MathemaTriX ⋅ Theorie. Klasse 4

AUFGABEN

Klassen Klasse 1 Klasse 2 Klasse 3 Klasse 4 Klasse 5 Klasse 6 Klasse 7 Klasse 8

• Arbeiten mit Zahlen und Maßen: Klasse 3
• durch zusammenfassendes Betrachten das Zahlenverständnis vertiefen,
• anhand einfacher Beispiele erkennen, dass es Rechensituationen gibt, die nicht mit Hilfe der rationalenZahlen lösbar sind,
• Näherungswerte oder Schranken für irrationale Zahlen angeben können, auch unter Verwendungelektronischer Hilfsmittel,
• bei Anwendungen Überlegungen zur sinnvollen Genauigkeit anstellen.

• Zahlenmengen: Klasse 3

Es gibt aber auch Zahlen, die zwar unendlich viele Nachkommastellen haben aber keine Periode. ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$ z. B. ist eine solche Zahl. Es gibt einen Beweis dafür, der zeigt, dass man ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$ NICHT als Bruch von zwei ganzen Zahlen ausdrücken kann. ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$ ist eine sogenannte irrationale Zahl. Die irrationale Zahlen (wie ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$) zusammen mit den rationalen (wie ${\displaystyle {\tfrac {11}{7}}}$ oder −6) bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

ALLE rationale Zahlen sind auch reelle Zahlen. NICHT alle reelle Zahlen sind auch rationale Zahlen (z. B. ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}}$ ist eine Reelle aber keine Rationale Zahl).

Man kann also sagen: 5 ist eine natürliche aber auch eine ganze, eine rationale und eine reelle Zahl. ${\displaystyle -{\tfrac {14}{7}}}$ ist eine rationale, eine reelle aber auch eine ganze Zahl (warum? Weil −14:7 = −2 ist und −2 eine ganze Zahl ist). Sie ist aber keine natürliche Zahl (weil −2 eine negative Zahl ist). ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {7}}}$ ist nur eine reelle Zahl und keine rationale, ganze oder natürliche Zahl. ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {81}}}$ ist eine reelle, aber auch eine rationale, eine ganze und eine natürliche Zahl (weil ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {81}}=9}$ ist).

Eine Darstellung der Beziehungen zwischen den Mengen kann man im Bild sehen. Die reelle Zahlen beinhalten alle anderen Mengen, sie sind sozusagen die „größte“ Menge, die natürlichen Zahlen hingegen sind in allen anderen Mengen drinnen, beinhalten aber selber keine andere Menge (zumindest nicht in diesem Bild, also, wenn wir über diese 4 Mengen sprechen). Die natürliche Zahlen sind sozusagen die „kleinste“ Menge von diesen 4 Mengen.

• Arbeiten mit Variablen: Klasse 3
• Sicherheit beim Arbeiten mit Variablen, Termen, Formeln und Gleichungen steigern,
• Arbeiten mit einfachen Bruchtermen,
• lineare Gleichungen mit zwei Variablen graphisch darstellen und Lösungen angeben können,
• Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen (zwei Gleichungen mit zwei Variablen) nutzenkönnen,
• durch das Arbeiten mit funktionalen Abhängigkeiten einen intuitiven Funktionsbegriff erarbeiten.

• Klammer auflösen: Klasse 3

Herausheben ist das Gegenteil von Klammer-Auflösen. Man hat einen Term ohne Klammer und versucht in den Summanden die gemeinsamen Teilterme zu finden, die dann außerhalb der Klammer bleiben. Die restlichen Terme bleiben dann als Summanden in der Klammer:

• 6x⁷ – 14x² + 10x³=?    Heben Sie heraus!

(das ist allerdings das gleiche Beispiel, wie in Klammer auflösen, nur in die Gegenrichtung).

Die kleinste Hochzahl von x ist 2. Jeder Summand hat daher ein x² drinnen. Außerdem kann man die Zahl in jedem Summand durch 2 teilen. Also jeder Summand hat daher eine 2 drinnen. 2x² ist daher das gemeinsame Element, es bleibt außerhalb der Klammer:

6x⁷ – 14x² + 10x³= 2x² · (3x⁵-7+5x)

Wie haben wir die Teilterme in der Klammer gefunden?

6x⁷ : 2x² = 3x⁵,    14x² : 2x² = 7,    10x³ : 2x² = 5x !

Bei den Hochzahlen wählt man die kleinste Hochzahl. Wenn eine Variable bei einem Summand nicht vorkommt, dann kann man sie nicht herausheben. Bei den Zahlen kann man erst die Primfaktorzerlegung durchführen und dann die gemeinsamen Faktoren herausheben:

• 45b⁴y²n⁷ – 30y⁵n⁹ – 75b⁸y⁸n⁸ + 105 b y n⁷ = ?

45b⁴y²n⁷ – 30y⁵n⁹ – 75b⁸y⁸n⁸ + 105 b y n⁷    =    3·3·5 b⁴y²n⁷ – 2·3·5 y⁵n⁹ – 3·5·5 b⁸y⁸n⁸ + 3·5·7 b y n⁷

Hier haben wir die PFZ gemacht. Überall kommt 3 und 5 zumindest einmal vor, b kommt im zweiten Summand nicht vor (daher kann man b nicht herausheben), die kleinste Hochzahl von y ist 1 (y=y¹) und von n 7. Man kann also „3“, „5“, „y“ und „n⁷“ herausheben:

3·5 y n⁷ · (...?...) = 15yn⁷ · (...?...)

Was bleibt jetzt in der Klammer? Wir dividieren jeden Teilterm (Summand) mit dem herausgehobenen Teilterm (15yn⁷):

45b⁴y²n⁷ : 15yn⁷ = 3b⁴y		30y⁵n⁹ : 15yn⁷ = 2y⁴n²
75b⁸y⁸n⁸ : 15yn⁷ = 5b⁸y⁷n		105 b y n⁷ : 15yn⁷ = 7b

also:

45b⁴y²n⁷ – 30y⁵n⁹ – 75b⁸y⁸n⁸ + 105 b y n⁷ = 15yn⁷ ( 3b⁴y – 2y⁴n² – 5b⁸y⁷n+ 7b )

• Potenzen: Klasse 3

${\displaystyle {\frac {a^{7}}{a^{5}}}=a^{7-5}=7^{2}\quad \quad {\frac {7^{74}}{7^{5}}}=7^{74-5}=7^{69}\quad \quad {\frac {4^{z}}{4^{x}}}=4^{z-x}}$

Warum das so ist, ist leicht zu erklären:

${\displaystyle {\frac {a^{7}}{a^{5}}}={\frac {a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}{a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a}}={\frac {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot a\cdot a}{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}}}\ _{({\text{kürzen}})}={\frac {a\cdot a}{1}}=a^{2}\quad _{=(a^{7-5})}}$

Die Hochzahlen subtrahiert man (oben minus unten), auch wenn sie negativ sind:

${\displaystyle {\frac {w^{5}}{w^{-7}}}=w^{5}:w^{-7}=w^{5-(-7)}=w^{5+7}=w^{12}}$

${\displaystyle {\frac {a^{-7}}{a^{5}}}=a^{-7}:a^{5}=a^{-7-5}=a^{-12}}$

${\displaystyle {\frac {4^{-7}}{4^{-c}}}=4^{-7}:4^{-c}=4^{-7-(-c)}=4^{-7+c}}$

Da ein Bruch (fast) gleichbedeutend mit einer Division ist, kann man auch sagen, dass bei der Division von Potenzzahlen mit gleicher Basis das Ergebnis die gleiche Basis ist, mit einer Hochzahl, die die Differenz aus der Hochzahl des Dividends und der Hochzahl des Divisors ist. Allgemein kann man daher schreiben:

${\displaystyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}}$

wobei n und m irgendwelche positive oder negative reelle Zahlen sein können.

Mit Hilfe des letzten Satzes kann man auch, mit Hilfe eines Beispiels, zeigen, dass ${\displaystyle a^{0}=1\ }$ und ${\displaystyle \textstyle a^{-n}={1 \over a^{n}}\ }$ ist. Es gilt:

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{a^{3}}}={{a\cdot a\cdot a} \over {a\cdot a\cdot a}}={{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}} \over {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}}}={{1\cdot 1\cdot 1} \over {1\cdot 1\cdot 1}}=1}$

und nach der Regel ${\displaystyle \textstyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}}$ gilt auch:

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{a^{3}}}=a^{3-3}=a^{0}}$

Also ${\displaystyle \textstyle {\frac {a^{3}}{a^{3}}}}$ ist gleichzeitig gleich 1 und gleich ${\displaystyle a^{0}}$. Daher gilt:

${\displaystyle a^{0}=1}$

In einer ähnlichen Weise zeigen und wieder mit Hilfe eines Beispiels wir, dass ${\displaystyle \textstyle a^{-n}={1 \over a^{n}}\ }$ ist.

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{a^{5}}}={{{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}} \over {{\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {\cancel {a}}\cdot {a}\cdot {a}}}={1 \over {a^{2}}}}$

Nach der Regel ${\displaystyle \textstyle {\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}}$ gilt:

${\displaystyle {\frac {a^{3}}{a^{5}}}=a^{3-5}=a^{-2}}$

Also ${\displaystyle \textstyle {\frac {a^{3}}{a^{5}}}\ }$ ist gleichzeitig ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{a^{2}}}\ }$ und ${\displaystyle a^{-2}}$. Daher gilt:

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}=a^{-2}\ }$ und allgemein:

${\displaystyle \ a^{-n}={1 \over a^{n}}\ }$

Es muss auch klar sein: x² ist nicht das Gleiche wie y² (kann ausnahmsweise sein, ist es in der Regel aber nicht!)! Wenn die Basis anders ist, kann man mit den Hochzahlen keine Strichrechnung machen, z.B.:

${\displaystyle 4^{3}\cdot 5^{6}\neq 20^{9}}$   oder etwas Ähnliches. Man kann einfach diesen Ausdruck NICHT vereinfachen!

${\displaystyle {(a^{2})}^{3}=a^{2\cdot 3}=a^{6}}$

Warum das so ist, kann man wie im Folgenden erklären:

${\displaystyle {(a^{2})}^{3}=(a^{2})\cdot (a^{2})\cdot (a^{2})=a^{\overbrace {2+2+2} ^{3\ mal}}=a^{2\cdot 3}=a^{6}}$

Kurze Erklärung zum Schritt : ${\displaystyle \textstyle (a^{2})\cdot (a^{2})\cdot (a^{2})=a^{2+2+2}}$. Hier haben wir die eben erklärte Multiplikationsregel benutzt: ${\displaystyle \textstyle a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}}$.

Die Hochzahlen multipliziert man, auch wenn sie negativ sind:

${\displaystyle {(a^{-5})}^{3}=a^{(-5)\cdot 3}=a^{-15}}$

${\displaystyle {(a^{-5})}^{-4}=a^{(-5)\cdot (-4)}=a^{20}}$

Allgemein kann man daher schreiben:

${\displaystyle {(a^{n})}^{m}=a^{n\cdot m}}$

wobei n und m irgendwelche positive oder negative reelle Zahlen sein können.

