RE:Abacus 9

9) als Rechenbrett (ἄβαξ, ἀβάκιον). Der Gebrauch des Rechenbrettes war weit verbreitet bei den Völkern des Altertums. Das Wesentliche dabei ist die Anordnung nach Reihen, die durch Striche oder in anderer Weise abgegrenzt sind, sei es in horizontaler, sei es in verticaler Lage. Die verschiedenen Reihen bezeichnen die aufeinanderfolgenden Stufen des zu Grunde gelegten Zahlensystems, z. B. im Decimalsystem die Einer, Zehner u. s. w. Die Zahlen der zu jeder Reihe gehörigen Einheiten werden eingeschrieben oder durch Steinchen oder sonstige Marken bezeichnet. So oft beim Addieren oder Multiplicieren die Einheiten der einen Reihe soweit sich mehren, dass eine Einheit der nächst höheren Reihe erreicht ist, wandert auch die Zahlenbezeichnung von der ersteren Reihe in die letztere. Geschriebene Zahlzeichen werden also in der einen Reihe getilgt und in die andere übertragen, Steinchen oder Marken wurden versetzt (Polyb. V 26, 13. Diog. L. I 59), Stifte, die in Einschnitten hin und her geschoben werden können, sind gültig für die Rechnung, wenn sie nach der Mitte gerückt werden, ungültig aber, so lange sie am Ende ihres Einschnittes stehen. Beim Subtrahieren und Dividieren werden umgekehrt die [6] Einheiten einer höheren Reihe aufgelöst, und die Ergebnisse nach Einheiten der untergeordneten Reihen vermerkt. Um die Einheiten einer jeden Reihe recht übersichtlich darzustellen scheint man schon in ältester Zeit die halbe Summe der Einheiten besonders bezeichnet zu haben. Beim Decimalsystem kam dazu noch die Analogie des Fingerrechnens. Die Finger werden gezählt von 1–4, aber 5 Finger bilden eine neue Einheit, die Hand. Ebenso gehen die Einheitsstriche bei der römischen Zahlenbezeichnung bis zu IIII, dann tritt das Zeichen V ein. Dass eine ähnliche Abkürzung auch bei dem Gebrauch von Steinchen oder Marken eintreten konnte, wird noch gezeigt werden. Im allgemeinen können, wie schon bemerkt, die Reihen des Rechenbrettes sowohl vertical als horizontal geordnet sein, doch bedienten sich Ägypter und Griechen, wie aus Herodot II 36 hervorgeht, lediglich der senkrechten Reihen. Auch die salaminische Rechentafel und die verschiedenen Formen des römischen A. zeigen dieselbe Richtung der Kolumnen. Nach Herodot a. a. O. rechneten die Griechen so, wie sie die Hand heim Schreiben führten, also von links nach rechts (nämlich absteigend von dem Grösseren zum Kleineren), die Ägypter aber umgekehrt. Eine auf der Insel Salamis aufgefundene Rechentafel von Marmor weist links 11 senkrechte Striche auf, von denen drei, etwa in der Mitte ihrer Länge, durch Sternchen in je zwei Abschnitte geteilt sind. Daran schliessen sich, durch einen merklichen Zwischenraum getrennt, rechts 5 senkrechte Striche. Unten sind in einer fortlaufenden Zeile (aber nicht in Correspondenz mit den Strichen) die Zeichen für 1 Talent, für 5000, 1000, 500, 100, 50, 10, 5, 1 Drachme, für 1, ½, ¼ Obolos, endlich für 1 Chalkus (= ⅛ Obolos) beigeschrieben. Dieselbe Zeile, nur verkürzt um die Zeichen für 1 Talent und für 5000 Drachmen, findet sich noch zweimal beigefügt, einmal als Überschrift oberhalb der Striche, das andere Mal als Beischrift längshin an der schmäleren linken Seite. Das uns erhaltene Monument hat schwerlich selbst als Rechentafel gedient, sondern stellt nur das ungefähre Bild einer solchen dar. Eine dem wirklichen Gebrauche dienende Tafel der Art hatte offenbar den Zweck, alle Teile des Talentes bis herab zum Achtelobolos darzustellen, und zwar war die Hauptsache die Bezeichnung der Drachmen (die zu Tausenden, Hunderten, Zehnern und Einern gruppiert waren) und der Teile der Drachme vom Obolos bis zum Chalkus. Denn die Zeichen für diese Grössen sind dreimal beigeschrieben, nur einmal aber die Zeichen für 5000 Drachmen und für 1 Talent. Nun braucht man an der überlieferten Nachbildung nichts weiter zu ändern, als dass man die senkrechten Striche der linken Seite abwechselnd stark und fein zeichnet und die Sterne ein wenig nach rechts zusammendrängt. So gelangt man zur folgenden Gruppierung, die viel Wahrscheinlichkeit für sich hat: [7]

