Euler-Mascheroni-Konstante

Die Euler-Mascheroni-Konstante (nach den Mathematikern Leonhard Euler und Lorenzo Mascheroni), auch Eulersche Konstante, ist eine wichtige mathematische Konstante, die besonders in den Bereichen Zahlentheorie und Analysis auftritt. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben ${\displaystyle \gamma }$ (Gamma) bezeichnet.

Ihre Definition lautet:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,\mathrm {d} x,}$

wobei ${\displaystyle H_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te harmonische Zahl, ${\displaystyle \ln }$ den natürlichen Logarithmus und ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ die Abrundungsfunktion bezeichnet.

Ihr numerischer Wert ist auf 100 dezimale Nachkommastellen genau (Folge A001620 in OEIS):

γ = 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495 …

Mit Stand vom September 2023, Berechnung abgeschlossen am 7. September 2023, sind 1.337.000.000.000 dezimale Nachkommastellen bekannt.^[1]

Trotz großer Anstrengungen ist bis heute unbekannt, ob diese Zahl rational oder irrational, ob sie algebraisch oder transzendent ist.^[2] Es wird aber stark vermutet, dass sie zumindest eine irrationale Zahl ist. Den ersten konkreten Beweisversuch hierzu unternahm 1926 Paul Émile Appell mit Hilfe der unten genannten Entwicklung von Joseph Ser. Durch Berechnung der Kettenbruchentwicklung von ${\displaystyle \gamma }$ (Folge A002852 in OEIS)

${\displaystyle \gamma =\left[0;\ 1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,1,8,1,2,4,1,1,40,1,11,3,7,1,7,1,1,5,1,49,4,1,65,1,4,7,11,1,399,2,1,3,2,1,2,1,5,3,2,1,\,\dotsc \right]}$

erhält man untere Schranken für positive ganze Zahlen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ mit ${\displaystyle \gamma ={\tfrac {p}{q}}}$ (zum Beispiel ergeben 475.006 Teilnenner die Abschätzung ${\displaystyle q>10^{244.663}}$).^[3]

Im Gegensatz zu Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen beim Satz des Pythagoras und zur Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ bei Umfang und Fläche eines Kreises mit rationalem Radius tritt die Eulersche Konstante bei endlichen elementargeometrischen Problemen nicht auf. Es gibt jedoch viele technische Probleme, die auf die Summierung der endlichen harmonischen Reihe ${\displaystyle H_{n}}$ führen, wie etwa das Schwerpunktproblem des freitragenden Auslegers oder das Problem der optimalen Sitzreihen-Erhöhung in Theatern und Kinos. Die Eulersche Konstante tritt bei vielen Problemen der Analysis, Zahlentheorie und Funktionentheorie und insbesondere bei speziellen Funktionen auf.

Die Eulersche Konstante tritt in der Mathematik häufig und manchmal auch ganz unerwartet in unterschiedlichen Teilgebieten auf. Hauptsächlich tritt sie bei Grenzwertprozessen von Zahlenfolgen und Funktionen sowie bei Grenzwerten der Differential- und Integralrechnung auf. Das Auftreten lässt sich (wie auch bei anderen mathematischen Konstanten) je nach Art des Grenzwertes oder der Reihenentwicklung unterteilen.

Die Existenz der Eulerschen Konstanten ergibt sich aus der Teleskopsumme

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n+1)\right]=\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln {\biggl (}{\frac {k+1}{k}}{\biggr )}\right]}$

Da ${\displaystyle \ln(n+1)-\ln(n)}$ eine Nullfolge ist, kann im definierenden Grenzwert ${\displaystyle \ln(n+1)}$ anstelle von ${\displaystyle \ln(n)}$ verwendet werden. Es gilt

${\displaystyle {\frac {1}{k}}-\ln {\frac {k+1}{k}}={\frac {1}{k}}-\int _{k}^{k+1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=\int _{k}^{k+1}{\frac {x-k}{xk}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{k}}\int _{0}^{1}{\frac {x}{x+k}}\,\mathrm {d} x.}$

Wegen

${\displaystyle {\frac {1}{2(k+1)}}=\int _{0}^{1}{\frac {x}{1+k}}\,\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{1}{\frac {x}{x+k}}\,\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{1}{\frac {x}{k}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2k}}}$

gilt also

${\displaystyle {\frac {1}{2k\cdot (k+1)}}\leq {\frac {1}{k}}-\ln {\frac {k+1}{k}}\leq {\frac {1}{2k^{2}}}}$

und somit konvergiert die Summe gemäß dem Majorantenkriterium.