Mit einem Beispiel kann auch dieser Zusammenhang schnell erklärtwerden:

${\displaystyle (a\cdot b)^{4}=\underbrace {(a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot (a\cdot b)\cdot (a\cdot b)} _{4\ mal}=\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a} _{4\ mal}\cdot \underbrace {b\cdot b\cdot b\cdot b} _{4\ mal}=a^{4}\ b^{4}}$

und entsprechend für einen Bruch:

${\displaystyle ({a \over b})^{4}=\underbrace {({a \over b})\cdot ({a \over b})\cdot ({a \over b})\cdot ({a \over b})} _{4\ mal}={\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot a} ^{4\ mal} \over \underbrace {b\cdot b\cdot b\cdot b} _{4\ mal}}={a^{4} \over b^{4}}}$

Es gilt also allgemein:

${\displaystyle ({a\cdot b})^{n}={a^{n}\cdot b^{n}}}$

${\displaystyle \left({a \over b}\right)^{n}={a^{n} \over b^{n}}}$

Weitere Beispiele:

${\displaystyle ({a^{4}\cdot b^{-5}})^{3}={a^{4\cdot 3}\cdot b^{-5\cdot 3}}=a^{12}\ b^{-15}}$

${\displaystyle \left({a^{7} \over b^{3 \over 5}}\right)^{4}={a^{7\cdot 4} \over b^{{3 \over 5}\cdot 4}}={a^{28} \over b^{12 \over 5}}}$ {{#ifeq:Mathematrix: AT AHS/ Theorie/ Klasse 4|Mathematrix: AT PSA Theorie nach Thema/ Arbeiten mit Termen |
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Allgemein kann man die binomischen Formeln als eine Art mathematisches Spiel wahrnehmen, das auf die höhere Mathematik vorbereitet.

Es gibt drei binomische Formeln:

Die Plusformel:	(a+b)²   =   a² + 2ab + b²
Die Minusformel:	(a-b)²   =   a² -2ab +b²
Die Plusminusformel:	(a+b) (a-b)   =   a² – b²

Warum (a+b)² = a² + 2ab + b² ist, kann man leicht feststellen, wenn man die Potenz auf ihre Faktoren zerlegt und die Klammern aus multipliziert:

(a+b)² = (a+b) (a+b) = a² + ab + ba +b² = a² + 2ab + b²

Ähnlich kann man die anderen Formeln zeigen:

(a-b)² = (a-b) (a-b) = a² – ab – ba +b² = a² – 2ab + b²

(a+b)(a-b) = a² - ab + ba – b² = a² – b²

Nun die Aufgaben, die mit binomischen Formeln zu tun haben, gehen davon aus, dass man die binomische Formeln schon kann und an der Stelle von a und b andere Terme stehen:

• Plusformel: (3d+5)²     Hier haben wir statt a 3d und statt b 5.

(a	+	b)²	=	a²	+	2	a	b	+	b²
↓		↓		↓		↓	↓	↓		↓
(3d	+	5)²	=	(3d)²	+	2	(3d)	(5)	+	5²
			=	9d²	+		30d		+	25

• Minusformel: (c – 4x)² Hier haben wir statt a c und statt b 4x.

(a	−	b)²	=	a²	−	2	a	b	+	b²
↓		↓		↓		↓	↓	↓		↓
(c	−	4x)²	=	(c)²	−	2	(c)	(4x)	+	(4x)²
			=	c²	−		8cx		+	16x²

• Plusminusformel: (5u + 2v) (5u – 2v) Hier haben wir statt a 5u und statt b 2v.

(a	+	b)²	⋅	(a	−	b)	=	a²	−	b²
↓		↓		↓		↓	↓	↓		↓
(5u	+	2v)²	⋅	(5u)	−	2v	=	(5u)²	−	(2v)²
							=	25u²	−	4v²

Besonders wichtig sind die binomischen Formeln bei den Umkehraufgaben:

36x² – 60ax +25a²=?

Hier ist gefragt, den Term als Quadrat eines sogenannten Binoms oder als Produkt von Faktoren (in Klammern) zu schreiben. Man kann sofort beobachten, dass es drei Summanden gibt, drei Teilterme: 36x², 60ax, 25a². Dadurch kann man sofort die Plusminus Formel ausschließen (da gibt es nur zwei Terme: a²-b²). Da es am mittleren Term ein Minus gibt, findet man sofort, dass es um die Minusform geht. Die quadratischen Terme sind 36x² und 25a². Wenn man sich ein bisschen mit den Quadratzahlen auskennt, weiß man, dass 36 das Quadrat von 6 und 25 das Quadrat von 5 ist. Also kann 36x² nur das Quadrat von 6x und 25a² von 5a sein. Der mittlere Term sollte dann 2·6x·5a sein, was auch tatsächlich stimmt ( 2·6x·5a=60ax). Daher gilt:

36x² – 60ax +25a² = (6x – 5a)²

Noch ein Beispiel:

121d² – 4t²

Das kann nur die Plusminusform sein, weil sie die einzige ist, die nur zwei Teilterme hat. Daher:

121d² – 4t² = (11d + 2t) (11d – 2t)

_{Bemerkung: die ersten sogenannten Quadratzahlen sind:}

^{1 (=1²), 4 (=2²), 9 (=3²), 16 (=4²), 25 (=5²), 36 (=6²), 49 (=7²), 64 (=8²), 81 (=9²), 100 (=10²), 121 (=11²), 144 (=12²).}

Im Kapitel über die binomische Formeln wurde impliziert, dass jeder Term mit zwei Summanden „Binom“ genannt wird. Beispiele:

${\displaystyle a+b,\ x-3\pi ,\ x^{3}+y^{2},\ 3mb^{7}-5c^{3},\ {\tfrac {m^{b}}{p}}-q}$

${\displaystyle a+b-c}$ ist dann kein Binom mehr (drei Summanden).  _{(Hier wird der erweiterte Begriff von Summand benutzt: a+b-c ist die Summe der drei Terme „a“, „b“ und „−c“)}

Wir haben bisher nur Binompotenzen mit 2 als Hochzahl gesehen. Es gibt Binompotenzen höheren Grades, also mit einer höheren Hochzahl aus dem Bereich der natürlichen Zahlen:

${\displaystyle (a\pm b)^{3},(a\pm b)^{4}\dots }$

Bei der Erklärung der binomischer Formeln haben wir das Auflösen von Klammern benutzt. Bei ${\displaystyle (a+b)^{3}}$ wäre so was schon komplizierter, bei höheren Hochzahl schon ziemlich kompliziert. Um diese Ausdrücke ohne Klammer zu schreiben (Ausmultiplizieren), gibt es einen viel einfacheren Weg, das pascalsche_Dreieck.

Mit Hilfe dieses Dreiecks, kann man die sogenannten Koeffizienten der entstehenden Summanden leicht berechnen.

Das ganze Dreieck ist ein (gleichschenkliches) Zahlendreieck. Die Basis erweitert sich ständig, die Schenkel bestehen aus lauter Einser. Die erste zwei Zeilen sind ein gleichschenkliches Zahlendreieck mit 1 an jedem Eckpunkt.

Für die nächste Zeile schreibt man an den Rändern 1 und für die innere Zahlen addiert man immer jeweils zwei nebenstehenden Zahlen der vorherigen Zeile. Für die dritte Zeile hier schreibt man an den Rändern 1 und in der Mitte addiert man die zwei Einser von oben (Ergebnis 2):

Die vierte und die fünfte Zeile (und alle weitere Zeilen) entstehen in der gleichen Weise:

Wie kann man jetzt ${\displaystyle (a\pm b)^{3}}$ ausmultiplizieren?

Man schriebt eine Summe mit 4 Summanden (einen mehr als die Hochzahl des Binoms, hier ein mehr als 3). Jeder Summand besteht aus dem Produkt von a und b mit einer absteigende Hochzahl für a und eine aufsteigende Hochzahl für b. Die erste Hochzahl für a ist die Hochzahl des Binoms (hier 3 absteigend), für b ist sie Null (aufsteigend bis 3):

${\displaystyle a^{3}\ b^{0}+a^{2}\ b^{1}+a^{1}\ b^{2}+a^{0}\ b^{3}}$

Wir benutzen dann die vierte Zeile des Dreiecks. Sie hat so viele Zahlen, wie die Anzahl der Summanden (4):

${\displaystyle {\boldsymbol {1}}\qquad {\boldsymbol {3}}\qquad {\boldsymbol {3}}\qquad {\boldsymbol {1}}}$

Diese Zahlen werden die Koeffizienten der Summanden sein:

${\displaystyle {\boldsymbol {1}}\cdot a^{3}\ b^{0}+{\boldsymbol {3}}\cdot a^{2}\ b^{1}+{\boldsymbol {3}}\cdot a^{1}\ b^{2}+{\boldsymbol {1}}\cdot a^{0}\ b^{3}}$

Wenn im Binom Plus steht (a+b), dann steht Plus zwischen allen Summanden. Wenn im Binom Minus steht (a-b), dann alternieren sich plus und minus in der Summe. Berücksichtigen wir auch folgende Tatsachen: ${\displaystyle x^{0}=1\ \ }$ und ${\displaystyle x^{1}=x}$, dann ergibt sich:

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3\cdot a^{2}\ b+3\cdot a\ b^{2}+b^{3}\ \ }$ und

${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3\cdot a^{2}\ b+3\cdot a\ b^{2}-b^{3}\ \ }$

zusammengefasst:

${\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3\cdot a^{2}\ b+3\cdot a\ b^{2}\pm b^{3}\ \ }$

Für ${\displaystyle (a\pm b)^{4}\ \ }$ kann man dann genau in der gleichen Weise das Binom leicht ausmultiplizieren. Hier hat man fünf Summanden, also muss die fünfte Zeile des pascalschen Dreiecks benutzt werden (1 4 6 4 1):

${\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4\cdot a^{3}\ b+6\cdot a^{2}\ b^{2}\pm 4\cdot a\ b^{3}+b^{4}\ \ }$

Wenn also das Binom (3d−2c)³) ausmultipliziert werden soll, dann wird der Ausdruck für (a−b)³ und an der Stelle von a → 3d benutzt (und an der Stelle von b → 2c).