Die stärkeren Striche teilen die Kolumnen ab und zwar sind die linken fünf Kolumnen für Talente und Drachmen bestimmt (a für die Talente, b für die Tausende von Drachmen u. s. w.), die vier rechten Kolumnen aber der Reihe nach für die Obolen, für ½, ¼, ⅛ Obolos. Die feineren Striche in den linken Kolumnen sollten nicht etwa Abteilungen bezeichnen, sondern lediglich die Richtungslinien für die aufzusetzenden Marken angeben. In den rechten Kolumnen fehlen diese Richtungslinien, weil nur in α bis zu 5 Marken, in β bis δ aber je nur 1 Marke vorkommen können. Die Kolumnen c d e weisen in der Mitte einen Stern auf: die Marken unterhalb des Sternes bezeichnen die Einheiten der Kolumnen (also sind z. B. 2 Marken in d unten = 20), die Marken oberhalb des Sternes das Fünffache der Einheit. In Kolumne b fehlt der Stern, weil das Talent 6000 Drachmen hat, mithin in dieser Reihe höchstens 5 Einheiten vorkommen können, die geradeso wie in der Reihe der Obolen (α) durch 5 einzelne Marken bezeichnet wurden (denn hätte man auch hier die Teilung durch den Stern anbringen wollen, so wären ebenfalls 5 Marken, eine für den Fünfer und vier für die Einheiten erforderlich gewesen, mithin die Rechnung nicht vereinfacht worden). Kam man durch Addition von Drachmen auf ein oder mehrere Talente, so wurden diese in der Reihe a verzeichnet; es fehlt aber an jeder Andeutung dafür, dass auch die Einsetzung grösserer Zahlen von Talenten in Aussicht genommen war. Um eine Vorstellung von der Anwendung der Rechentafel zu geben, tragen wir zunächst in unser Schema das mögliche Maximum von Teilen des Talentes, nämlich 5999 Dr. 5⅞ Ob., ein:

[8] Es ist klar, dass wenn hierzu die Marke für ⅛ Obolos gefügt wurde, zunächst die Marken aus Beihe δ zu entfernen waren und 1 Marke in Reihe γ einzulegen war. Das waren nun 2/4, d. i. ½, also war auch Reihe γ frei zu machen und dafür 1 Marke in Reihe β einzulegen. Und so ging es fort, bis endlich auch Reihe b frei wurde und nur in Reihe a 1 Marke = 1 Talent stand. Doch das nur zum vorläufigen Überblick. Wir fügen nun das Beispiel einer Addition hin zu, wie sie im grösseren Geldverkehr täglich vorkommen konnte, und geben unter A, oberhalb der von uns sowohl bei den Fünfern als bei den Einern hinzugefügten punktierten Linien die zuerst eingetragene Summe von 728 Drachmen 2 ¾ Obolen und unterhalb dieser Linien die dazu zu addierende Summe von 5803 Drachmen 4 ⅝ Obolen; hiernach folgt unter B das Bild der vollzogenen Addition, d. i. die Darstellung der Summe von 1 Talent 532 Dr. 1 ⅜ Ob.:

[9] Dass in der That so, wie bei A dargestellt ist, grössere Zahlen von Marken in den einzelnen Reihen eingelegt wurden, geht aus dem salaminischen Monument deutlich hervor, denn die dort nachgebildeten Kolumnen erscheinen im Verhältnis zu ihrer Breite auffällig lang. In ähnlicher Weise sind sicher auch Subtractionen ausgeführt worden. Auf Multiplicationen und Divisionen darf nicht einmal vermutungsweise eingegangen werden, da das Monument so, wie es vorliegt, keinen Anhalt dafür bietet. Ähnliche Zahlzeichen wie auf der salaminischen Rechentafel finden sich auf der Dareiosvase in Neapel (Welcker, Böckh und Ascherson in Archäol. Zeit. 1857, 53. 59ff. Baumeister Denkmäler d. klass. Altert. I 408f. und Taf. VI); doch ist dort lediglich ein Zahltisch, kein A., dargestellt.