Insbesondere folgt aus diesem elementaren Argument und

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\cdot (k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)=1}$

sowie dem Basler Problem, dass

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\leq \gamma \leq {\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

gilt.

Der Wert ${\displaystyle \gamma }$ ist das Negative der Ableitung der Gammafunktion an der Stelle 1, also

${\displaystyle \Gamma ^{\prime }(1)=\psi (1)=-\gamma }$.

Hieraus ergeben sich die folgenden Grenzwertdarstellungen, wobei ${\displaystyle \zeta (s)}$ die Riemannsche Zeta-Funktion und ${\displaystyle \psi (z)}$ die Digamma-Funktion bezeichnet:

${\displaystyle \lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)=\gamma }$

${\displaystyle \lim _{z\to 0}\left\{\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right\}=\lim _{z\to 0}\left\{\psi (z)+{\frac {1}{z}}\right\}=-\gamma }$

${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right\}=2\gamma }$

${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\psi (1-z)}}-{\frac {1}{\psi (1+z)}}\right\}={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}}$

Die Euler-Mascheroni-Konstante taucht oft in Entwicklungen spezieller Funktionen, z. B. bei der Reihenentwicklung des Integrallogarithmus von Leopold Schendel, der Besselfunktionen oder der Weierstraßschen Darstellung der Gammafunktion auf.

Hier gibt es eine reichhaltige Fülle, zum Beispiel:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{1}\ln(-\ln x)\,\mathrm {d} x\\\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,\mathrm {d} x\\\gamma &=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)\,\mathrm {d} x\\\gamma &=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)\,\mathrm {d} x\\\gamma &={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2x}{(x^{2}+1)(e^{2\pi x}-1)}}\,\mathrm {d} x\\\gamma &={\frac {\ln(2)}{2}}+{\frac {1}{\ln(2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)-x\ln(x^{2}+1)}{2(x^{2}+1)\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x\\\gamma &=\int _{0}^{\infty }{\biggl [}\exp(x)\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} x\\\gamma &=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} x\\\gamma &=\int _{0}^{\infty }{\frac {2}{x}}{\bigl [}\exp(-x^{2})-\exp(-x){\bigr ]}\,\mathrm {d} x\\\gamma &=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2x}}{\bigl [}\exp(x^{2})\operatorname {erfc} (x)+2\pi ^{-1/2}x-1{\bigr ]}{\bigl \{}\vartheta _{00}{\bigl [}\exp(-x^{2}){\bigr ]}-1{\bigr \}}\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

Oder auch:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln ^{2}x\,\mathrm {d} x&={\frac {\pi ^{2}}{6}}+\gamma ^{2}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\ln x\,\mathrm {d} x&=-{\frac {\sqrt {\pi }}{4}}(\gamma +2\ln 2)\end{aligned}}}$

Diese Integrale werden im Folgenden sukzessiv bewiesen.

Zu Beginn ist diese in der Einführung genannte Summe gegeben:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{k}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {1}{k}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Als Nächstes wird folgende Identität bewiesen:

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2n)}{2n}}-{\frac {\zeta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}}$

Dieser Beweis kann direkt über die Definition der Riemannschen Zetafunktion zustande gebracht werden:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2n)}{2n}}-{\frac {\zeta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{2n}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}-{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n+1}}}{\biggr )}=}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{2n\,k^{2n}}}-{\frac {1}{(2n+1)\,k^{2n+1}}}{\biggr ]}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{2n\,k^{2n}}}-{\frac {1}{(2n+1)\,k^{2n+1}}}{\biggr ]}=}$

${\displaystyle =\sum _{k=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{k}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {1}{k}}{\biggr )}{\biggr ]}=\gamma }$

Der letzte Rechenschritt basiert auf der Ursprungsstammfunktion von der alternierenden geometrischen Reihe:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}x^{2n-1}-x^{2n}{\bigr )}={\frac {x}{1+x}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl (}{\frac {x^{2n}}{2n}}-{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\biggr )}=x-\ln(1+x)}$

Durch Einsatz von ${\displaystyle x=1/k}$ in die nun genannte Formel entsteht das in der Gleichungskette gezeigte Endresultat.