${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3\cdot a^{2}\ b+3\cdot a\ b^{2}-b^{3}\ \ }$

${\displaystyle (3d-2c)^{3}=(3d)^{3}-3\cdot (3d)^{2}\ (2c)+3\cdot (3d)\ (2c)^{2}-(2c)^{3}\ \ }$ also

${\displaystyle (a-b)^{3}=27d^{3}-54\cdot d^{2}\ c+36\cdot d\ c^{2}-8c^{3}\ \ }$

• Umformen: Klasse 3

Die Kenntnisse dieses Kapitels kann man benutzen, um Bruchterme zu kürzen. Zuerst vereinfacht man die Terme sowohl oben (im Zähler) als auch unten (im Nenner), dann hebt man heraus, was man herausheben kann (oben und unten) und am Ende schaut man nach, ob eine binomische Formel vorhanden ist (wieder oben und unten, im Zähler und im Nenner). Am Ende, wenn man Produkte im Zähler und im Nenner hat, kann man kürzen, wenn es möglich ist: Nehmen wir beispielsweise folgenden Bruchterm:

${\displaystyle {\frac {6x^{2}-5x+3x^{2}+2x}{18x^{3}-12x^{2}+2x}}}$

• Erster Schritt: Vereinfachen (geht nur im Zähler; ${\displaystyle {6x^{2}-5x+3x^{2}+2x}}$ ist so viel wie ${\displaystyle 9x^{2}-3x}$ ): 

${\displaystyle \textstyle {\frac {9x^{2}-3x}{18x^{3}-12x^{2}+2x}}}$

• Zweiter Schritt: Herausheben (geht oben und unten): 

${\displaystyle \textstyle {\frac {3x(3x-1)}{2x(9x^{2}-6x+1)}}}$

• Dritter Schritt: Nach binomischen Formeln suchen. Das geht hier nur unten; der Term im Klammer  ${\displaystyle \textstyle 9x^{2}-6x+1}$ ist nach der Minus binomische Formel gleich ${\displaystyle \textstyle (3x-1)^{2}}$. Daher ergibt sich der Bruch: 

${\displaystyle \textstyle {\frac {3x(3x-1)}{2x(3x-1)^{2}}}}$

• Vierter Schritt: Kürzen, was man kürzen kann: 

${\displaystyle \textstyle {\frac {3{\cancel {x}}{\cancelto {1}{(3x-1)}}}{2{\cancel {x}}(3x-1)^{{\cancel {2}}^{1}}}}}$

Das Ergebnis ist daher:

${\displaystyle {\frac {6x^{2}-5x+3x^{2}+2x}{18x^{3}-12x^{2}+2x}}={\frac {3}{2(3x-1)}}}$

Im Kapitel über Brüchen haben wir schon gesehen, wie man zwei gleichnamige und zwei ungleichnamige Brüche addiert:

Brüche mit gleichem Nenner:

${\displaystyle {\frac {5}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {5+2}{4}}={\frac {7}{4}}}$

Brüche mit unterschiedlichen Nennern: Zähler und Nenner des ersten Bruches mit Nenner des zweiten erweitern und entsprechend für den zweiten Bruch!

${\displaystyle ={\frac {5\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 4}}}$${\displaystyle \textstyle \color {CadetBlue}{\left(={\frac {5\cdot 3+2\cdot 4}{3\cdot 4}}\right)}}$${\displaystyle ={\frac {15}{12}}+{\frac {8}{12}}={\frac {15+8}{12}}={\frac {23}{12}}}$

Dabei ist es nicht wichtig, ob man minus oder plus zwischen den Brüchen hat. Allein der Nenner (ob er der gleiche oder nicht ist) spielt einer Rolle.

Der Vorgang ist genau der gleiche für Bruchterme.

Brüche mit gleichem Nenner:

${\displaystyle {\frac {5}{a}}+{\frac {2}{a}}={\frac {5+2}{a}}={\frac {7}{a}}}$

Brüche mit unterschiedlichen Nennern:

${\displaystyle {\frac {5}{a}}{\underline {\underline {\xcancel {+}}}}{\frac {2}{b}}={\frac {5\cdot b}{a\cdot b}}+{\frac {2\cdot a}{b\cdot a}}}$${\displaystyle \textstyle \color {CadetBlue}{\left(={\frac {5\cdot b+2\cdot a}{a\cdot b}}\right)}}$${\displaystyle ={\frac {5b}{ab}}+{\frac {2a}{ab}}={\frac {5b+2a}{ab}}}$

Wenn aber die Sache etwas komplizierter wird, dann benutzt man einen Vorgang, der sehr ähnlich zum Verfahren der Primfaktorzerlegung und ihre Anwendung bei Strichrechnungen zwischen mehreren Brüchen ist.

${\displaystyle {\frac {5s}{a^{3}\ t^{6}\ x}}-{\frac {2z}{a^{2}\ t^{7}\ x\ s}}=?}$

Für jeden Teilterm, jede Variable, im Nenner, wählt man die höchst Hochzahl die vorkommt. Diese wird dann im gemeinsamen Nenner benutzt. Für a ist sie 3 (a³), für t 7 (t⁷), für x ist die Hochzahl 1(x¹ also x) und für s auch 1 (also s). Der gemeinsame Nenner wird daher a³t⁷xs sein. Den Zähler multipliziert man dann, mit den aus dem Nenner fehlenden Teilen.

${\displaystyle {\frac {5s\cdot (t\ s)}{a^{3}\ t^{7}\ x\ s}}-{\frac {2z\cdot (a\ )}{a^{3}\ t^{7}\ x\ s}}={\frac {5s^{2}\ t-2z\ a\ }{a^{3}\ t^{7}\ x\ s}}}$

Wieso habe wir den Zähler im ersten Bruch (5s) mit ts multipliziert? Wir haben erst den gemeinsamen Nenner (a³t⁷xs) durch den Nenner des Bruches (a³t⁶x) dividiert:

${\displaystyle {\frac {a^{3}t^{7}xs}{a^{3}t^{6}x}}=ts}$

Mit diesem Term (diesem Ergebnis) muss man den Zähler multiplizieren. Den gleichen Prozess haben wir beim zweiten Bruch wiederholt. Dieser Prozess allerdings (gemeinsamen Nenner durch den jeweiligen Nenner dividieren) haben wir auch bei den Strichrechnungen zwischen mehreren Brüchen benutzt, wo wir auch die Primfaktorzerlegung angewandt haben.

Was im Zähler steht, ist nicht so wichtig. Im Nenner allerdings können die Faktoren größere Terme in Klammern sein:

${\displaystyle {\frac {5s}{a^{3}w^{2}(t-1)(t+1)^{5}(t-3)}}-{\frac {2z}{a^{2}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{2}(q^{2}+7+r)^{2}}}=?}$

Finden wir erst den gemeinsamen Nenner. Es gibt im Nenner des ersten Bruches die Termen a, w, (t-1), (t+1) und (t-3). Im zweiten Bruch findet man im Nenner noch folgende Terme dazu: p, (q^2+7+r). Wir sollten für den gemeinsamen Nenner die höchste Hochzahl des jeweiligen Terms benutzen. Beispielsweise ist diese für den Term a die Hochzahl 3, für den Term w die Hochzahl 5, für den Term (t+1) die Hochzahl 5 usw. Der gemeinsame Nenner wird dann  ${\displaystyle a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}$  sein.

Der Zähler des ersten Bruches wird durch den Quotient des gemeinsamen Nenners durch den Nenner des ersten Bruches erweitert:

${\displaystyle {\frac {a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}{a^{3}w^{2}(t-1)(t+1)^{5}(t-3)}}=w^{3}p(t-1)(q^{2}+7+r)^{2}}$

Entsprechend für den zweiten Bruch:

${\displaystyle {\frac {a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}{a^{2}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{2}(q^{2}+7+r)^{2}}}=a(t+1)^{3}(t-3)}$

Nun kann man das Ganze in einem Bruch schreiben:

${\displaystyle {\frac {5s}{a^{3}w^{2}(t-1)(t+1)^{5}(t-3)}}-{\frac {2z}{a^{2}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{2}(q^{2}+7+r)^{2}}}=}$

${\displaystyle {\frac {5s\cdot w^{3}p(t-1)(q^{2}+7+r)^{2}}{a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}}-{\frac {2z\cdot a(t+1)^{3}(t-3)}{a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}}=}$

${\displaystyle {\frac {5s\cdot w^{3}p(t-1)(q^{2}+7+r)^{2}-2z\cdot a(t+1)^{3}(t-3)}{a^{3}w^{5}p(t-1)^{2}(t+1)^{5}(t-3)(q^{2}+7+r)^{2}}}}$

Wie das Wort besagt, sind Bruchtermegleichungen Gleichungen, die Bruchterme beinhalten. Wir werden hier uns mit Bruchtermegleichungen, die nur eine unbekannte Variable beinhalten, beschäftigen. Ziel ist durch Umformungen den Wert der Variable zu finden, der die Gleichung erfüllt.

${\displaystyle {\frac {4x^{2}+5x-2x^{2}-4x}{x^{2}+x}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{x^{2}-1}}}$

Die Schritte, um die Lösung zu finden, sind am Anfang wie die Schritten bei Abschnitt„Bruchterme kürzen“.

• Erster Schritt: Vereinfachen (geht nur im Zähler des ersten Bruches; ${\displaystyle {4x^{2}+5x-2x^{2}-4x}}$ ist so viel wie ${\displaystyle 2x^{2}-x}$ ): ${\displaystyle \textstyle {\frac {2x^{2}-x}{x^{2}+x}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{x^{2}-1}}}$

• Zweiter Schritt: Herausheben (geht nur im Zähler und im Nenner des ersten Bruches;): ${\displaystyle \textstyle {\frac {x(2x-1)}{x(x+1)}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{x^{2}-1}}}$

• Dritter Schritt: Nach binomischen Formeln suchen (das geht hier nur im Nenner des Bruches auf der rechten Seite der Gleichung: ${\displaystyle x^{2}-1=(x+1)(x-1)}$ ):  ${\displaystyle \textstyle {\frac {x(2x-1)}{x(x+1)}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}}$

• Vierter Schritt: Kürzen, was man kürzen kann (das geht in diesem Beispiel beim ersten Bruch: ${\displaystyle \textstyle {\frac {x(2x-1)}{x(x+1)}}={\frac {2x-1}{x+1}}}$ ). Damit ergibt sich:

${\displaystyle {\frac {2x-1}{x+1}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}}$

• Fünfter Schritt: Hat man diese Schritte überprüft, versucht man die Bruchterme auf den gleichen Nenner zu bringen, wie am vorherigen Teilkapitel gezeigt. Hier gibt es im Nenner zwei verschiedenen Terme, ${\displaystyle (x+1)}$  und ${\displaystyle (x-1)}$. Der Bruch auf der rechten Seite hat schon beide, man braucht (und darf) ihn NICHT erweitern. Am ersten Bruch fehlt noch der Term ${\displaystyle (x-1)}$  und mit diesem muss er erweitert werden. Am zweiten Bruch fehlt der Term ${\displaystyle (x+1)}$  und mit diesem muss er erweitert werden.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\underbrace {\cdot \ (x\ -\ 1)} }{\frac {2x-1}{x+1}}}\qquad &\qquad -{\overset {\underbrace {\cdot \ (x\ +\ 1)} }{\frac {2x}{x-1}}}&&={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\\{\frac {(2x-1)\cdot (x-1)}{(x+1)\cdot (x-1)}}&-{\frac {2x\cdot (x+1)}{(x-1)\cdot (x+1)}}&&={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\\{\frac {2x^{2}-2x-x+1}{(x+1)\cdot (x-1)}}&-{\frac {2x^{2}+2x}{(x-1)\cdot (x+1)}}&&={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\end{aligned}}}$

• Sechster Schritt: Jetzt haben wir überall den gleichen Nenner. Wenn wir beide Seiten der Gleichung (also alle Brüche) mit diesem Nenner multiplizieren, dann wird er überall gekürzt.

