Integralsinus

Der Integralsinus ist ein Begriff aus der Mathematik und bezeichnet eine durch ein Integral gegebene Funktion. Joseph Liouville (1809–1882) bewies, dass der Kardinalsinus nicht elementar integrierbar ist.^[1][2][3][4]

Der Integralsinus ist definiert als das Integral der Sinc-Funktion:

${\displaystyle \operatorname {Si} (x):=\int _{0}^{x}\operatorname {si} (t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,\mathrm {d} t}$.^[5]

• Im Grenzübergang ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\mathrm {Si} \left(x\right)}$ kann das Integral ausgewertet werden. Es gilt:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\mathrm {Si} \left(x\right)={\frac {\pi }{2}}}$

Dies wird im Folgenden bewiesen:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\mathrm {Si} \left(x\right)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sin} (x)}{x}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\operatorname {sin} (x)\operatorname {exp} (-xy)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\operatorname {sin} (x)\operatorname {exp} (-xy)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{y^{2}+1}}\mathrm {d} y={\frac {\pi }{2}}}$

• Sinus:

${\displaystyle \sin x={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}\right)}$

gilt mit der Integralexponentialfunktion ${\displaystyle \mathrm {Ei} }$

${\displaystyle \mathrm {Si} (x)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(\mathrm {Ei} (\mathrm {i} \ x)-\mathrm {Ei} (-\mathrm {i} \ x)\right)+{\frac {\pi }{2}}}$

• Die Entwicklung in eine Taylorreihe an der Stelle 0 liefert die kompakt konvergente Reihe:

${\displaystyle \mathrm {Si} \left(x\right)=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}+\cdots \quad =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!\cdot (2k+1)}}x^{2k+1}}$

Eng verwandt ist der Integralcosinus Ci(x), der zusammen mit dem Integralsinus Si(x) in parametrischer Darstellung eine Klothoide bildet.

${\displaystyle \mathrm {Si} (\pi )=1{,}851937...}$ Wilbraham-Gibbs-Konstante^[6]

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}{\frac {\sin ^{2}t}{t^{2}}}\,dt={\frac {1}{2}}\pi }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}{\frac {\sin ^{3}t}{t^{3}}}\,dt={\frac {3}{8}}\pi }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}{\frac {\sin ^{4}t}{t^{4}}}\,dt={\frac {1}{3}}\pi }$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}{\frac {\sin ^{6}t}{t^{6}}}\,dt={\frac {11}{40}}\pi }$

Im Handbuch der Mathematischen Funktionen von Milton Abramowitz und Irene Stegun in der neunten Auflage werden auf den Seiten 231 bis 233 weitere Integraldarstellungen für den Integralsinus und für den Integralcosinus basierend auf der Exponentialfunktion behandelt. Auf diesen Seiten werden folgende Formeln genannt:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}\pi \cos(x)-\operatorname {Si} (x)\cos(x)+\operatorname {Ci} (x)\sin(x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {y\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}\pi \sin(x)-\operatorname {Si} (x)\sin(x)-\operatorname {Ci} (x)\cos(x)}$

Durch Linearkombination und unter Zuhilfenahme des trigonometrischen Satzes des Pythagoras können diese Identitäten für den Integralsinus und den Integralcosinus hervorgebracht werden:

${\displaystyle \operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-\cos(x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y-\sin(x)\int _{0}^{\infty }{\frac {y\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y}$

${\displaystyle \operatorname {Ci} (x)=\sin(x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y-\cos(x)\int _{0}^{\infty }{\frac {y\exp(-xy)}{y^{2}+1}}\,\mathrm {d} y}$

• Integralexponentialfunktion
• Integralkosinus

• Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover, New York 1972; S. 231 bis 233
• Horst Nasert: Über den allgemeinen Integralsinus und Integralkosinus.
• Erwin O. Kreyszig (Referent: Alwin [Oswald] Walther; Korreferent: Curt [Otto Walther] Schmieden): Über den allgemeinen Integralsinus ${\displaystyle \mathrm {Si} (z,a)}$. Auszug aus Inauguraldissertation, Institut für Praktische Mathematik der Technischen Hochschule Darmstadt.

• Eric W. Weisstein: Sine Integral. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ J. Liouville: „Mémoire. Sur la classification des Transcendantes et sur l’impossibilité d’exprimer les racines des certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. Part 1“. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 2, 56–105, 1837.
2. ↑ J. Liouville: „Suite du Mémoire. Sur la classification des Transcendantes et sur l’impossibilité d’exprimer les racines des certaines équations en fonction finie explicite des coefficients. Part 2“. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 3, 523–547, 1838.
3. ↑ J. Liouville: „Mémoire. Sur l’integration d’une classe d’Équations différentielles du second ordre en quantités finies explicites“. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4, 423–456, 1839.
4. ↑ Joseph (Fels) Ritt: Integration in Finite Terms: Liouville’s Theory of Elementary Methods. Columbia University Press, New York 1948.
5. ↑ Siegfried (Johannes) Gottwald: Handbuch der Mathematik. Ein Ratgeber für Schule und Praxis, zum Selbststudium besonders geeignet. Buch und Zeit Verlagsgesellschaft, Köln 1986. ISBN 3-8166-0015-8. S. 517 (704 S.).
6. ↑ Eric W. Weisstein: Wilbraham-Gibbs Constant. In: MathWorld (englisch).