Analog zur gezeigten Formel mit der Zetafunktion gilt für die Dirichletsche Etafunktion diese Formel:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\eta (2n)}{2n}}-{\frac {\eta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\biggl [}{\frac {1}{k}}-\ln {\biggl (}{\frac {k+1}{k}}{\biggr )}{\biggr ]}=\ln {\bigl (}{\frac {4}{\pi }}{\bigr )}}$

Denn auf der rechten Seite in der alternierenden Differenz erscheint im Numerus des Logarithmus Naturalis das Wallissche Produkt und der Minuend in dieser alternierenden Differenz ergibt die alternierende Differenz der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, welche der Logarithmus Naturalis von Zwei ist.

Das drittoberste Integral in der Auflistung kann so bewiesen werden:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\exp(x)-1}}-{\frac {1}{x\exp(x)}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)+x-1}{x[\exp(x)-1]}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[\exp(x)-1]}}\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}-{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{\biggr ]}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl \{}{\frac {1}{\exp(x)-1}}{\biggl [}{\frac {x^{2n-1}}{(2n)!}}-{\frac {x^{2n}}{(2n+1)!}}{\biggr ]}{\biggr \}}\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\biggl \{}{\frac {1}{\exp(x)-1}}{\biggl [}{\frac {x^{2n-1}}{(2n)!}}-{\frac {x^{2n}}{(2n+1)!}}{\biggr ]}{\biggr \}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{(2n)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}}{\exp(x)-1}}\,\mathrm {d} x-{\frac {1}{(2n+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\exp(x)-1}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n-1)!\,\zeta (2n)}{(2n)!}}-{\frac {(2n)!\,\zeta (2n+1)}{(2n+1)!}}{\biggr ]}=}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2n)}{2n}}-{\frac {\zeta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}=\gamma }$

Bei dem Integral in der dritten Zeile der jetzt gezeigten Gleichungskette handelt es sich um den Debyeschen Funktionswert von Plus Unendlich!

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{\exp(x)-1}}\,\mathrm {d} x=m!\,\zeta (m+1)}$

Das zweitoberste Integral in der Auflistung folgt aus dieser Ableitung:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}\ln[1-\exp(-x)]-{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}{\biggr \}}={\frac {1}{\exp(x)-1}}-{\frac {1}{x\exp(x)}}+{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}}$

Nach der Regel von de L’Hospital gelten folgende Grenzwerte:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\biggl \{}\ln[1-\exp(-x)]-{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}{\biggr \}}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }{\biggl \{}\ln[1-\exp(-x)]-{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}{\biggr \}}=0}$

Somit gilt dieses Integral:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\exp(x)-1}}-{\frac {1}{x\exp(x)}}+{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}\mathrm {d} x=0}$

Durch Äquivalenzumformung entsteht folgende Identität:

${\displaystyle -\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}{\text{d}}x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\exp(x)-1}}-{\frac {1}{x\exp(x)}}\mathrm {d} x=\gamma }$

Das oberste und viertoberste Integral entstehen durch Substitution mit dem negativen natürlichen Logarithmus.

Folgendes Integral^[4] zur Mascheroni-Konstante kann über den Satz von Fubini bewiesen werden:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}\right]\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y)\left({\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y)\left({\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{\infty }-\exp(-y)\ln(y)\,\mathrm {d} y=\gamma }$

Der große Buchstabe E drückt die komplementäre Integralexponentialfunktion aus:

${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)=\exp(-x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y+1}}\,\mathrm {d} y}$

Dann gilt auch:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {E} _{1}(x)=-\,{\frac {1}{x}}\exp(-x)}$

Verallgemeinert gilt somit für die Integration:

${\displaystyle {\frac {\exp(-ax)}{bx+c}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}-{\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl [}{\frac {a}{b}}{\bigl (}bx+c{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-ax)}{bx+c}}\,\mathrm {d} x={\biggl \{}-{\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl [}{\frac {a}{b}}{\bigl (}bx+c{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }={\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}}$

Ebenso kann das anschließende Integral zur Mascheroni-Konstante über den Satz von Fubini bewiesen werden:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-xy){\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-xy){\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{\infty }{\biggl [}\exp(y)\,\mathrm {E} _{1}(y)-{\frac {1}{y+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} y=\gamma }$

Das fünftoberste und sechstoberste Integral resultiert aus der Abel-Plana-Summenformel und geht durch die Mellin-Transformation hervor.

Das zweitunterste Integral entsteht aus der Reihendarstellung der Integralexponentialfunktion Ei(x).