${\displaystyle {\frac {2x^{2}-3x+1}{(x+1)\cdot (x-1)}}-{\frac {2x^{2}+2x}{(x-1)\cdot (x+1)}}={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\qquad \qquad |\cdot (x-1)(x+1)}$

${\displaystyle \left[{\frac {2x^{2}-3x+1}{(x+1)\cdot (x-1)}}-{\frac {2x^{2}+2x}{(x-1)\cdot (x+1)}}\right]\cdot (x-1)(x+1)={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\cdot (x-1)(x+1)}$

${\displaystyle {\frac {(2x^{2}-3x+1)\cdot {\xcancel {(x-1)(x+1)}}}{\xcancel {(x-1)(x+1)}}}-{\frac {(2x^{2}+2x)\cdot {\xcancel {(x-1)(x+1)}}}{\xcancel {(x-1)(x+1)}}}={\frac {(2x+15)\cdot {\xcancel {(x-1)(x+1)}}}{\xcancel {(x-1)(x+1)}}}}$

• Siebter Schritt: Das vorläufige Ergebnis ist daher die folgende Gleichung, die wir dann mit einfachen Umformungen lösen können:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(2x^{2}-3x+1)&-(2x^{2}+2x)&&=2x+15\qquad |{\text{(Klammer auflösen)}}\\2x^{2}-3x+1&-2x^{2}-2x&&=2x+15\qquad |{\text{(Vereinfachen und Variablen trennen)}}\\&\quad -5x+1&&=2x+15\qquad |-1-2x)\\&\qquad -7x&&=\ 14\qquad \qquad |:(-7)\\&\qquad \quad \ x&&=-2\end{alignedat}}}$ Die Lösungsmenge, also die Zahlen, die die Bruchtermegleichung am Anfang erfüllen, ist hier nur eine Zahl, die Zahl −2. Man schreibt:

${\displaystyle \mathbb {L} =\{-2\}}$

Wie man sieht, ist die Lösung einer Bruchtermegleichung kompliziert. Das Üben und die Erfahrung machen die Sache selbstverständlich einfacher. Es gibt aber doch noch einen Schritt, um so eine Gleichung vollständig zu lösen: Die Definitionsmenge muss vorerst herausgefunden werden. Mit diesem Schritt beschäftigen wir uns im nächsten Teilkapitel.

Nehmen wir folgendes Beispiel:

${\displaystyle {\frac {2x^{2}-x}{x^{2}+x}}-{\frac {2x}{x-1}}-{\frac {2(x+4)}{x^{2}-1}}}$

In den Nennern gibt es verschiedene Terme:

${\displaystyle {x^{2}+x}\quad {x-1}\quad {x^{2}-1}}$

Alle diese Terme kann man als Produkte von verschiedenen Faktoren schreiben:

${\displaystyle {x^{2}+x}=x(x+1)\quad {x-1}\quad {x^{2}-1}=(x-1)(x+1)}$

Alle diese Faktoren stehen im Nenner. Es gibt eine Regel in Mathematik, die besagt:

Die Division durch 0 ist nicht definierbar.

Warum das so ist, kann man in der höheren Mathematik zeigen. Der Nenner darf also nicht null sein. In welchen Fällen kann der erste, der zweite oder der dritte Nenner null sein? Dafür setzen wir diese Nenner gleich null!

${\displaystyle x(x+1)=0\quad {x-1}=0\quad (x-1)(x+1)=0}$

Wann kann jetzt der erste Ausdruck null sein? Wenn zumindest einer der Faktoren null ist!

${\displaystyle x(x+1)=0\quad {\text{wenn}}\quad x=0\quad {\text{oder}}\quad (x+1)=0\ also\ x=-1\quad {\text{ist.}}}$

In der gleichen Weise für die anderen zwei Nenner:

${\displaystyle x-1=0\quad {\text{wenn}}\quad x=1\quad {\text{ist.}}}$

${\displaystyle (x-1)(x+1)=0\quad {\text{wenn}}\quad x=1\quad {\text{oder}}\quad x=-1\quad {\text{ist.}}}$

Der Ausdruck ${\displaystyle \textstyle \ {\frac {2x^{2}-x}{x^{2}+x}}-{\frac {2x}{x-1}}-{\frac {2(x+4)}{x^{2}-1}}\ }$ kann nur dann definiert werden, wenn x nicht 0, 1 oder -1 ist. x darf daher alle andere Zahlen sein außer -1, 0 und 1. All die Zahlen, die x sein darf, nennt man Definitionsmenge. Man sagt, dass die Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen außer -1,0 und 1 ist und schreibt:

${\displaystyle x\neq \{-1,\ 0,\ 1\}\qquad }$ oder ${\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}}$

Die Definitionsmenge anzugeben ist bei jeder Aufgabe sehr wichtig. Nehmen wir das Beispiel am Anfang und setzen wir es gleich null:

${\displaystyle {\frac {2x^{2}-x}{x^{2}+x}}-{\frac {2x}{x-1}}-{\frac {2(x+4)}{x^{2}-1}}=0}$

Die Lösungsschritte haben wir im vorherigen Absatz gelernt. Die Definitionsmenge ist (wie gerade eben gezeigt)  ${\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}}$. Wer die Lösungsschritte macht, kommt zum Ergebnis ${\displaystyle x=-1}$. Dieser Wert gehört aber nicht zur Definitionsmenge. x darf nicht -1 sein, weil in diesem Fall eine Division durch null vorkommt. Man sagt in diesem Fall, dass die Gleichung keine Lösung hat (und sie hat tatsächlich keine Lösung: -1 kann keine Lösung sein!) oder dass die Lösungsmenge die sogenannte leere Menge ist: ${\displaystyle \mathbb {L} =\{\}}$ oder ${\displaystyle \mathbb {L} =\emptyset }$.

Bei manchen Aufgaben kann es sein, dass die allgemeine Definitionsmenge angegeben wird (z.B. die natürliche Zahlen). Wenn man das Beispiel mit den Tischen im Kapitel über lineare Gleichungssysteme betrachtet, kann man feststellen, dass die Antwort nur eine natürliche Zahl sein kann und dass etwas in der Angabe nicht stimmt, wenn das nicht der Fall ist.

Obwohl es nicht Thema diese Buches ist, erwähnen wir hier, dass die Definitionsmenge auch durch Ungleichungen angegeben werden kann. Das ist beispielsweise der Fall, wenn man einen Term in einer quadratischen Wurzel hat. Nehmen wir das folgende Beispiel:

${\displaystyle {\sqrt {x-2}}}$

Wir behaupten hier, dass dieser Ausdruck nur dann definiert werden kann^[1], wenn der Term unter der Wurzel positiv oder null (anders gesagt: nicht negativ) ist. Das liegt daran, dass die Gegenrechnung der Wurzel das Quadrat ist und das Quadrat von jeder beliebigen Zahl immer positiv ist (oder null, wenn die Zahl null ist). Bei positiven Zahlen ist diese Tatsache klar: + mal + wird + sein. Aber auch bei den negativen Zahlen ist es genauso: − mal − ist auch immer plus! Es gibt also keine Zahl, deren Quadrat negativ ist. In unserem Beispiel muss daher gelten:

${\displaystyle {x-2}\geq 0\qquad {\text{also}}\qquad x\geq 2}$

Man sagt „x muss größer oder gleich null sein“.

1. ↑ genauer gesagt in der Menge der reellen Zahlen. Warum aber das jetzt gesagt werden muss, ist überhaupt nicht Thema dieses Buches

Wenn man z.B. die Temperaturen um gewissen Uhrzeiten an einem Tag misst, dann hat man schon eine Art von Funktion. Man sagt, dass die Temperatur die abhängige Variable ist und die Uhrzeit die unabhängige. Für jeden Wert der unabhängigen Variable gibt es einen Wert der abhängigen Variable aber für jeden Wert der abhängigen Variable kann es keine, eine oder mehrere Werte der unabhängigen Variable geben.

In unserem Beispiel: für jede Uhrzeit gibt es genau eine Temperatur (es kann nicht mehrere geben), eine Temperatur aber kann nie, einmal oder mehrmals vorkommen. Man kann die ganze Information in einer Tabelle schreiben und mit Hilfe der Tabelle, kann man auch ein Diagramm erstellen:

Wie man im Diagramm ablesen kann, es gibt nur eine Temperatur für jede Uhrzeit (z.B. um 10 Uhr ist die Temperatur 14°C und nicht gleichzeitig 18°C) aber für jede Temperatur kann es keine (z.B. 5°C gibt es nicht), eine (z.B. 10° C gibt es nur um 6 Uhr) oder mehrere Zeiten (z.B. 15°C kommt 2 mal vor, man kann sogar raten, dass es die gleiche Temperatur irgendwann zwischen 10 Uhr und 12 Uhr gab!).

Wenn das Diagramm einer Funktion eine Gerade ist, dann geht es um eine sogenannte lineare Funktion. Ein lineare Funktion hat die allgemeine Form:

y=s x +A

wo y die abhängige Variable ist, x die unabhängige Variable und s und A irgendwelche Konstanten (Zahlen, die sich nicht ändern, wie die Variablen). So sind die folgende Funktionen linear:

y=3x – 2${\displaystyle \qquad }$ y=-0,5x+130 ${\displaystyle \qquad }$y= ¾ x – 2,3${\displaystyle \qquad }$ y=-√3 x -5

In der ersten Funktion y=3x – 2 ist s=3 und A=-2.

In der zweiten Funktion y=-0,5x+130 ist s=-0,5 und A=130.

In der dritten Funktion y= ¾ x – 2,3 ist s= ¾ und A=-2,3.

In der vierten Funktion y=-√3 x -5 ist s=-√3 und A=-5.

Selbstverständlich kann man statt x und y andere Symbole benutzen:

y=3x – 2, a=3b – 2 und V=3h – 2 sind Darstellungen der gleichen Funktion, es werden nur andere Symbole für x und y benutzt. y= ¾ x – 2,3 ist doch eine andere Funktion, weil s und A (die Konstanten) anders sind. Wenn allein s oder allein A oder beide s und A in zwei Funktionen anders sind, dann haben wir zwei unterschiedlichen linearen Funktion. Wenn s und A in zwei Funktionen gleich sind, dann haben wir die gleiche Funktion, egal welche Symbole wir für x und y benutzen.

In einer linearen Funktion  ${\displaystyle \textstyle y=s\cdot x+A}$  wird die Konstante, mit der x multipliziert wird (hier mit s bezeichnet), Steigung der Funktion genannt. Die Steigung ist ein sehr wichtiger Begriff in der höheren Mathematik. Die Konstante, die dann addiert wird (hier mit A bezeichnet) nennt man y-Achsenabschnitt. Man muss auch sagen: in verschiedenen Staaten benutzt man unterschiedliche Symbole für s und A, z.B.

${\displaystyle y=mx+n}$

Hier ist dann m die Steigung und n der y-Achsenabschnitt (Gebrauch in Deutschland) .

${\displaystyle y=kx+d}$

Hier ist dann k die Steigung und d der y-Achsenabschnitt (Gebrauch in Österreich) .

${\displaystyle y=mx+q}$

Hier ist dann m die Steigung und q der y-Achsenabschnitt (Gebrauch in der Schweiz) .

${\displaystyle y=mx+b}$

Hier ist dann m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt (Gebrauch in Spanien) .

${\displaystyle y=ax+b}$

Hier ist dann a die Steigung und b der y-Achsenabschnitt (Gebrauch in Frankreich und auf Englisch) .

Für jede Funktion kann man eine Tabelle machen. Diese Tabelle kann man dann als Punkte in einem Diagramm darstellen. Als Beispiel benutzen wir die Funktion y=3x – 2:

Um diese Funktion in einem Diagramm darzustellen braucht man nur zwei Punkte. Einen Punkt schreibt man mit einem Wertepaar P:(x|y), wobei erst immer der x-Wert geschrieben wird und dann der y-Wert (innerhalb von Klammern). Benutzen wird beispielsweise P_A:(-1|-5) und P_B:(2|4) (erstes Bild). Mit Hilfe dieser Punkte kann man eine Gerade ziehen (zweites Bild). Wie man dann feststellen kann, liegen alle Wertepaare der Tabelle auf dieser Gerade! (Drittes Bild)

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Das ist genau die Sache. Alle Wertepaare einer linearen Funktion liegen auf der gleichen Gerade! Die Darstellung einer linearen Funktion auf einem Koordinatensystem ist eine Gerade!

