Boolesche Hierarchie

Die Boolesche Hierarchie ist eine Hierarchie von Komplexitätsklassen, die als boolesche Kombinationen von NP-Problemen gebildet werden.

Zunächst definieren wir boolesche Konnektive für Komplexitätsklassen. Seien ${\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {C'}}}$ zwei Komplexitätsklassen, dann

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}\wedge {\mathcal {C'}}=\{L_{1}\cap L_{2}\mid L_{1}\in {\mathcal {C}},L_{2}\in {\mathcal {C'}}\}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {C}}\vee {\mathcal {C'}}=\{L_{1}\cup L_{2}\mid L_{1}\in {\mathcal {C}},L_{2}\in {\mathcal {C'}}\}}$
• ${\displaystyle co{\mathcal {C}}=\{L\mid {\bar {L}}\in {\mathcal {C}}\}}$, wobei ${\displaystyle {\bar {L}}}$ das Komplement von ${\displaystyle {L}}$ ist.

Ausgehend von NP können die verschiedenen Ebenen der Booleschen Hierarchie (BH) definiert werden:

• ${\displaystyle BH_{1}=NP}$
• ${\displaystyle BH_{2k}=coNP\wedge BH_{2k-1}}$
• ${\displaystyle BH_{2k+1}=NP\vee BH_{2k}}$

Zum Beispiel ${\displaystyle BH_{2}=coNP\wedge NP}$ und ${\displaystyle BH_{3}=NP\vee (coNP\wedge NP)}$.

Die Boolesche Hierarchie (BH) wird dann als die Vereinigung aller ihrer Level definiert, also ${\displaystyle BH=\bigcup _{i\geq 1}BH_{i}}$.

Die Boolesche Hierarchie kann für ${\displaystyle k\geq 1}$ auch wie folgt charakterisiert werden^[1]:

• ${\displaystyle BH_{2k}=\bigvee _{i=1}^{k}(NP\land coNP)}$
• ${\displaystyle BH_{2k+1}=NP\vee \bigvee _{i=1}^{k}(NP\land coNP)}$

Seien ${\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {C'}}}$ zwei Komplexitätsklassen, dann ist

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}\oplus {\mathcal {C'}}=\{L_{1}\bigtriangleup L_{2}\mid L_{1}\in {\mathcal {C}},L_{2}\in {\mathcal {C'}}\}}$, wobei ${\displaystyle \bigtriangleup }$ die symmetrische Differenz darstellt.

Dann lässt sich ${\displaystyle BH_{k}}$ als ${\displaystyle BH_{k}=BH_{k-1}\oplus NP}$ bzw. ${\displaystyle BH_{k}=\bigoplus _{i=1}^{k}NP}$ charakterisieren.^[1]

Ausgehend von einem beliebigen NP-vollständigen Problem A (z. B.: SAT) kann man eine Familie von vollständigen Problemen für verschiedene Level der Booleschen Hierarchie wie folgt definieren^[2].

Gegeben sei eine Folge ${\displaystyle x_{1},\dots x_{m}}$ von verschiedenen Instanzen des Problems A, sodass wann immer ${\displaystyle x_{i}\in A}$ gilt, auch ${\displaystyle x_{i-1}\in A}$ gilt.

• Zu entscheiden, ob in einer Folge der Länge ${\displaystyle 2k}$ eine ungerade Anzahl Instanzen in A sind, ist ${\displaystyle BH_{2k}}$-vollständig.
• Zu entscheiden, ob in einer Folge der Länge ${\displaystyle 2k+1}$ eine gerade Anzahl Instanzen in A sind, ist ${\displaystyle BH_{2k+1}}$-vollständig.

• Sollte die Boolesche Hierarchie kollabieren, dann kollabiert auch die polynomielle Hierarchie zu ${\displaystyle \Sigma _{3}^{\rm {P}}}$.
• ${\displaystyle BH\subseteq \Delta _{2}^{\rm {P}}}$
• ${\displaystyle NP\subseteq BH}$ und ${\displaystyle coNP\subseteq BH}$

Die Klasse DP (Difference Polynomial Time) wurde von Papadimitriou and Yannakakis eingeführt^[3] und ist wie folgt definiert. Eine Sprache ${\displaystyle L}$ ist in DP genau dann, wenn es Sprachen ${\displaystyle \textstyle L_{1}\in NP,L_{2}\in coNP}$ gibt, so dass ${\displaystyle L=L_{1}\cap L_{2}}$.

Damit entspricht DP dem zweiten Level ${\displaystyle BH_{2}}$ der Booleschen Hierarchie.

Das SAT-UNSAT-Problem ist das kanonische vollständige Problem für die Klasse DP.

Eine SAT-UNSAT-Instanz besteht aus einem Paar ${\displaystyle (\phi ,\psi )}$ von aussagenlogischen Formeln (wahlweise in 3-KNF). Die Problemstellung ist zu entscheiden, ob ${\displaystyle \phi }$ erfüllbar (SAT) und ${\displaystyle \psi }$ unerfüllbar (UNSAT) ist.

Die vollständigen Probleme der Klasse DP können auch wie folgt charakterisiert werden^[4].