Und das unterste Integral entsteht direkt aus der genannten Reihe für die Euler-Mascheroni-Konstante über die Riemannsche Zetafunktion.

Es gibt auch viele invariante Parameterintegrale, zum Beispiel:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x^{k}+1}}-e^{-x}\right){\frac {\mathrm {d} x}{x}},\quad k>0\\\gamma &=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{kx+1}}-e^{-kx}\right){\frac {\mathrm {d} x}{x}},\quad k>0\end{aligned}}}$

Beide Parameterintegrale sollen im nun Folgenden bewiesen werden:

Gegeben steht das im vorherigen Abschnitt bewiesene Integral:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} x=\gamma }$

Und folgendes Zweiparameterintegral ergibt konstant für alle positiven Werte v und w den Wert Null:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl (}{\frac {1}{x^{v}+1}}-{\frac {1}{x^{w}+1}}{\biggr )}\,\mathrm {d} x=0}$

Wenn dieses Parameterintegral in das genannte schon bewiesene Integral eingepflanzt wird, dann entsteht direkt das erste der beiden genannten Parameterintegrale mit dem positiven k-Ausdruck. Und das genannte Zweiparameterintegral ist deswegen für alle positiven Werte v und w gültig, weil folgende Stammfunktion gilt:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl (}{\frac {1}{x^{v}+1}}-{\frac {1}{x^{w}+1}}{\biggr )}\,\mathrm {d} x={\biggl [}{\frac {1}{v}}\ln(x^{v}+1)-{\frac {1}{w}}\ln(x^{w}+1){\biggr ]}_{x=0}^{x=\infty }=}$

${\displaystyle ={\biggl [}\ln {\bigl (}{\sqrt[{v}]{x^{v}+1}}{\bigr )}-\ln {\bigl (}{\sqrt[{w}]{x^{w}+1}}{\bigr )}{\biggr ]}_{x=0}^{x=\infty }=0}$

Das zweite mit dem k-Ausdruck dargestellte Parameterintegral kommt durch innere Substitution und durch die sogenannte Nachdifferenzierung nach der Kettenregel zustande.

Man kann ${\displaystyle \gamma }$ auch als ein Doppelintegral (J. Sondow 2003^[5], 2005^[6]) mit der äquivalenten Reihe ausdrücken:

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\ln(xy)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right)}$.

Es gibt einen interessanten Vergleich (J. Sondow 2005) des Doppelintegrals und der alternierenden Reihe:

${\displaystyle \ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\ln(xy)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right)}$.

In diesem Sinne kann man sagen, dass ${\displaystyle \ln {\big (}{\tfrac {4}{\pi }}{\big )}}$ die „alternierende Eulersche Konstante“ ist (Folge A094640 in OEIS).

Ein weiteres Doppelintegral handelt von der harmonischen Reihe als Funktion:

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{y}}{1-x}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}H(y)\,\mathrm {d} y}$

Außerdem sind diese zwei Konstanten mit dem Paar

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\gamma ,}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)}$

von Reihen verknüpft, wobei ${\displaystyle N_{1}(n)}$ und ${\displaystyle N_{0}(n)}$ die Anzahl der Einsen bzw. der Nullen in der Binärentwicklung von ${\displaystyle n}$ sind (Sondow 2010^[7]).

Ferner gibt es eine ebenso reichhaltige Fülle an unendlichen Summen und Produkten, etwa

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\gamma }&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln n}}\prod _{p\leq n,p{\text{ prim}}}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1}\\{\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln n}}\prod _{p\leq n,p{\text{ prim}}}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)\\\gamma &=\lim _{x\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{x}}}-{\frac {1}{x^{n}}}\right).\end{aligned}}}$

Diese Reihen bilden somit zu den Eulerschen Produktdarstellungen von der Riemannschen Zetafunktion eine Abwandlung.

