (englisch)
• Jürgen Köller: Salinon. In: Mathematische Basteleien

1. ↑ Zur Namensherkunft vgl. Archimedes’ Werke. Mit modernen Bezeichnungen hrsg. von Sir Thomas L. Heath. Deutsch von Dr. Fritz Kliem. Berlin: Häring, 1914, S. 21–23, Anm. 3.