Stellen wir uns ein Haus mit einem schrägen Dach vor (Pultdach). Wir messen alle Abstände in Meter von dort aus, wo im Bild der Ursprung des Koordinatensystems ist, also unten links an der Tür. Da ist das Dach 3 m hoch. Nehmen wir an, dass wir, 4 Meter weit von der Tür aus, ein Holzbalken einbauen wollen, um das Dach zu stützen. Wie hoch ist das Dach an diesem Punkt also wie lang muss der Holzbalken sein?

Das Dach hat eine feste Neigung. Seine Höhe ist links 3 m und rechts, also 10 m weit von der linken Seite, 5 m hoch. Der Höhenunterschied ist 2 m. Das bedeutet, dass jedes Meter von links nach rechts das Dach ${\displaystyle 2:10=0{,}2\ m}$ höher wird. Die Neigung des Daches ist 0,2. Diese Neigung nennt man in Mathematik bei einer abstrakten Kurve (die keinem Dach oder sonst was darstellt) Steigung.

Das Dach ist links 3 m hoch und wird 0,2 m höher für jedes Meter nach rechts. 4 Meter weiter wird es daher ${\displaystyle 3+4\cdot 0{,}2=3{,}8\ }$m hoch.

Mit diesem Beispiel wird hoffentlich klar: Wir können die Höhe H des Daches in Abhängigkeit von der horizontalen Abstand a für jeden Abstand mit Hilfe einer Formel berechnen. Die Formel dafür ist 3 m (ganz links) und dazu 0,2⋅a, wobei a der horizontale Abstand:

${\displaystyle H(a)=0{,}2\ a+3}$

Wenn wir jetzt anstatt H(a) y (also den Name der senkrechten Achse des Koordinatensystems) benutzen und anstatt von a x (horizontale Achse), dann bekommen wir die Formel:

${\displaystyle y=0{,}2\ x+3}$

Das ist eine lineare Funktion. Die Steigung (im konkreten Beispiel die Neigung des Daches) ist 0,2 und der y-Achsenabschnitt (da wo die Funktion die y-Achse trifft) ist 3.

• 
  Vordach
• 
  negative Steigung
• 
  Pool (unten)

Gäbe es einen Vordach links von der y-Achse, dann hätten wir auch negative Werte für die x-Achse, was dann in diesem Beispiel "links vom Haus" bedeuten würde. In diesem Bild wäre allerdings die Steigung und die ganze Funktion gleich geblieben:

${\displaystyle y=0{,}2\ x+3}$

Wäre das "Dach" nach unten geneigt, dann hätten wir eine negative Steigung. In unserem Bild wäre dann die entsprechende Funktion:

${\displaystyle y=-0{,}3\ x+5}$

Hätten wir beispielsweise einen Pool, dann könnten wir auch negative Werte für die y-Achse benutzen. Das würde in diesem fall "unterhalb der Oberfläche" bedeuten. In unserem Bild wäre dann die entsprechende Funktion:

${\displaystyle y=-0{,}25\ x-1}$

Mathematik kann ziemlich abstrakt sein, wir haben dann keinen Dach und wir benutzen nur Zahlen. Das Beispiel zeigt allerdings, dass sie manchmal auch im Alltag hilfreich sein kann.

Wenn man zwei Punkte einer linearen Funktion hat, kann man nicht nur die entsprechende Gerade im Diagramm zeichnen, sondern auch die Funktion selber finden, wenn man sie nicht kennt. Nehmen wir die folgenden zwei Punkte P und Q, die man auch vom Diagramm ablesen kann:

${\displaystyle P:(2|4),\ Q:(5|-2)}$

Mit Hilfe der beide Punkten kann man die Funktion in einem Koordinatensystem darstellen, wie im Bild. Wie viel ist die Steigung dieser Funktion und wie viel der y-Achsenabschnitt?

Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion ist:

${\displaystyle \ y=s\ x+A}$

wobei hier mit s die Steigung gemeint ist und mit A der y-Achsenabschnitt.

Um die Steigung und den y-Achsenabschnitt der im Diagramm dargestellten Funktion zu berechnen, werden wir hier das sogenannte Gleichsetzungsverfahren benutzen. Setzen wir die Wertepaare für die zwei gegebenen Punkten in der allgemeinen Gleichung der linearen Funktion ein:

${\displaystyle \left|{\begin{array}{lrl}P(x|y)&y&=s\ x+A\\P(2|4)&4&=s\ 2+A&\\P(5|-2)&-2&=s\ 5+A\\\end{array}}\right|\quad {\begin{array}{l}\\\mathbf {I} \\\mathbf {II} \end{array}}}$
Formen wir beide Gleichungen auf A um:
${\displaystyle \left({\begin{array}{rl}4&=s\cdot 2+A\\-2&=s\cdot 5+A\\\end{array}}\right)\ {\begin{array}{l}|-s\cdot 2\ {\text{also}}\ -2\ s\\|-s\cdot 5\ {\text{also}}\ -5\,s\\\end{array}}}$
${\displaystyle \Leftrightarrow \left({\begin{array}{rl}4-2\,s&=\mathbf {A} \\-2-5\,s&=\mathbf {A} \\\end{array}}\right)}$
Da die rechten Seiten der Gleichungen gleich sind (beide A), sollen auch die linken gleich sein.
${\displaystyle {\begin{array}{rll}4-2\,s&=-2-5\,s\quad &|-4+5s\\3\,s&=-6\quad &|:3\\s&=-2&\end{array}}}$
und daher
${\displaystyle \quad A=4-2\,s=4-2\cdot (-2)=8}$
Die Funktion lautet daher:

${\displaystyle y=-2\ x+8\qquad }$

Für die direkte Berechnung der Steigung s gibt es allerdings eine Formel. Es gilt:

${\displaystyle s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

wobei Δy die Differenz der y-Werte der zwei Punkte und Δx die Differenz der x-Werte ist.

In unserem Beispiel sind die Punkte ${\displaystyle P:(2|4)}$ und ${\displaystyle Q:(5|-2)}$, also die y-Werte 4 und -2 und die x-Werte 2 und 5. Die entsprechenden Differenzen sind: Δy=4 − ( − 2)=6 und Δx=2-5=-3. Daher ist die Steigung der abgebildeten linearen Funktion, die durch die Punkte P und Q geht:

${\displaystyle \textstyle s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {6}{-3}}=-2}$

Zeigen Sie, dass die Steigung s einer linearen Funktion ${\displaystyle \textstyle s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\ \ }$ist.

Wir benutzen hier 2 Punkte, wie in der entsprechenden Aufgabe mit konkreten Zahlen. Diesmal benutzen wir Symbole statt konkreten Zahlen.

${\displaystyle \quad }$ ${\displaystyle \left|{\begin{array}{lrl}P(x|y)&y&=s\ x+A\\P(x_{1}|y_{1})&y_{1}&=s\ x_{1}+A&\\P(x_{2}|y_{2})&y_{2}&=s\ x_{2}+A\\\end{array}}\right|\quad {\begin{array}{l}\\\mathbf {I} \\\mathbf {II} \end{array}}}$

Wir formen beide Gleichungen auf A um:
${\displaystyle \left({\begin{array}{rl}y_{1}&=s\cdot x_{1}+A\\y_{2}&=s\cdot x_{2}+A\\\end{array}}\right)\ {\begin{array}{l}|-s\cdot x_{1}\ \\|-s\cdot x_{2}\ \\\end{array}}}$
${\displaystyle \Leftrightarrow \left({\begin{array}{rl}y_{1}-s\ x_{1}&=\mathbf {A} \\y_{2}-s\ x_{2}&=\mathbf {A} \\\end{array}}\right)}$
Da die rechten Seiten der Gleichungen gleich sind (beide A),
sollen auch die linken gleich sein.
${\displaystyle {\begin{array}{rll}y_{1}-s\ x_{1}&=y_{2}-s\ x_{2}\quad &|-y_{1}+s\ x_{2}\\s\ x_{2}-s\ x_{1}&=y_{2}-y_{1}&|{\text{s herausheben}}\\s\ (x_{2}-x_{1})&=y_{2}-y_{1}\quad &|:(x_{2}-x_{1})\\s&={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}&\end{array}}}$
Das Symbol ${\displaystyle \ \Delta \ }$bedeutet Differenz. ${\displaystyle \Delta y=y_{2}-y_{1}\ }$und ${\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}}$, daher:
${\displaystyle \quad }$Steigung${\displaystyle \ s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

Die direkte Proportionalität ist eine lineare Funktion, deren y-Achsenabschnitt A null ist. Wenn wir für die Steigung der linearen Funktion das Symbol s und für den y-Achsenabschnitt das Symbol A, dann lautet die allgemeine Darstellung:

y= s·x + A

Wenn der y-Achsenabschnitt null ist, dann haben wir eine direkte Proportionalität:

y= s·x

Die Steigung ist in diesem Fall das Verhältnis (Quotient) zwischen abhängiger und unabhängiger Variable:

${\displaystyle {\text{s}}={\frac {\text{y}}{\text{x}}}}$

Es gibt allerdings noch einen Zusammenhang zwischen direkter Proportionalität und linearer Gleichung. Die Steigung ist das Verhältnis zwischen Änderung der unabhängigen und Änderung der abhängigen Variable:

${\displaystyle {\text{s}}={\frac {\Delta {\text{y}}}{\Delta {\text{x}}}}}$

Das bedeutet, dass eine direkte Proportionalität zwischen den beiden Änderungen besteht:

${\displaystyle {\Delta {\text{y}}}={\text{s}}\cdot {\Delta {\text{x}}}}$

Zwei Figuren sind ähnlich, wenn die eine eine Vergrößerung der andere ist. Bei Figuren mit Winkeln bedeutet das, dass entsprechende Winkel gleich bleiben, die Verhältnisse (Quotienten) der entsprechenden Seiten zu einander ebenfalls.

Wenn man das große und das kleine Dreieck im Bild hier links vergleicht, dann stellt man fest, dass alle entsprechenden Winkel gleich sind (A mit D, B mit E und C mit F). Dreieck DEF ist eine Vergrößerung des Dreiecks ABC. Nehmen wir an, dass Seite DE 1,5 mal so groß wie Seite AB ist, also DE=1,5·AB. Dann muss das gleiche ebenfalls zwischen BC und EF gelten, also EF=1,5·BC. Für die Verhältnisse (Quotienten) gilt dann:

${\displaystyle {\frac {DE}{AB}}=1,5}$ und ${\displaystyle {\frac {EF}{BC}}=1,5}$

also, die Quotienten der entsprechenden Seiten sind gleich!

Seite DE ist allerdings 1,5 mal die Seite AB, also um 50% größer als AB. Das gilt allerdings genauso für Seiten EF und BC, also EF ist 50% größer als BC. Man stellt daher fest, dass bei der Ähnlichkeit von Figuren eine direkte Proportionalität (eine lineare Funktion mit y-Achsenabschnitt gleich null) für die Längen der Seiten vorliegt: wird eine Seite größer, dann wird die andere auch und zwar um den gleichen Prozentsatz!