Auch der römische A. hatte senkrechte Kolumnen und einen quer durchlaufenden Streifen, der nach oben je eine kürzere und nach unten eine längere Kolumne abteilte. Die Kolumnen waren durch Einschnitte dargestellt, in denen sich bewegliche Stifte mit Knöpfen befanden, und zwar in den oberen Abteilungen je 1 Knopf, in den unteren je 4 Knöpfe mit Ausnahme der Kolumne für die Unzen, welche unten 5 Knöpfe aufwies. Der obere Knopf bedeutete in der Kolumne der Unzen 6 Einheiten, in den übrigen Kolumnen je 5 Einheiten. Links findet sich zuerst die Kolumne für die Millionen (decies centena milia), dann folgen Reihen für die Hunderttausende, Zehntausende u. s. w. bis zu den Einern. Daran schliessen sich die schon erwähnte Kolumne für unciae, d. i. Zwölftel der Einheit, und drei kleinere, nur unterhalb des Querstreifens angebrachte Kolumnen für die Brüche 1/24, 1/48, 1/36 (dargestellt durch zwei Knöpfe der letzten Reihe), 1/72 (dargestellt durch einen Knopf der letzten Reihe). Eine abweichende, ebenfalls überlieferte Form, wo die Brüche von 1/24 bis 1/72 in einer Kolumne vereinigt sind, ist als fehlerhaft zu bezeichnen. Um nun in jeder Kolumne eine gewisse Zahl von Einheiten als gültig für die Rehnung einzusetzen, wurden die entsprechenden Knöpfe nach dem durchgehenden Querstreifen, also nach der Mitte hin, geschoben; um also z. B. 7 Millionen in Rechnung zu setzen, brachte man in der ersten Kolumne den oberen Knopf (= 5mal decies centena milia) und zwei untere Knöpfe (= 2mal dec. cent. mil.) nach der Mitte. Dieselbe Gruppe bedeutete in der zweiten Kolumne 7mal 100000, in der dritten 7mal 10000 und so fort bis zu 7 Einheiten. In der achten Kolumne aber, die für die Unzen bestimmt war, wurde die Zahl 7 durch den oberen und einen unteren Knopf bezeichnet. Es ist klar, dass dieser A. nur für die einfachsten Ausrechnungen ausreichte. Für den gewöhnlichen Bedarf der Haushaltungen und kleinen Warenhandlungen, auch für den Elementarunterricht mag er gute Dienste geleistet haben; aber mehrfache Additionen, Multiplicationen mit mehrstelligen Zahlen oder Divisionen durch solche liessen sich mit diessem Rechenbrett nur so umständlich ausführen, dass dabei keine Erleichterung stattfand. Weit schneller und sicherer ging die Ausrechnung vor sich, wenn der schwerfällige Querstrich wegfiel und die Zahlen in die einzelnen Kolumnen eingeschrieben [10] wurden, was, wie bei geometrischen Zeichnungen (Pers. s. I 131. Sen. epist. 74, 26. Cic. de d. n. II 48) auf einer mit feinem Sand bestreuten Tafel geschehen konnte (s. oben Nr. 1), oder wenn beschriebene Marken in ausreichender Menge vorhanden waren, die aus freier Hand in die Kolumnen eingesetzt wurden. Nach dem Verfasser des Anhangs zur Geometrie des Boethius, der allerdings erst im Mittelalter schrieb, aber ältere gute Quellen benutzte, nannte man diese Rechentafel mensa Pythagorea oder geometricalis (Boethii de instit. arithm. etc. 393. 396ff. Friedlein). Die Marken hiessen apices oder charakteres. Nun müssen wir aus der mittelalterlichen Quelle alles ausscheiden, was mit der Bezeichnung der Marken durch indische Ziffern (die in der That handschriftlich überliefert sind) zusammenhängt; denn das ist dem Altertume fremd, selbst wenn man (mit Cantor) annimmt, dass die Kenntnis jener Zahlzeichen unmittelbar aus Indien nach Alexandreia gedrungen, nicht erst später durch die Araber vermittelt worden ist. Allein der angebliche Boethius teilt noch zwei andere Bezeichnungen der Marken mit, die eine durch die gewöhnlichen (römischen) Ziffern, die andere durch die ersten Buchstaben des Alphabets, womit wohl die griechischen Zahlzeichen α bis θ gemeint sind. Genug, die beschriebenen Marken galten wie die Finger beim Rechnen (vgl. digiti a. a. O. 398), nur mit dem Unterschied, dass bloss die Zahlen bis 9 erforderlich waren, da die Summe von zehn Fingern allemal durch die Einheit der nächst höheren Kolumne ersetzt wurde (vgl. ebenda die Bezeichnung articulus = 10 digiti). Es lag mithin in diesem Systeme der Fortschritt, dass überhaupt nur 9 Zahlzeichen in Anwendung kamen, um jede beliebige (ganze) Zahl, mochte sie auch noch so hoch sein, auszudrücken, sowie dass die Änderungen der Werte durch Multiplication und Division Zug um Zug in die Kolumnen, welche den decimalen Stellenwert bezeichneten, eingetragen werden konnten. Das Endresultat wurde dann ebenso durch die gewöhnlichen römischen Zahlzeichen ausgedrückt, wie schon die Aufgabe in solchen Zahlzeichen gestellt, beziehentlich durch Zahlwörter ausgesprochen worden war. Vergl. Cantor Vorles. über Gesch. d. Mathem. I 43–45. 109–112. 448f. 493–496. 705. Gow History of Greek mathematics, Cambridge 1884, 29ff. Böckh Gesamm. kl. Schr. VI 452ff. Marquardt-Mau Privatleben der Römer I² 99–104. Grasberger Erziehung und Unterricht im klass. Altert. II 326ff.

S. 5 zum Art Abacus Nr. 9:

9) Als Rechentafel (abacus, ἄβαξ, ἀβάκιον), Vorrichtung eines auf einer Tafel fest hergestellten, im Altertum stets senkrecht gegen den Benützer gerichteten Linienschemas, worin die Alten vermittelst unbezeichneter Rechensteine ihre Rechnungen ausgeführt haben. Da die verschiedenen Bedeutungen des Wortes übereinstimmend auf eine flache Tafel führen, so hat man sich als solche auch die für die mathematischen Operationen bestimmte Einrichtung vorzustellen. Zahlreiche Nachrichten besagen, daß die Griechen beim Studium der von ihnen besonders hochgeschätzten Geometrie die Figuren, und wohl auch die hiezu entwickelten Buchstabenformeln in Sand einzuzeichnen pflegten, und so wird das hiezu bestimmte Brett wohl mit einem erhöhten Rand versehen gewesen sein, um die Schreibfläche abzuschließen. In dieser Darstellung kann es auch recht wohl für die bei ihnen geübte schriftliche, genauer schreibende Rechenmethode gedient haben, wie sich denn die Rückseite ihres ἄβαξ zur Aufnahme des Linienschemas geeignet hätte. Keinesfalls aber wäre eine Staub- oder Sandfläche für den Zweck einer eigentlichen Rechentafel, wie sie bei den Alten üblich gewesen, tauglich erschienen, da die Operation mit den freibeweglichen Steinen jede Darstellung sofort verwischt und unkenntlich gemacht haben würde. Für das eigentliche A.-Rechnen der Alten muß also die oftmals hiemit verbundene Vorstellung eines Staubbrettes fallen gelassen werden. Bei den Römern und, bis sie zur Rechenmethode mit den 27 alphabetischen Zahlzeichen übergegangen waren, auch bei den Griechen, bildete die Rechentafel mit den unbezeichneten Steinen die ausschließliche Einrichtung für Rechnungen größerer Art, auch der schwierigsten, während die von altersher üblich gebliebene Fingerrechnung nur für kleine einfachere Fälle anwendbar war. Vgl. Aristoph. Vesp. 656. Durch literarische Nachrichten ist das Rechenbrett nachgewiesen bei den Ägyptern, den Griechen [5] und den Römern. Für die ersteren spricht allerdings nur eine vereinzelte Stelle, Herodot II 36, der die Methoden der Ägypter und der Griechen, abgesehen von dem den Schriftrichtungen entsprechenden entgegengesetzten Operationsgange, geradezu gleichstellt. Was die Monumente betrifft, so erübrigt vom ägyptischen A. nur eine einzige unsichere Spur (s. u. III), dagegen sind von römischen und griechischen so viele erhalten, daß der Gegenstand damit und in Verbindung mit gelegentlichen literarischen Andeutungen, übrigens auch durch die unabänderliche arithmetische Natur der Sache als befriedigend aufgeklärt gelten kann.