Eine Sprache L ist DP-vollständig genau dann, wenn alle der folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${\displaystyle L\in DP}$
2. ${\displaystyle L}$ ist NP-schwer
3. ${\displaystyle L}$ ist coNP-schwer
4. ${\displaystyle L}$ hat die ${\displaystyle AND_{2}}$-Eigenschaft: Die Sprache ${\displaystyle AND_{2}(L)}$ ist als ${\displaystyle AND_{2}(L)=\{<x,y>\mid x,y\in L\}}$ definiert. Eine Sprache ${\displaystyle L}$ hat die ${\displaystyle AND_{2}}$-Eigenschaft, wenn ${\displaystyle AND_{2}(L)\preceq _{m}^{p}L}$, sich also die AND-Verknüpfung der Sprache wieder polynomiell auf die Sprache selbst reduzieren lässt.

Die folgenden Probleme liegen in der Klasse DP oder sind sogar DP-vollständig.^[5]

Neben dem SAT-UNSAT-Problem finden sich hier zahlreiche EXACT-Varianten von Optimierungsproblemen, bei denen man fragt, ob die Lösung genau eine gegebene Größe k hat, während man bei den NP-Varianten typischerweise nur fragt, ob die Lösung größer oder kleiner als ein Wert k ist.

• EXACT TSP: Gegeben eine Instanz des Problem des Handlungsreisenden und eine Zahl k. Ist die kürzeste mögliche Reisestrecke genau k?
• EXACT INDEPENDENT SET: Gegeben ein Graph und eine Zahl k. Enthält die größte stabile Menge genau k Knoten?
• EXACT KNAPSACK: Gegeben eine Instanz des Rucksackproblems und eine Zahl k. Ist der optimale Wert der Zielfunktion genau k?
• EXACT MAX-CUT: Gegeben ein Graph und eine Zahl k. Hat der maximale Schnitt Gewicht k?
• EXACT MAX-SAT: Gegeben eine aussagenlogische Formel in KNF und eine Zahl k. Ist die maximale Anzahl von Klauseln, die gleichzeitig erfüllt werden können, genau k? (siehe auch Max-3-SAT)
• CRITICAL SAT: Gegeben eine aussagenlogische Formel F in KNF. Ist F unerfüllbar, aber das Löschen jeder beliebigen Klausel macht F erfüllbar?^[6]
• CRITICAL HAMILTON PATH: Gegeben ein Graph. Ist es wahr, dass der Graph keinen Hamiltonweg hat, aber das Hinzufügen jeder beliebigen Kante einen Hamiltonweg erzeugt?^[6]
• CRITICAL 3-COLORABILITY: Gegeben ein Graph. Ist es wahr, dass der Graph nicht 3-knotenfärbbar ist, aber das Löschen jedes beliebigen Knoten den Graph 3-knotenfärbbar macht?^[7]

• UNIQUE SAT: Gegeben eine aussagenlogische Formel F in KNF. Gibt es genau eine Interpretation, die F erfüllt?

• Gerd Wechsung: On the Boolean closure of NP. In: Lothar Budach (Hrsg.): Fundamentals of Computation Theory (= Lecture Notes in Computer Science). Band 199. Springer, Berlin Heidelberg 1985, ISBN 978-3-540-15689-5, S. 485–493, doi:10.1007/BFb0028832. 
• Richard Chang, Jim Kadin: The Boolean Hierarchy and the Polynomial Hierarchy: A Closer Connection. In: SIAM J. Comput. Band 25, Nr. 2, 1996, S. 340–354, doi:10.1137/S0097539790178069. 

• BH. In: Complexity Zoo. (englisch)
• DP. In: Complexity Zoo. (englisch)

1. ↑ ^{a b} Johannes Köbler, Uwe Schöning, Klaus Wagner: The Difference and Truth-Table Hierarchies for NP. In: Theoretical Informatics and Applications. Band 21, Nr. 4, 1987, S. 419–43. 
2. ↑ More Complicated Questions About Maxima and Minima, and Some Closures of NP. In: Theoret. Comput. Sci. Band 51, 1987, S. 53–80. 
3. ↑ C. H. Papadimitriou and M. Yannakakis. The complexity of facets (and some facets of complexity). Journal of Computer and System Sciences, 28(2):244–259, 1982.
4. ↑ Richard Chang, Jim Kadin: On Computing Boolean Connectives of Characteristic Functions. Mathematical Systems Theory 28(3): 173–198 (1995) doi:10.1007/BF01303054.
5. ↑ Christos H. Papadimitriou: Computational complexity. Chapter 17. Academic Internet Publ. 2007, ISBN 978-1-4288-1409-7, pp. 1–49
6. ↑ ^{a b} Christos H. Papadimitriou, David Wolfe: The complexity of facets resolved. In: Journal of Computer and System Sciences. Band 37, Nr. 1, 1988, S. 2–13, doi:10.1016/0022-0000(88)90042-6. 
7. ↑ Jin-yi Cai, Gabriele E. Meyer: Graph minimal uncolorability is DP-complete. In: SIAM Journal on Computing. Band 16, Nr. 2, 1987, S. 259 - 277, doi:10.1137/0216022.