Die Steigung einer Gerade ist allgemein die Differenz zwei y-Werte durch die Differenz der entsprechenden x-Werte, also ein Differenzenquotient (Bild links). Da bei einem s-t Diagramm auf der y-Achse die Strecke dargestellt wird und bei der x die Zeit (Bild rechts), ergibt sich der Quotient:

Steigung: ${\displaystyle \qquad {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}}$

Der letzte Quotient ist nichts anders als die mittlere Geschwindigkeit:

${\displaystyle {\bar {v}}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}}$

Daher:

Die Steigung in einem s-t Diagramm zeigt uns die Geschwindigkeit

Im konkreten Beispiel rechts: s₁ ist zwei Einheiten, s₂ 5 Einheiten. Wenn die Einheiten der y-Achse Meter (m) sind, ist Δs=3 m. Entsprechend, wenn die Einheit auf der x-Achse Sekunde (s) ist, dann ist Δt=6 s. Die Steigung und daher auch die Geschwindigkeit ist in diesem Fall

${\displaystyle {v}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {3m}{6s}}=0,5{\frac {m}{s}}}$

Entsprechend können wir die physikalische Größe und die Einheiten der Steigung in einem v-t Diagramm finden. Da bei einem v-t Diagramm auf der y-Achse die Geschwindigkeit dargestellt wird und bei der x die Zeit (Bild rechts), ergibt sich der Quotient:

Steigung ${\displaystyle \ s={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}}$</math>

Die Steigung zeigt uns in diesem Fall eine Änderung der Geschwindigkeit, also eine Beschleunigung:

${\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta v}{\Delta t}}}$

Daher:

Die Steigung in einem v-t Diagramm zeigt uns die Beschleunigung

Im konkreten Beispiel rechts: ${\displaystyle v_{1}}$ ist 2 Einheiten, ${\displaystyle v_{2}}$ 5 Einheiten, daher, wenn die Einheiten m/s (Meter pro Sekunde) sind, ist ${\displaystyle \Delta s=3\ m/s}$, und für Sekunde als Einheit auf der x-Achse ist ${\displaystyle \Delta t=6\ s}$. Die Steigung und daher auch die Beschleunigung ist in diesem Fall:

${\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {3\ m/s}{6\ s}}=0{,}5{\frac {\ m/s}{6\ s}}=0{,}5\ m/s^{2}}$

Von diesen Beispielen wird daher klar:

Die Steigung ist eine Änderungsrate, sie zeigt wie schnell sich die Größe der y-Achse in Bezug auf die Größer der x-Achse ändert. Die Einheiten der Steigung sind daher die Einheiten der y-Achse durch die Einheiten der x-Achse.

Noch zwei Beispiele: Wenn auf der y-Achse Kraft (in Newton) dargestellt wird und auf der x Fläche (in m²), dann ist die physikalische Größe der Steigung Druck (also Kraft durch Fläche) und die Einheit Pa (Pascal, also Newton durch m²). Wenn auf der y-Achse Masse (in kg) steht und auf der x Volumen (in ${\displaystyle \ell }$), dann ist die physikalische Größe der Steigung Dichte (also Masse durch Volumen) und ihre Einheiten kg/${\displaystyle \ell }$.

Bei den Textaufgaben über lineare Funktionen wird es normalerweise zwei Konstanten geben (also zwei Zahlen). Die Einheit einer der Zahlen wird normalerweise durch eine Änderungsrate (ein Verhältnis, einen Quotient von zwei anderen Einheiten) ausgedrückt. Diese Konstante (diese Zahl mit der Einheit "etwas" pro "etwas anderes") wird die Steigung sein, also der Koeffizient der unabhängigen Variable (i.d.R ${\displaystyle x}$). Die Einheit der Steigung wird die Form Einheit A durch Einheit B haben. Die Einheit B (z.B. Sekunde oder Meter) ist die Einheit der unabhängigen Variablen (i.d.R. ${\displaystyle x}$).

Die andere Konstante wird dann der y-Achsenabschnitt sein. Die Einheit des y-Achsenabschnitts ist auch die Einheit der abhängigen Variable und auch die erwähnte Einheit A bei der Steigung. Damit haben wir alle Elemente in einem mathematischen Zusammenhang „übersetzt“.

• Beim Taxifahren ist die Grundgebühr 4€ und jede Minute kostet dann 0,5€. Stelle diesen Zusammenhang als lineare Funktion dar.

Lösung:

Hier sind zwei Zahlen angegeben: 4€ und 0,5€. Über 0,5€ ist aber auch gesagt, dass man "jede Minute" 0,5€ zahlt. Anders ausgedrückt sind es 0,5€ pro Minute. Einheit A (€) durch Einheit B (min). Das heißt, es geht um eine Änderungsrate. 0,5 soll also unsere Steigung sein. Dann ist die Grundgebühr der y-Achsenabschnitt. Die abhängige Variable wird also in € ausgedrückt (wie die Grundgebühr und die Einheit A oben in der Steigung), die unabhängige in Minuten (wie die Einheit B, die Einheit, die in der Steigung unten steht). Für beide Variablen kann man frei irgendwelche Symbole auswählen, gewöhnlich sollen sie auch sinnvoll sein, z.B. hier K für die Kosten und t für die Zeit (Englisch: time):

K(t)= 0,5 t + 4 (t in Minuten, K in €)

Man soll auch eine Entscheidung über das Vorzeichen der Steigung treffen. Das ist eher einfach. Wenn es klar ist, dass die abhängige Variable (z.B. y, hier die Kosten K) auch größer wird, wenn die unabhängige (z.B. x, hier die Zeit t) größer wird, dann ist die Steigung positiv. Bei den Kosten ist es klar, dass sie immer mehr werden, wenn die Fahrt länger dauert. Also ist die Steigung positiv.

Wenn aber es klar ist, dass die unabhängige Variable kleiner wird, wenn die unabhängige größer wird, dann ist die Steigung negativ. Schauen wir ein entsprechendes Beispiel.

• Eine Kerze mit einer Länge von 1,8 dm wird angezündet. Dabei brennt sie stündlich um ca. 0,9 cm ab. Stelle diesen Zusammenhang als lineare Funktion dar.

Hier ist 0,9 cm eine Änderungsrate, also 0,9 cm pro Stunde. 0,9 ist also die Steigung. Die Kerze wird aber immer kürzer, also wird die Steigung negativ sein. 1,8 dm wird unserer y-Achsenabschnitt sein. Wir wählen L für die Länge und t für die Zeit aus:

L(t)= - 0,9 t + 18 (t in Stunden, L in cm)

Vorsicht!

Man soll immer die Einheiten schreiben und die richtigen Einheiten benutzen.

Wenn man beispielsweise für den Abstand die Einheit Meter benutzt, muss man alle angegebene Abstände in Meter umwandeln, wenn sie nicht schon in Meter angegeben sind. Der vorsichtige Leser hat vielleicht gemerkt, dass der y-Achsenabschnitt in der Funktion 18 und nicht 1,8 ist. Wir haben erst die 1,8dm in 18cm umgewandelt! Das ist notwendig, weil die Steigung in cm (und nicht dm) pro Stunde gegeben ist. Ähnlich, wenn der Wert für die Zeit in Minuten gegeben ist, muss man sie erst in Stunden umwandeln (die Steigung ist ja pro Stunden). Darauf muss man also immer aufpassen!

Schauen wir ein etwas komplexeres Beispiel.

• Der Druck in der Atmosphäre eines Planeten ist durch eine lineare Funktion angegeben. Auf 50km Höhe ist er 3 Atm, auf 200 km 1,8 Atm. Wie viel ist der Druck

1. auf der Oberfläche des Planeten?
2. auf 300 km Höhe?
3. 50 km unterhalb der Oberfläche?

In diesem Fall muss man erst die lineare Funktion mit Hilfe der beiden Punkte finden. Der aufmerksame Leser hat vielleicht schon gesehen, dass die gegebenen Punkte hier ${\displaystyle P_{1}\ (50|3),\ \ P_{2}\ (200|1{,}8)}$ sind. Wie im vorherigen Teil gezeigt, man kann die Funktion in zwei verschiedenen Weisen finden:

Man kann das lineare Gleichungssystem lösen:

P(x|y)	x	y	y=mx+n
P(50|3)	50	3	3=m·50+n
Q(200|1,8)	200	1,8	−1,8=m·200+n

oder man kann direkt die Formel für die Steigung benutzen:

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

und dann den y-Achsenabschnitt finden.

Selbstverständlich bekommt man in beiden Fällen die gleiche Antwort:

m=-0,008 und n=3,4 also

${\displaystyle y=-0{,}008x+3,4}$

Mit Hilfe der Funktion kann man jetzt die Fragen beantworten.

• Auf der Oberfläche ist die Höhe (also der x-Wert) Null. Das ist der y-Achsenabschnitt, also 3,4 Atm
• In der zweiten Frage setzt man die 300 km für den x-Wert ein: ${\displaystyle y=-0{,}008\cdot 300+3,4=1}$, also 1 Atm.
• In der dritten Frage muss man denken, dass unterhalb der Oberfläche die Höhe negativ sein wird: ${\displaystyle y=-0{,}008\cdot (-50)+3,4=3,8}$ also 3,8 Atm.

In einem Café gibt es 8 Tische. Manche sind für 3 Personen und der Rest für 5 Personen. Insgesamt kann das Café 36 Personen bedienen. Wie viele 3 bzw. 5 Personen-Tische gibt es im Café?

Wie löst man so eine Aufgabe? Man benutzt ein sogenanntes lineares Gleichungssystem. Wir werden uns hier mit der einfachste Form eines Gleichungssystems beschäftigen, einem Gleichungssystem mit zwei unbekannten und zwei Gleichungen. Es gibt verschiedene Wege so ein System zu lösen, wir werden hier zunächst einmal einen Weg zeigen.

Hier gibt es zwei unbekannte, die Anzahl der Tische für 3 Personen und die Anzahl der Tische für 5 Personen. Wenn man in Mathematik etwas nicht kennt, benutzt man ein Symbol dafür, in der Regel ${\displaystyle x}$ (kann aber a, b, z, A₁, oder irgendwas sein). Lass uns dann mit ${\displaystyle x}$ die Anzahl der Tische für 3 Personen bezeichnen. Wir wissen nicht, ob die Anzahl der Tische für 5 Personen gleich so groß wie die Anzahl der Tische für 3 Personen ist. Daher müssen wir für die Anzahl der Tische für 5 Personen ein anderes Symbol benutzen, z.B. ${\displaystyle y}$. Also:

${\displaystyle x}$: die Anzahl der Tische für 3 Personen

${\displaystyle y}$: die Anzahl der Tische für 5 Personen

Wie schon gesagt, wir wissen nicht, wie viele Tische es für 3 oder für 5 Personen gibt. Wir wissen aber schon, dass es insgesamt 8 Tische gibt. Also die x Tische und die y Tische zusammen sind 8 Tische:

${\displaystyle x+y=8}$

Die ${\displaystyle x}$ Tische sind für 3 Personen. Wir wissen zwar nicht, wie viel ${\displaystyle x}$ ist, aber wir können sagen, dass

1 Tisch   →	(3 · 1 =)	3	Personen
2 Tische →	(3 · 2 =)	6	Personen
5 Tische →	(3 · 5 =)	15	Personen
8 Tische →	(3 · 8 =)	24	Personen also
x Tische →	(3 · x =)	${\displaystyle 3x}$	Personen

da wir x Tische haben, anstatt eine bestimmte Zahl, wie 1, 2, 5 oder 8 Tische.