I. Ein römischer A. aus Bronze, abgesehen von einzelnen ausgefallenen Knöpfen recht gut erhalten, befindet sich zu Paris (Bibl. nat.), ein zweites ganz ähnliches Exemplar von minder guter Erhaltung zu Rom (Museo Kircher), die getreue Abbildung eines verschollenen Stückes zu Augsburg in M. Velseri opp. (1682) 422. 819. 842, zwei andere Abbildungen bei Pignorius De servis (Amst. 1674) 340. 399. 336, so daß man daraus auf eine weitverbreitete und ziemlich allgemeine Verwendung dieser handlichen Vorrichtung im römischen Reich der früheren Kaiserzeit schließen kann. Ihre Größe ist durchschnittlich 0,125×0,09 m. Ihre äußere Gestalt belehrt ohne weiteres über die Hauptsache, die darauf geübte Zahlendarstellung (Numeration). Die ganzen Zahlen werden in senkrecht angeordneten Spalten (Stellenkolumnen), die durch eine Querleiste je in ein längeres unteres und ein kürzeres oberes Stück zerteilt sind vermittelst darin verschiebbarer Knöpfe (vgl. Cic. Hortens. 75, wo diese Knöpfe als aera bezeichnet werden) dargestellt. Diese Kolumnen sind in ihrem dekadischen Stellenwerte durch die auf der Querleiste nach links aufsteigend angebrachten Stellenzeichen: |X| CↂↃ ↂ ↀ C X I gekennzeichnet und fungieren in der Weise, daß die vier im untern Spaltenteile befindlichen Knöpfe die Zahlen von 1–4, der einzelne Knopf im oberen Teile die Zahl 5, zusammen mit den vier unteren Knöpfen mithin die Zahlen bis zu 9 Einheiten durch Vorschieben vom Rande gegen die Querleiste in jeder Stelle zum Ausdruck bringen. Eine leere Stelle wird dabei einfach durch das Leerbleiben der betreffenden Kolumne, d. h. durch das Unterbleiben des Vorschiebens eines Knopfes dargestellt. In diesen sieben Stellenkolumnen können mithin ganze Zahlen bis zur Grenze von 9.999.999 zur Anstellung kommen. In den ganzen Zahlen stellt sich die Numeration auf dem römischen A. als ein wohlentwickeltes dekadisches Stellensystem dar, das den Gegenstand klar ersichtlich zum Ausdruck bringt und sich von unserem heutigen sog. Ziffernsystem im Wesen nur durch die nicht schreibende Technik und dadurch unterscheidet, daß die einzelne Stelle von vornherein an eine für sie festbestimmte Örtlichkeit gebunden ist. Die Zahlendarstellung auf dieser kleinen römischen Vorrichtung ist in den äußeren Formen und somit auch in der Methode geradezu identisch mit derjenigen auf der ostasiatischen Soruban (vgl. Westfal^[1] in Mitt. d. Deutschen Ges. f. Ostasien 1875). In den Bruchgrößen schließt sich dieser A. selbstverständlich der stabilen römischen Teilung [6] der Einheit (as) an, nämlich der in 12 unciae, zu je 2 semunciae, 4 sicilici und 6 sextulae, Spaltenzeichen — (o), Σ, Ↄ und 2. Die Spalte für die unterhalb des as zählenden 11 unciae ist den dekadischen unmittelbar rechts angeschlossen, in ihr laufen unten 5 Knöpfe, oben wieder 1 Knopf, die Zahl 6 darstellend. Weiter befindet sich seitwärts rechts eine nicht unterteilte Spalte mit vier Knöpfen und den beigeschriebenen Zeichen .Σ. .Ↄ. und .2., die sich auf dem Welserschen Exemplar zweckmäßiger in drei kleine untereinander liegende Spalten zerteilt findet. Für die sextula sind zwei Knöpfe bestimmt, zur Darstellung des oft vorkommenden Wertes duae oder binae sextulae, gleich ⅓ der Unzialeinheit.

Selbstverständlich stellt diese kleine Vorrichtung einen handlichen Behelf für den täglichen Verkehr mit beschränkter Anwendbarkeit, keineswegs aber den eigentlichen A. dar, der nach zahlreichen Zeugnissen im römischen Leben für Rechnungen jedweder Art verwendet wurde und dessen charakteristische Eigenschaft in der freien Verschiebbarkeit der Rechensteine bestand. Es geht dies schon aus der Benennung des Rechensteines als calculus, ein kleiner zugerichteter Kieselstein, hervor, der sonach in entsprechender Anzahl in den Kolumnen eines mit dem erhaltenen Instrumente genau übereinstimmend zu denkenden Schemas von neun senkrechten, mit der Querleiste unterteilten Linien, sowie mit drei kurzen Kolumnen rechts seitwärts davon, alle versehen mit dem betreffenden Stellen oder Wertzeichen, eingelegt und im Rechnungsgange frei bewegt wurde. Nebst dem Umstande, daß die antiken calculi in der Tat zeichenlos waren, selbst einer Verzierung entbehrt zu haben scheinen, was den Mangel erhaltener Stücke dieser Art erklären dürfte (sie wurden nach Plin. n. h. XXXIII 159 auch aus Glasfluß hergestellt und auch die zeichenlosen Steine des antiken ludus duodecim scriptorum, unseres heutigen ,langen Puff‘, werden calculi genannt, Cic. Hort. 76), bildet gerade ihre freie Verschiebbarkeit ein wichtiges Merkmal der ganzen Rechnungsmethode. Sie wird anschaulich für die griechische Tafel bezeugt durch Polyb. XXVI 13, der die Höflinge der Könige mit den Rechensteinen des A. vergleicht, die in ihrer willkürlichen Verschiebung bald einen Chalkus, bald ein Talent, bald ein Nichts und bald einen hohen Stellenwert darstellen.