Reihen mit rationalen Termen stammen von Euler, Fontana and Mascheroni, Giovanni Enrico Eugenio Vacca, S. Ramanujan und Joseph Ser. An Reihen mit irrationalen Gliedern gibt es unzählige Variationen, deren Glieder aus rational gewichteten Werten der riemannschen Zeta-Funktion an den ungeraden Argumentstellen ζ(3), ζ(5), … bestehen. Ein Beispiel einer besonders schnell konvergierenden Reihe ist:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n+1)-1}{(2n+1)2^{2n}}}=1+\ln 2-\ln 3-\gamma =}$ 0,0173192269903…

Eine weitere Reihe ergibt sich aus der Kummerschen Reihe der Gammafunktion:

${\displaystyle \gamma =\ln \pi -4\ln \Gamma {\big (}{\tfrac {3}{4}}{\big )}+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\ln(2k+1)}{2k+1}}}$

Man kann sagen, dass die Eulersche Konstante diejenige Konstante mit den meisten Bezeichnungen ist. Euler selbst bezeichnete sie mit C und gelegentlich mit O oder n. Es ist jedoch zweifelhaft, ob er damit ein eigenständiges Symbol für seine Konstante einführen wollte. Mascheroni bezeichnete die Konstante nicht – wie oft behauptet – mit γ, sondern mit A. Das γ-Missverständnis rührt von dem häufig unüberprüft zitierten Artikel von J. W. L. Glaisher her (wobei Glaisher dort ausdrücklich anmerkt, dass er Mascheronis Buch nicht gesehen hat):

Andere Mathematiker verwenden die Bezeichnungen C, c, ℭ, H, γ, E, K, M, l. Der Ursprung der heute üblichen Bezeichnung γ ist nicht sicher. Carl Anton Bretschneider verwendete die Bezeichnung γ neben c in einem 1835 entstandenen und 1837 veröffentlichten Artikel,^[9] Augustus De Morgan führte die Bezeichnung γ in einem in Teilen von 1836 bis 1842 veröffentlichten Lehrbuch im Rahmen der Behandlung der Gammafunktion ein.^[10]

Die Eulersche Konstante kennt mehrere Verallgemeinerungen. Die wichtigste und bekannteste ist die der Stieltjes-Konstanten:

${\displaystyle \gamma _{n}:=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {\log ^{n}k}{k}}-{\frac {\log ^{n+1}N}{n+1}}\right),\quad n=0,1,2,\dotsc }$

Die Euler-Mascheroni-Konstante ${\displaystyle \gamma =\gamma _{0}}$ ergibt sich für ${\displaystyle n=0}$:

${\displaystyle \gamma :=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{k}}-{\log N}\right)}$

Gegeben war diese Summendefinition für die Euler-Mascheroni-Konstante:

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {1}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Verallgemeinert gelten diese beiden zueinander identischen Ausdrücke:

${\displaystyle \gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x}{n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}}$ ${\displaystyle \gamma \,x+\ln {\bigl [}\Gamma (x+1){\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x}{n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Beispielsweise gilt:

${\displaystyle {\frac {\gamma }{2}}-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)={\frac {\gamma }{2}}+\ln \left[\Pi \left({\frac {1}{2}}\right)\right]=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{2n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {1}{2n}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Die im Kästchen genannten Verallgemeinerungsformeln gehen direkt aus der Weierstraßschen Definition der Harmonischen Reihenfunktion hervor:

${\displaystyle \mathrm {H} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}\right)}$

Denn durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entstehen die beiden Formeln im Kästchen.

Folgende Ableitungsgesetze sind gültig:

${\displaystyle \mathrm {H} (x)=\gamma +{\frac {1}{\Pi (x)}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\Pi (x)}$

${\displaystyle \mathrm {H} (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigl \{}\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}{\bigr \}}}$

${\displaystyle \mathrm {H} (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigl \{}\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Gamma (x+1){\bigr ]}{\bigr \}}}$

Die kontinuierliche Fakultätsfunktion ist gleich der Gaussschen Pifunktion.

Und die Gaußsche Pifunktion ergibt sich als Gammafunktion aus der Nachfolgerfunktion.

So lautet die Produktreihendefinition nach Weierstraß für diese berühmte Funktion:

${\displaystyle x!=\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}\exp \left({\frac {x}{n}}\right)\right]}$

Aus den genannten Verallgemeinerungsformeln folgt auch:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2m)}{2m}}\,x^{2m}-{\frac {\zeta (2m+1)}{2m+1}}\,x^{2m+1}{\biggr ]}=\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}}$

Beispielsweise gilt:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2m)}{2m\,2^{2m}}}-{\frac {\zeta (2m+1)}{(2m+1)\,2^{2m+1}}}{\biggr ]}={\frac {\gamma }{2}}-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)}$

Und aus diesen Summen folgt nach dem ebenso:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)+xy-1}{y\,{\bigl [}\exp(y)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y=\gamma \,x+\ln \left[\Pi (x)\right]}$

Beispielsweise gilt:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-y/2)+y/2-1}{y\,{\bigl [}\exp(y)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y={\frac {\gamma }{2}}-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)}$

1734 berechnete Leonhard Euler sechs Dezimalstellen (fünf gültige), später 16 Stellen (15 gültige). 1790 berechnete Lorenzo Mascheroni 32 Dezimalstellen (30 gültige), wovon jedoch die drei Stellen 20 bis 22 falsch sind – anscheinend aufgrund eines Schreibfehlers, sie sind allerdings mehrfach im Buch angegeben. Der Fehler war Anlass für mehrere Neuberechnungen.