In der gleichen Weise kann man sagen, dass die ${\displaystyle y}$ Tische (für 5 Personen) ${\displaystyle 5y}$ Gäste bedienen können.

Wir haben also ${\displaystyle 3x}$ Personen an den ${\displaystyle x}$ Tischen und ${\displaystyle 5y}$ Personen an den ${\displaystyle y}$ Tischen.

Wir wissen jetzt nicht, wie viel 3x oder 5y ist (das sind Personen), wir wissen aber, dass insgesamt 36 Personen bedient werden können, also:

${\displaystyle 3x+5y=36}$

Wir schreiben jetzt beide Gleichungen zusammen:

${\displaystyle x+y=8}$

${\displaystyle 3x+5y=36}$

Mit einer Gleichung können wir weder x noch y finden, wir können aber hier die erste Gleichung (am einfachsten) umformen:

${\displaystyle x=8-y}$

Da wir es wissen, dass x=8−y ist, können wir dann in der zweiten Gleichung statt x, 8−y schreiben:

${\displaystyle 3{\cancel {x}}^{(=8-y)}+5y=36}$    (x wird also durch 8-y ersetzt)

${\displaystyle 3\cdot \overbrace {(8-y)} ^{(hier\ war\ x)}+5y=36}$

Jetzt haben wir eine Gleichung mit einem Unbekannten. So was können wir schon lösen, wie wir beim Kapitel Umformen gelernt haben:

${\displaystyle 3\cdot (8-y)+5y=36}$	|Klammer auflösen
${\displaystyle 24-3y+5y=36}$	|-24 (und y zusammenrechnen)
${\displaystyle 2y=12}$	| :2
${\displaystyle y=6}$

y sind die Tische mit 5 Personen. Es gibt also 6 Tische für 5 Personen. Wie viele sind die restlichen? Wir benutzen unsere Gleichung:

${\displaystyle x=8-{\cancel {y}}^{=6}\ \ \rightarrow \ \ x=8-6=2}$

Es gibt also x=2 Tische für 3 Personen und y=6 Tische für 5 Personen. Somit haben wir die Aufgabe gelöst!

Lass uns jetzt ein paar Begriffe erklären.

Eine Gleichung ist ein mathematischer Ausdruck, der das Symbol „=“ („ist“, „gleich“ oder „ist gleich“ ausgedrückt) zumindest einmal beinhaltet und bei dem auf beide Seiten des Symbols „=“ andere mathematische Ausdrücke stehen. „6+3=“ ist noch keine Gleichung, „6+3=9“ oder „6+3=x“ oder „6+y=x“ schon.

Wenn alle Variablen in der Gleichung ohne Hochzahl oder sonst was vorkommen, dann spricht man von einer linearen Gleichung⁽¹⁾. ${\displaystyle 6+3=x}$ oder ${\displaystyle 6+y=x}$ oder ${\displaystyle \textstyle 6+5y={\frac {x}{3}}}$ sind lineare Gleichungen. ${\displaystyle 6+3=x^{2}}$, ${\displaystyle 6+3={\sqrt {x}}}$ oder ${\displaystyle \textstyle 6+5y={\frac {3}{x}}}$ hingegen nicht (letztere weil ${\displaystyle x}$ im Nenner ist).

Eine Gleichung kann keine, eine oder mehrere Variablen beinhalten. ${\displaystyle 6+3=9}$ hat keine Variable (und ist allerdings eine wahre Aussage: 6+3 ist tatsächlich 9). ${\displaystyle 6+3=x}$, ${\displaystyle 6+3=x^{2}}$, ${\displaystyle 6+3={\sqrt {x}}}$ haben eine Variable. ${\displaystyle 6+y=x}$, ${\displaystyle \textstyle 6+5y={\frac {x}{3}}}$ und ${\displaystyle \textstyle 6+5y={\frac {3}{x}}}$ haben zwei Variablen.

Wenn man zwei oder mehrere Gleichungen irgendwie verbindet, dann hat man ein Gleichungssystem. In diesem Kapitel haben wir 2 Gleichungen je mit 2 unbekannten gehabt:

${\displaystyle x+y=8}$

${\displaystyle 3x+5y=36}$

Da beide Gleichungen hier linear sind, spricht man von einem linearen Gleichungssystem. So ein System kann man in verschiedenen Wege lösen. Der Weg, den wir hier benutzt haben, nennt man Einsetzungsverfahren. Es gibt dann noch das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren (wir werden sie gleich lernen). Das Einsetzungsverfahren ist sehr wichtig (auch in anderen Wissenschaften, wie in der Physik), da man es leicht auch bei nicht lineare Gleichungssysteme anwenden kann. Dieses Thema ist von einem höheren Niveau und daher nicht in diesem Buch behandelt.

Die Zahlen (manchmal aber auch Symbole), die vor den Variablen stehen und mit diesen multipliziert werden, nennt man Koeffizienten. In der zweiten Gleichung (${\displaystyle 3x+5y=36}$) ist der Koeffizient von ${\displaystyle x}$ 3 und von ${\displaystyle y}$ 5. In der ersten Gleichung (${\displaystyle x+y=8}$) steht keine Zahl vor den Variablen. Trotzdem sagt man dann, dass der Koeffizient 1 ist (es gilt ja, dass ${\displaystyle 1\cdot x=x}$ und ${\displaystyle 1y=y}$ ist). Bei ${\displaystyle \textstyle {\frac {x}{5}}-{\frac {3y}{7}}-z+c\ v=d}$ ist der x-Koeffizient ${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$, der y-Koeffizient ${\displaystyle -{\frac {3}{7}}}$ und der z-Koeffizient ${\displaystyle -1}$. Die Symbole c und d sind in dieser Gleichung nicht Variablen (das ist aber nicht immer klar, man soll in solchen Fällen immer die Vorgaben lesen). Wenn ein Symbol benutzt wird, der eine feste Zahl (und daher keine Variable) darstellt, dann nennt man diese Symbol eine Konstante. Die Konstante c ist hier gleichzeitig der Koeffizient der Variablen v. Die Konstante d hingegen ist keiner Koeffizient.

Ein Gleichungssystem kann keine, zwei oder unendlich viele Lösungen haben. Das ist allerdings Thema eines anderen Kapitels.

Bei diesem Verfahren formt man zwei Gleichungen auf einer Variable um und setzt dann die andere Seiten beider Gleichungen gleich. Dieses Verfahren ist nur bei bestimmten einfachen Aufgaben leicht zu verwenden und daher nicht besonders zu empfehlen. Warum das so ist, kann man gleich im Beispiel des Einsetzungsverfahrens feststellen:

${\displaystyle x+y=8}$

${\displaystyle 3x+5y=36}$

Formen wir beide Gleichungen auf ${\displaystyle x}$ um:

• Die erste Gleichung geht leicht:

${\displaystyle x+y=8\quad }$ daher

${\displaystyle x=8-y}$

• Die zweite Gleichung ist etwas schwerer:

${\displaystyle 3x+5y=36}$	|-5y
${\displaystyle 3x=36-5y}$	|:3
${\displaystyle \textstyle x={\frac {36-5y}{3}}}$

Das Gleichungssystem sieht jetzt wie in Folgendem aus:

${\displaystyle {\begin{matrix}x=8-y\\x=\textstyle {\frac {36-5y}{3}}\end{matrix}}}$

Da beide Ausdrücke rechts der beiden Gleichungen gleich mit ${\displaystyle x}$ sind, sind sie auch zueinander gleich:

${\displaystyle \textstyle {\frac {36-5y}{3}}=8-y}$

Jetzt haben wir eine Gleichung mit einer Unbekannte, was man mit Umformen lösen kann:

${\displaystyle \textstyle {\frac {36-5y}{3}}=8-y}$	|⋅3
${\displaystyle 36-5y=3(8-y)}$	|(Klammer auflösen)
${\displaystyle 36-5y=24-3y}$	|−36+3y
${\displaystyle -2y=-12}$	|:(−2)
${\displaystyle y=6}$

und daher

${\displaystyle x=8-y=8-6=2}$

Die Antwort ist:

${\displaystyle x=2}$ und ${\displaystyle y=6}$

also genau wie vorher, wie es zu erwarten war.

Das Additionsverfahren (auch Eliminationsverfahren genannt) ist wichtig, weil es das einfachste bei komplizierteren Gleichungssystemen ist, z.B. mit mehreren Gleichungen und Variablen. Solche größere Gleichungssysteme kommen vor allem in Physik und Mathematik vor. Wie das Verfahren funktioniert kann man am Besten durch ein Beispiel verstehen.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2x+3y=11\\7x+2y=-4\end{Bmatrix}}}$

Nehmen wir hier die Variable ${\displaystyle y}$ (man kann aber genauso die Variable ${\displaystyle x}$ benutzen). Der y-Koeffizient in der ersten Gleichung ist 3 und in der zweiten 2. Wenn wir den ersten Koeffizient mit 2 multiplizieren und den zweiten mit -3 bekommen wir 6 und ihre Gegenzahl -6. Wenn wir beide Seiten der ersten Gleichung mit 2 multiplizieren, dann haben wir auf beiden Seiten das Gleiche gemacht und beide Seiten werden weiter gleich bleiben (siehe Gegenrechnungen). Ebenfalls wenn wir beide Seiten der zweiten Gleichung mit -3 multiplizieren, bleiben beide Seiten dieser Gleichung gleich:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{Bmatrix}2x+3y=11&\\7x+2y=-4&\end{Bmatrix}}&{\begin{matrix}\quad |\cdot 2\\\quad \quad |\cdot (-3)\end{matrix}}\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4x+6y=22\\-21x-6y=12\end{Bmatrix}}}$

Wenn wir jetzt die Summe der linken Seiten und die Summe der rechten Seiten beider Gleichungen berechnen, werden die Ergebnisse gleich sein:

${\displaystyle 4x+6y-21x-6y=22+12}$

${\displaystyle -17x=34}$

Zauberei! Jetzt haben wir nur eine Gleichung mit einem Unbekannten, die wir sofort lösen können!

${\displaystyle -17x=34\qquad |:(-17)}$

${\displaystyle x=-2}$

Wenn wir jetzt eine der beiden Anfangsgleichungen nehmen, können wir auch y berechnen. Nehmen wir die erste:

${\displaystyle 2{\cancel {x}}^{(=-2)}+3y=11}$ (x ist -2, wie wir gerade berechnet haben)

${\displaystyle 2\cdot \overbrace {(-2)} ^{(=x)}+3y=11}$

${\displaystyle -4+3y=11\qquad }$|+4

${\displaystyle 3y=15\qquad }$|:3

${\displaystyle y=5}$

Die Lösung des Gleichungssystems lautet daher:

${\displaystyle x=-2}$ und ${\displaystyle y=5}$

Tatsächlich kann man diese Werte in beiden Gleichungen einsetzen und feststellen, dass das Ergebnis stimmt. Ersetzen wir in beiden Gleichungen x durch -2 und y durch 5, dann bekommen wir eine wahre Aussage:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2{\cancel {x}}^{(=-2)}+3{\cancel {y}}^{(=5)}=11\\7{\cancel {x}}^{(=-2)}+2{\cancel {y}}^{(=5)}=-4\end{Bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{Bmatrix}2(-2)+3\cdot 5=11\\7(-2)+2\cdot 5=-4\end{Bmatrix}}&&{\begin{matrix}_{({\text{tatsächlich }}-4+15=11)!}\qquad \\_{({\text{tatsächlich }}-14+10=-4)!}\quad \ \ \end{matrix}}\end{matrix}}}$

Es gibt kein anderes Zahlenpaar, der beide Gleichungen richtig löst, also die Lösung ist eindeutig! Ist es aber immer so? Das ist das Thema des nächsten Unterkapitels.