Damit ist zugleich der Übergang zur Zahlenbewegung, zum eigentlichen Rechnen gegeben. Sammeln sich im Rechnungsgang in einer Kolumne Rechensteine über die normale Zahl an, so mußten je 5, bzw. 2 durch einen Stein in der nächst höheren Stelle ersetzt werden, und analog in den Kolumnen der Brüche, ein Vorgang, der naturgemäß von rechts nach links (linksläufig) vorzunehmen war. Durch Zufall ist für diesen Vorgang die technische Bezeichnung purgare rationem erhalten. (In diesem Sinne ironisch ist Sueton. Cal. 29 zu verstehen. Vgl. den mittelalterlichen Traktat ,Regule abaci‘ nach Charles in Comptes rendus hebd. de l’ac. d. sc. XVI (1843) 240: Purgare arcus est, quando pro multis caracteribus unus solus caracter ponitur secundum summulas numerorum qui in eis caracteribus scribuntur). Damit erledigt sich zugleich die [7] Operation der additio, auf dem A. buchstäblich nichts anderes als ein einfaches Zulegen von Steinen mit nachfolgender purgatio, und ebenso das Wegnehmen, die subtractio, die mit Hilfe der bekannten Auflösungstechnik und zwar der Natur des A. gemäß in rechtsläufiger Richtung erfolgt. Beachtet man, daß auf dem A. seiner Technik zufolge die Addition sich stets nur mit zwei Zahlen vollzieht, indem zur Summe zweier eine allfällig hinzukommende dritte gelegt wird usw., so diente auch die kleine römische A.-Maschine ohne Schwierigkeit für Additionen selbst zahlreicher Posten, z. B. aus Geschäftsbüchern, bis zu ihrer erheblich hohen Zahlengrenze. Dieser rein mechanische Charakter der Operation ist Ursache, daß die beiden ersten Rechnungsarten in der bis in neuere Zeit sich erstreckenden Handhabung des Rechensteines niemals als eigentliche ,Spezies‘ abgehandelt wurden. Das eigentliche Rechnen (raiten, ratiocinari, λογίζειν) beginnt wissenschaftlich in allen Zeitaltern mit der Multiplikation, multiplicatio, die nun auch für die antiken Rechentafeln durch zwei Anhaltspunkte mit annähernder Sicherheit festgestellt werden kann. Der Ausgangspunkt liegt in dem Umstande, daß der graphische Aufbau des Produktes, durch den in der modernen Methode die Stellenbestimmung sich rein mechanisch vollzieht, der Natur der Rechentafel durchaus widerstrebt, weshalb in allen Zeitaltern, selbst noch in der arabisch-indischen Rechnung bei Adam Riese, die Multiplikation mit den beiden höchsten Faktorenstellen begann und von da schrittweise abwärts ging. Die Folge hievon war das Bedürfnis, die Stelle jedes bestimmten Teilproduktes durch eine einfache Regel, eine Stellenregel, sofort bestimmen zu können. Wir besitzen die Nachricht von einer solchen, wenn auch nach Ort und Zeit schon dem Alphabetrechnen der Griechen angehörenden, aber auf das A.-Rechnen ausgezeichnet anwendbaren und wohl davon auch herstammenden Regel im ,Sandrechner' (Ψαμμίτης) des Archimedes, die kurz auf die Formel hinauskommt: Die Stelle jedes Teilproduktes bestimmt sich nach der um eins verminderten Summe der Stellenzahlen beider Faktoren. Darnach vollzieht sich auch die Multiplikation auf dem A. (rechtsläufig) durch das einfache Anstellen, beziehungsweise Zulegen der dem gefundenen Teilprodukte entsprechenden Anzahl von Steinen, mit nachfolgender purgatio rationis. Da das Linienschema für die in Umbildung begriffene Zahl (Summe, Minuend, Produkt, Dividend) bestimmt bleiben muß, so ergibt sich das Bedürfnis, die beiden der Rechnung unterliegenden Zahlen seitwärts irgendwie festzuhalten, aufzuschreiben, was bei den zwei ersten Spezies die Regel bilden wird, oder sie auf dem A. selbst in geeigneter Weise zur Notierung zu bringen, was namentlich für die Multiplikation und die Division wegen der diese Rechnungsarten ständig begleitenden Stellenzählungen von Wichtigkeit ist. Die griechische Tafel von der Insel Salamis (s. u.) hat hiefür in den an den Rändern angebrachten Zahlenreihen eine ausgezeichnete Einrichtung. Auf dem römischen A. wird man sie höchst einfach und trefflich ersetzen können durch Verlängerung der Stellenkolumnen und deren Durchquerung mit zwei parallelen Strichen [8] in angemessenen Abständen, an denen sich die beiden Faktoren gut sichtbar anstellen lassen.