Anzahl veröffentlichter gültiger Dezimalstellen von ${\displaystyle \gamma }$

Jahr	Stellen	Autor		Jahr/Datum	Stellen	Autor
1734	5	Leonhard Euler[11]		1976	20.700	Richard P. Brent[12]
1735	15	Leonhard Euler[13]		1979	30.100	Richard P. Brent & Edwin M. McMillan[14]
1790	19	Lorenzo Mascheroni[15]		1993	172.000	Jonathan Borwein
1809	22	Johann Georg Soldner[16]		1997	1.000.000	Thomas Papanikolaou
1811	22	Carl Friedrich Gauß[17]		1998	7.286.255	Xavier Gourdon
1812	40	Friedrich Bernhard Gottfried Nicolai[17]		1999	108.000.000	Xavier Gourdon & Patrick Demichel
1826	19	Adrien-Marie Legendre[18]		8. Dez. 2006	116.580.041	Alexander J. Yee & Raymond Chan[19]
1857	34	Christian Fredrik Lindman[20]		18. Jan. 2009	14.922.244.771	Alexander J. Yee & Raymond Chan[1]
1861	41	Ludwig Oettinger[21]		13. März 2009	29.844.489.545	Alexander J. Yee & Raymond Chan[1]
1867	49	William Shanks[22]		22. Dez. 2013	119.377.958.182	Alexander J. Yee[1]
1871	99	J. W. L. Glaisher[23]		15. März 2016	160.000.000.000	Peter Trueb[1]
1871	101	William Shanks[24]		18. Mai 2016	250.000.000.000	Ron Watkins[1]
1877	262	John Couch Adams[25]		23. Aug. 2017	477.511.832.674	Ron Watkins[1]
1952	328	John William Wrench, Jr.[26]		26. Mai 2020	600.000.000.100	Seungmin Kim & Ian Cutress[1]
1961	1050	Helmut Fischer & Karl Zeller[27]		13. Mai 2023	700.000.000.000	Jordan Ranous & Kevin O’Brien[1]
1962	1270	Donald E. Knuth[28]		7. Sep. 2023	1.337.000.000.000	Andrew Sun[1]
1962	3566	Dura W. Sweeney[29]
1973	4879	William A. Beyer & Michael S. Waterman[30]

• Meissel-Mertens-Konstante – Primzahl-Analogon zur Euler-Mascheroni-Konstante

• M. Lerch: Expressions nouvelles de la constante d’Euler (9. Juli 1897), Sitzungsberichte der königl. böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe, 1897, XLII S. 1–5 (französisch; Jahrbuch-Bericht)
• Jonathan Sondow: Criteria for irrationality of Euler’s constant (4. Juni 2002), Proceedings of the AMS 131, November 2003, S. 3335–3344 (englisch; Zentralblatt-Bericht)
• Steven R. Finch: Euler-Mascheroni constant, γ, Kapitel 1.5 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 28–40 (englisch; Zentralblatt-Rezension; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants)
• Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg / New York 2007, ISBN 978-3-540-48495-0, doi:10.1007/978-3-540-48496-7 (aus dem Englischen übersetzt von Manfred Stern, Zentralblatt-Rezension). 
• Thomas P. Dence, Joseph B. Dence: A survey of Euler’s constant (PDF-Datei, 432 kB), Mathematics Magazine 82, Oktober 2009, S. 255–265 (englisch)
• Jeffrey C. Lagarias: Euler’s constant: Euler’s work and modern developments, Bulletin AMS, Band 50, 2013, S. 527–628, arxiv:1303.1856 [math.NT], 2013 (englisch)

• Eric W. Weisstein: Euler-Mascheroni Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A053977 in OEIS (Engel-Entwicklung von γ)
• Folge A006284 in OEIS (Pierce-Entwicklung von γ)
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: The Euler constant: γ auf Numbers, constants and computation, 14. April 2004 (englisch)