Ein schwierigeres Problem des A.-Rechnens bildet die divisio. Es ist aber einerseits selbstverständlich, daß die Alten auch über diese im Leben unentbehrliche Aufgabe hinausgekommen sind, und andererseits erledigt sich auch diese letztere mit dem Auffinden einer Stellenregel für den jeweiligen Quotienten. Denn die weiteren Operationen, die Multiplikation von Quotient und Divisor und die Subtraktion des Produktes aus dem im A. liegenden Dividenden bringen keine neue Aufgabe und keine Schwierigkeit. Wenn nun die Stellenregel für die Multiplikation aus der Gleichung p = a + b – 1, so ergibt sich diejenige für die Quotienten der Division aus der komplementären Form a = p – b + 1, d. h. der einzelne Quotient ist einzulegen (auf der mittleren Querlinie) nach der um eins vermehrten Stellenzahl des Dividenden weniger derjenigen des Divisors. Es ist nicht daran zu zweifeln, daß die Rechenmeister der antiken Zeit auf diese naheliegende Lösung alsbald gekommen sein werden.

Wichtige praktische Regeln, die sich beim Gebrauch des A. ergeben, sind: 1. Einlegen des Produktes und des Dividenden in den eigentlichen Kolumnen, des Multiplikators (wozu stets die an Stellen reichere Zahl zu wählen) und des Divisors an der untersten Reihe, des Multiplikanden und der sich ansammelnden Quotienten an der Mittellinie (bzw. der seitlichen Zahlenreihe der salaminischen Tafel); 2. Entfernung jeder Multiplikatorstelle (immer der höchsten!) sofort nach Beendigung ihrer Funktion; 3. Bezeichnung (Markierung) der eben fungierenden Multiplikandenstelle durch ein Zeichen, etwa durch eine auf- oder übergelegte kleinere Münze, die im Gange der Multiplikation mit weitergeschoben wird; 4. der in der Division nach der Stellenregel eingelegte Quotient (in der Regel nur ein Stein) kann sich als zu hoch darstellen, z. B. wenn er auf eine Fünferstelle des Divisors trifft; dann ist er kurzweg in die nächstniedrigere Spalte zu überschieben; 5. ein zu kleiner Quotient ist in der A.-Rechnung kein Fehler, sondern erweitert lediglich die Operation um einen Schritt; 6. bei der Multiplikation mit Bruchgrößen ist vorher der A. von dem Produkt der ganzen Zahlen freizumachen; sie vollzieht sich linksläufig durch Beginn mit der kleinsten Bruchstelle, Umwandlung des Produktes in die nächsthöhere, oder die höchste Stellenkategorie vermittelst Division durch die Nenner, sodann Zulage des aufbewahrten Produktes der ganzen Zahlen, endlich Purgation der Rechnung.

Es bestehen vielfache Anhaltspunkte dafür, daß die römische Rechnung mit den Unzialteilen gleichzeitig in zweierlei Formen geführt wurde, nämlich außer der hier dargestellten auch so, daß die Halbunze lediglich in ihre 12 Skrupel (scrupula, scripula, auch scriptula, wovon das griech. γράμματα) geteilt wurde, wobei also die Funktion der Werte sicilicus und sextula wegfiel. So gebraucht Front. de aquaed. I noch diese zwei Bruchwerte, aber in der Tabelle I in f. ausschließlich die Skrupelrechnung. Für den a. romanus ermöglicht sich die Rechnung in der letzteren Form einfach dadurch, daß den Kolumnen für Σ, Ↄ und 2 rechts eine weitere für die unter der [9] Halbunze liegenden 11 Skrupel angereiht wird, die, mit dem Skrupelzeichen Э versehen, genau wie die Unzialspalte fungiert.

Der römische A. für freibewegliche calculi stellt sich demnach in dieser Vervollständigung, durch welche er für jedwede im römischen Leben auftretende Rechenaufgabe zulänglich wird, dar wie folgt (Fig. 1):

Angestelltes Beispiel einer Multiplikation. Multiplikator (unten): 6904 Ganze (asses), 11 Unzen, ½ Unze, 10 Skrupel.

Multiplikand (auf der Mittellinie): 35 Ganze, 2 Unzen, 7 Skrupel. Beginn mit der vierten Stelle des Multiplikators (6) und der zweiten des Multiplikanden (3); Stellenbestimmung 4 + 2 — 1 = 5, Einlage der Einer des Produktes (8) in der fünften und der Zehner (1) in der sechsten Stelle, was im A. oben durchgeführt ist. Folgt Multiplikation der vierten mit der ersten Stelle usw.

Im praktischen Leben wird auch der Fall einer Multiplikation von Brüchen mit Brüchen nicht eben selten sich geboten haben, zumal bei den Römern, wie bei den Griechen, die übliche Teilung der Geld- und der Gewichts-, sowie der allgemeinen (abstrakten) Einheit nach dem gleichen System eingerichtet war. Sie bedurfte einer umständlicheren Operation, oder einer Tabelle. So wird sich die oben angesetzte Multiplikation von 2 Unzen mit 11 Unzen 2/12×11/12=22/44 der Einheit weiter vollziehen wie folgt: 22/144=44/288, d. i. 44 Skrupel, welche gleich sind 1 Unze, 1 Halbunze, 8 Skrupeln. Für kleinere Teilungen kommt in Betracht, daß nach einem vorhandenen Beispiel (Front. de aquaeduct. 26) der Skrupel wieder der Unzialteilung unterworfen werden konnte. Diese Duodezimalteilung ließ sich gleich der sexagesimalen des Ptolemaios und den modernen [10] Dezimalbrüchen ins Unendliche fortsetzen. Doch haben die Römer, Zeuge der verhältnismäßig genauen Rechnungen bei Front. a. O., nach Umständen mehr oder weniger Abrundungen vorgenommen. Werte unter ½ Skrupel finden sich in der Regel vernachlässigt. Von einer Halbierung des Skrupels in zwei simplia berichtet Maecianus, assis dist. 39, als einer selten vorkommenden Übung.

II. Der griechische A. ist hauptsächlich durch die i. J. 1846 auf der Insel Salamis gefundene Marmortafel vertreten. Ihre bedeutende Größe (1,50×0,75 m), darin ähnlich den Tafeln des mittelalterlichen Rechnens ,auf den Linien‘, gestattet den Gebrauch angemessen großer Rechensteine, im griech. ψῆφοι, mit gleicher Grundbedeutung wie das lat. calculi. Vgl. auch ψηφίζειν für ,rechnen‘ schlechtweg, wie lat. calculare. Polyb. V 26, mit Herod. II 26. Mehrfach gefundene griechische Tafeln, die lediglich die Zahlenreihe enthalten, erinnern daran, daß die Linien zwar zweckmäßig, aber nicht unbedingt erforderlich sind. Bemerkenswert ist insbesondere eine Tafel aus Eleusis (Πρακτικά, Athen 1885 p. 72), die einfach die Zeichenreihe dreimal untereinander darstellt und dadurch für die Anstellung der Faktoren geeignet wird. Mit der Zeichenreihe ohne Linien hantiert auch der Mann auf der sog. Dareios-Vase zu Neapel (Mon. ined. LX (1869) tav. LX), der die Posten aus der in seiner Linken befindlichen Aufschreibung zusammenrechnet (die Deutung als Zahltisch ist irrig). Die Numeration auf der salaminischen Tafel (Fig.2 in Verkleinerung;

sie zeigt den Ansatz des Multiplikationsbeispieles Π Δ Δ Δ Δ ⊦ ⊦ ⊦ ἐπὶ ΠΗ Η Η Η ΠΔ Δ Δ ⊦ ⊦ ⊦ ⊦ Ι Ι Ι Ι Ι C T X d. i. Drachmen 93×874+5/6+1/12+1/24+1/48 und des ersten Teil-Produktes aus den zwei höchsten Faktoren 9×8, bezw. aus ihren beiden Fünferwerten 50×500=25 000, wobei die Talentstellen für Myriaden fungieren) ist durch eine andere jüngst zu Minoa auf der Insel Amorgos gefundene (IG XII fasc. VII [1908] 73, nr. 283) dadurch völlig aufgeklärt, daß diese letztere die Zahlzeichen der Reihe unmittelbar in die Kolumnen eingeschrieben zeigt. Demnach entsprechen (linksläufig) die vier Kolumnen rechts den Bruchwerten des Obolos: X Chalkus 1/8, T Tetartemorion 1/4, C Hemiobolion 1/2, und I dem Obolos selbst (= 1/6 der Drachme). ferner die 10 Kolumnen der Elfliniengruppe den Stellenwerten: ⊦ Drachme (attischer [11] Form), Π 5, Δ 10, ΠΔ 50 (πέντε mit δέκα) H 100, ΠΗ 500, Χ 1000, ΠΧ 5000 Drachmen, T Talent und die letzte Kolumne für 5 Talente. Die von mir seinerzeit nach dem römischen Vorbild versuchte Lösung der Numeralien auf dem griechischen A. mit dem Fünferstein ober der Mittellinie, Ztsch. f. Math. u. Ph. XXIV (1899), hat sich durch die Tafel von Minoa als irrig erwiesen.

III. Eine wichtige Folge ergibt sich aus dem Vergleich der antiken Zahlzeichen mit der Einrichtung des A., insofern das System der ersteren und ihre Numeration in augenscheinlicher übereinstimmung mit der letzteren stehen. Der Schluß auf den genetischen Zusammenhang beider ist daher umsoweniger abzuweisen, als hiedurch allein eine bisher vergebens gesuchte befriedigende Erklärung des Ursprunges und des Wesens jener Zahlzeichen gewonnen wird. Dieser Zusammenhang wird noch verstärkt durch das System der alten hieroglyphischen Zahlzeichen der Ägypter, welches keine pentadischen Zeichen enthält, sondern die dekadischen Zeichen im Schriftgebrauch so oftmals wiederholt und in passenden Gruppen zusammenstellt, als die betreffende dekadische Stelle Einheiten enthält (De Rougé Chrestomathie égypt. II 106). Es zeigt sich nun, daß mit diesem Zeichensystem auch dasjenige des altägyptischen A. in genauer Übereinstimmung sich befindet, wenn der leider ganz vereinzelten Spur eines solchen nach einer Zeichnung auf der Rückseite eines dem 14. Jhdt. v. Ch. angehörigen Papyrus (Cantor Vorl. ü. Gesch. d. Math. I 51) Glauben geschenkt werden darf. Denn auch nach dieser werden die Steine in voller Anzahl bis zu 9 in jede Stelle eingelegt, wobei die Übersicht nur durch eine mittlere Querlinie aufrecht erhalten ist. Sonach darf angenommen werden, daß die Zeichen dieses Systems, das bei den Römern und den Griechen, abgesehen von der Funktion des Fünferzeichens, das gleiche mit dem ägyptischen ist, ihren Ursprung geradezu dem A.-Rechnen verdanken, nämlich dem Bedürfnis, die Stellenkolumnen selbst mit einer entsprechenden Bezeichnung zu versehen, und dem, die Zahlen für das Rechnen in einer der A.-Numeration genau entsprechenden Weise vorzuzeichnen. Es kommt dazu, daß bei den Ägyptern wie bei den Römern die Zahlzeichen, die also eigentlich zunächst dekadische Stellenzeichen sind, für 1, 10 und 100 als frei erfunden sich kennzeichnen und mit Wortzeichen (Buchstaben) keinen Zusammenhang haben; bei den Ägyptern |, ∩, C, bei den Römern I, X, C, ein Umstand, der Mommsen geradezu zu der Annahme veranlaßt hat, daß die lateinischen (mittelitalischen) Zahlzeichen ihren Anfängen nach früher entstanden sind, als das Alphabet in Italien Aufnahme fand (Hermes XXII 598). Die griechischen Zahlzeichen dieses Systems, die man höchst unzutreffend nach einem Grammatiker des 2. Jhdts. n. Ch. als die herodianischen bezeichnet, erweisen ihren jüngeren Ursprung dadurch, daß sie akrophonisch, d. h. aus den Anfangsbuchstaben der Zahlwörter gebildet sind.

Daraus ergeben sich zugleich wertvolle Anhaltspunkte für die Geschichte des antiken A., insbesondere hinsichtlich des Zurücktretens dieser Einrichtung bei den Griechen in dem Maße, als [12] bei ihnen das schriftliche Rechnen mit den 27 alphabetischen Zahlzeichen und deren Gebrauch in den Schrifttexten überhaupt allgemein üblich wird, d. i. etwa seit der Wende des 4. Jhdts. v. Chr.

Daß der A. aber auch bei den Griechen nicht in Vergessenheit geriet, beweist das angeführte, den Charakter der Volkstümlichkeit tragende Gleichnis bei Polybios (2. Jhdt. v. Chr.) und dessen Wiederholung bei Diogenes Laërtios I 89 (etwa Wende des 3. Jhdts. n. Ch.). Die Römer, die das Zahlenalphabet der Griechen niemals angenommen haben, sind auch dem Rechenbrett treu geblieben.

Nicht zu übersehen ist, daß die Zahlzeichen auf dem römischen wie auf dem griechischen A. konkrete Bedeutung haben. Sie bedeuten dort den (kupfernen) as, hier die (silberne) Drachme mit deren üblichen Teilen, also ihre engere Bestimmung für die Geldrechnung, beziehungsweise für das Gewichtssystem, aus dem das Geldsystem hervorgegangen ist. Im römischen Leben, wo der Fortschritt zum abstrakten Zahlbegriff sich schwerfälliger vollzog, blieb die konkrete Vorstellung mit einer gewissen Hartnäckigkeit an den Zahlzeichen haften. Diese und der A. selbst wurden der Rechnung in anderen nachmals aufgekommenenen Geldwerten, dem denarius, dem quinarius und dem sestertius dadurch angepaßt, daß man die betreffenden Zeichen ∗, V, und HS den schriftlichen Zahlengruppen voranstellte (notae praescriptae, Maec. assis distr.), wogegen ein Präskriptionszeichen für die as-Währung nicht üblich geworden ist. Das Zeichen dafür (Einer-Zeichen mit Durchquerung) bei Prisc. de fig. num. 9: as .. per | perscriptam notatus +, ist spätrömisch und sein wirklicher Gebrauch unerwiesen. In der griechischen Praxis, wo die Geldrechnung unverändert geblieben war, wurden umgekehrt die Zahlzeichen zur konkreten Geldbedeutung umgewandelt durch die (attische) Form der Drachmeneinheit, ⊦, wogegen in allen anderen konkreten und abstrakten Fällen das originäre Einheitszeichen, der stehende Schaft, |, stehen blieb. Das Nähere hierüber gehört in die Lehre von den Zahlzeichen.

Das Wesen der A.-Technik erklärt es, daß ihre Lehre vornehmlich auf die persönliche Demonstration angewiesen war, Eine vereinzelte Spur schriftlicher Lehranweisung ist leider verschwunden. Cantor Vorl. I 305. Der Rechenlehrer, calculator, erhielt nach dem Preisedikt Diocletians vom J. 301 n. Ch. (CIL III Suppl. I 1926) für jeden zu unterrichtenden Knaben einen Monatslohn von 75 Denaren, dem ein solcher von 200 D. für einen geometra, wie für einen griechischen oder lateinischen Grammatiker gegenüberstand. Auf eine wissenschaftliche Vertiefung war es dabei offenbar nicht abgesehen. Die Griechen reihten das Rechnen nicht unter die Ἀριθμητική, die nur theoretisch von den Eigenschaften der Zahlen handelte, ein, sondern stellten es als Λογιστική, zwischen jene und die Γεωμετρική (Fiat. Gorg. 5; Polit. 6. 8ff.), mit deutlicher Annäherung an die letztere, bei ihnen als Hauptmittel der allgemeinen Bildung so hochgehaltene Wissenschaft, veranlaßt dadurch, daß sie sich die Ergebnisse der Zahlenbewegung durch räumliche Anschauung klar zu machen suchten, und bestärkt vielleicht durch den äußeren Apparat. [13] Vgl. Nesselmann Alg. der Griechen 40f. Cantor Vorles. I 145. 305. Zur Literatur vgl. meine Abhandlung Rechentafel der Alten S.-Ber. Akad. Wien CLXXVII (1914), wo auch die nötigen Abbildungen und die Darstellung der Rechnung auf dem griechischen A., dann die im alten Artikel von Hultsch (Bd. I) angeführten Schriften.

S. 9 und 10 zum Art. Abacus:

Durch ein Versehen der Druckerei beim Umbrechen der Seiten 9 und 10 wurde die daselbst aufgenommene Abbildung des griechischen Abacus (salaminische Tafel) verkehrt eingestellt, da die Zahlenreihe × — T auf den aufgelegten Rechensteinen nach unten zu stehen kommen soll.

S. 7 zum Art. Abacus:

Berichtigung. Durch ein Versehen wurde im Suppl.-Bd. III zum Bd. I S. 10 die dort abgebildete Rechentafel von der Insel Salamis verkehrt eingefügt, weshalb sie bei der Benützung umgekehrt gelesen werden wolle.

9) Das Rechenbrett. (E) S III 4. (K) 1305.