Im Kapitel über lineare Funktionen wird erklärt, wie man in einem Koordinatensystem eine lineare Funktion mit Hilfe von zwei Punkten zeichnen kann (zwei Punkte sind eine hinreichende und notwendige Voraussetzung, um eine lineare Funktion zu definieren; daher reichen zwei Punkte um die Funktion zu zeichnen). Nehmen wir die erste Funktion vom folgendem Gleichungssystem:

${\displaystyle x+y=8}$	(Funktion A)
${\displaystyle 3x+5y=36}$	(Funktion B)

• 
  Funktion A
• 
  Funktion B
• 
  Funktion A und B

Man kann zwei Punkte für die Funktion finden, indem man willkürlich Werte für x angibt und die entsprechenden Werte für y findet. Für ${\displaystyle x=0}$ ist:

${\displaystyle x+y=8}$ → ${\displaystyle y=8-x}$ → ${\displaystyle y=8-0}$ → ${\displaystyle y=8}$.

Für ${\displaystyle x=1}$ ist:

${\displaystyle x+y=8}$ → ${\displaystyle y=8-x}$ → ${\displaystyle y=8-1}$ → ${\displaystyle y=7}$.

Wir haben also zwei Punkte der Funktion A: ${\displaystyle P_{A1}(0|8)}$ und ${\displaystyle P_{A2}(1|7)}$. Diese Punkte können wir dann im Koordinatensystem zeichnen und auch die Gerade, die der Funktion ${\displaystyle x+y=8}$ entspricht, wie im Bild „Funktion A“.

Entsprechend kann man Punkte für die Funktion B finden. Für ${\displaystyle x=0}$ ist:

${\displaystyle 3x+5y=36}$ → ${\displaystyle 5y=36-3x}$ → ${\displaystyle 5y=36-3\cdot 0}$ → ${\displaystyle 5y=36}$ → ${\displaystyle y=7{,}2}$.

Für ${\displaystyle x=1}$ ist :

${\displaystyle 3x+5y=36}$ → ${\displaystyle 5y=36-3x}$ → ${\displaystyle 5y=36-3\cdot 1}$ → ${\displaystyle 5y=33}$ → ${\displaystyle y=6{,}6}$.

Wir haben also zwei Punkte der Funktion B: ${\displaystyle P_{B1}(0|7{,}2)}$ und ${\displaystyle P_{B2}(1|6{,}6)}$. Diese Punkte können wir dann im Koordinatensystem zeichnen und auch die Gerade, die der Funktion ${\displaystyle 3x+5y=36}$ entspricht, wie im Bild „Funktion B“.

Wenn wir jetzt beide Funktionen in einem Koordinatensystem zeichnen, dann bekommen wir das Bild „Funktion A und B“. Da kann man klar sehen, dass die Funktionen einander an einem einzigen Punkt schneiden, den Punkt ${\displaystyle L(2|6)}$. Dieser Punkt ist die Lösung des Gleichungssystems der Funktionen A und B. Leider kann man i.d.R. den ${\displaystyle x}$- und den ${\displaystyle y}$-Wert nicht genau ablesen, daher ist diese Methode nicht so genau, wie die drei Verfahren der vorherigen Absätzen.

Wir haben in den vorherigen Absätzen folgende Gleichungssysteme gelöst:

Gleichungssystem A		Gleichungssystem B
${\displaystyle x+y=8}$		${\displaystyle 2x+3y=11}$
${\displaystyle 3x+5y=36}$		${\displaystyle 7x+2y=-4}$

Die Lösung des ersten linearen Gleichungssystems war ${\displaystyle x=2}$ und ${\displaystyle y=6}$, des zweitens ${\displaystyle x=-2}$ und ${\displaystyle y=5}$. Geht es aber immer, dass ein Gleichungssystem eine Lösung hat? Die Antwort ist nein. Probieren wir das folgendes Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren zu lösen:

Gleichungssystem C
${\displaystyle x+2y=8}$
${\displaystyle 2x+4y=8}$

Lösung

${\displaystyle x+2y=8\qquad }$ → ${\displaystyle x=8-2y}$

${\displaystyle 2x+4y=8\qquad }$ → ${\displaystyle 2(8-2y)+4y=8\qquad }$ → ${\displaystyle 16-4y+4y=8\qquad }$ → ${\displaystyle 16=8\quad }$!

Man sagt, dass die Aussage am Ende falsch ist. ${\displaystyle 16}$ ist doch nicht gleich ${\displaystyle 8}$! Das bedeutet, dass die beiden Gleichungen, die wir im Gleichungssystem haben (${\displaystyle x+2y=8}$ und ${\displaystyle x+2y=8}$), nicht gleichzeitig erfüllt werden können. Man sagt, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat.

Es gibt allerdings noch eine Möglichkeit. Das Gleichungssystem kann unendlich viele Lösungen haben, wie im folgenden Beispiel:

Gleichungssystem D
${\displaystyle x+2y=8}$
${\displaystyle 3x+6y=24}$

Lösung

${\displaystyle x+2y=8\qquad }$ → ${\displaystyle x=8-2y}$

${\displaystyle 3x+6y=24\qquad }$ → ${\displaystyle 3(8-2y)+6y=24\qquad }$ → ${\displaystyle 24-6y+6y=24\qquad }$ → ${\displaystyle 24=24}$

Man sagt, dass die Aussage am Ende immer wahr ist. Egal wie viel ${\displaystyle x}$ ist, die beiden Gleichungen werden immer gelten. Man soll doch etwas vorsichtig sein. Wenn ${\displaystyle y=3}$ ist, dann ist ${\displaystyle x=2}$ (erste Gleichung ${\displaystyle x+2y=8\quad }$ → ${\displaystyle x=8-2y\quad }$ → ${\displaystyle x=8-2\cdot 3\quad }$ → ${\displaystyle x=2}$). Wenn ${\displaystyle y=1}$ ist, dann ist ${\displaystyle x=6}$ (erste Gleichung ${\displaystyle x+2y=8\quad }$ → ${\displaystyle x=8-2y\quad }$ → ${\displaystyle x=8-2\cdot 1\quad }$ → ${\displaystyle x=6}$). Für jedes ${\displaystyle x}$ gibt es ein bestimmtes ${\displaystyle y}$ und umgekehrt.

Allerdings gilt genau das Gleiche in der zweiten Gleichung: Wenn ${\displaystyle y=3}$ ist, ist ${\displaystyle x=2}$ (${\displaystyle 3x+6y=24\quad }$ → ${\displaystyle 3x+6\cdot 3=24\quad }$ → ${\displaystyle 3x=6\quad }$ → ${\displaystyle x=2}$). Wenn ${\displaystyle y=1}$ ist, dann ist ${\displaystyle x=6}$ (${\displaystyle 3x+6y=24\quad }$ → ${\displaystyle 3x+6\cdot 1=24\quad }$ → ${\displaystyle 3x=18\quad }$ → ${\displaystyle x=6}$). Egal welchen Wert man für ${\displaystyle y}$ benutzt, wird es für beide Gleichungen der gleiche Wert für ${\displaystyle x}$ als Lösung gelten (und umgekehrt). Es gilt nicht, dass alle Wertepaare (alle Punkte auf der Ebene) Lösungen des Gleichungssystems sind, sondern dass alle Lösungen der einen Gleichung auch Lösungen der anderen Gleichung sind.

Das war allerdings nicht der Fall, als wir eine Lösung des Gleichungssystems hatten (und auf gar keinen Fall, als wir keine Lösung hatten). Nehmen wir beispielsweise das Gleichungssystem A:

${\displaystyle x+y=8}$

${\displaystyle 3x+5y=3}$6

Da haben wir als Lösung ${\displaystyle x=2}$ und ${\displaystyle y=6}$ gefunden. Diese Lösung gilt gleichzeitig für beide Gleichungen. Tatsächlich wenn ${\displaystyle x=2}$ ist, dann gilt für die erste Gleichung (${\displaystyle x+y=8\quad }$ → ${\displaystyle y=8-x\quad }$ → ${\displaystyle y=8-2\quad }$ →) ${\displaystyle y=6}$ aber auch für die zweite Gleichung (${\displaystyle 3x+5y=36\quad }$ → ${\displaystyle 3\cdot 2+5y=36\quad }$ → ${\displaystyle 5y=30\quad }$ →) ${\displaystyle y=6}$. Wenn aber ${\displaystyle x=3}$, dann gilt für die erste Gleichung (${\displaystyle x+y=8\quad }$ → ${\displaystyle y=8-x\quad }$ → ${\displaystyle y=8-3\quad }$ →) ${\displaystyle y=5}$. Für die zweite Gleichung hingegen gilt in diesem Fall: (${\displaystyle 3x+5y=36\quad }$ → ${\displaystyle 3\cdot 3+5y=36\quad }$ → ${\displaystyle 5y=27\quad }$ →) ${\displaystyle y=5{,}4}$. Die beiden Gleichungen haben den gleichen Wert für y(den Wert 6), nur wenn ${\displaystyle x=2}$ ist. Man sagt, dass Gleichungssystem A und B eine Lösung haben, Gleichungssystem C keine und Gleichungssystem D unendlich viele Lösungen haben.

Ein lineares Gleichungssystem kann keine, eine oder unendlich viele Lösungen haben.

Viel besser kann man das Ganze verstehen, wenn man die graphischen Lösungen betrachtet.

• 
  Gleichungssystem A
• 
  Gleichungssystem B
• 
  Gleichungssystem C
• 
  Gleichungssystem D

Im Gleichungssystem A gibt es nur ein Wertepaar, das für beide Funktionen stimmt: ${\displaystyle L_{A}(2|6)}$. Wenn ${\displaystyle x=2}$ ist, dann ist ${\displaystyle y=6}$ für beide Funktionen. Für jeden anderen Wert von x stimmt der Wert von y nicht mehr überein. Beispielsweise für ${\displaystyle x=-3}$ ist für die Funktion ${\displaystyle x+y=8\quad y=11}$ und für die Funktion ${\displaystyle 3x+5y=36\quad y=9}$. Es gibt nur ein Wertepaar, das für beide Funktionen eine Lösung ist, und dieses Wertepaar (also der Punkt ${\displaystyle L_{A}(2|6)}$) ist die Lösung des Gleichungssystems.

Entsprechend hat auch das Gleichungssystem B nur eine Lösung, den Punkt (Wertepaar) ${\displaystyle L_{B}(-2|5)}$, wie man eindeutig im entsprechenden Bild auch sehen kann. Das ist allerdings nicht der Fall für das Gleichungssystem C. Da laufen die Darstellungen der Funktionen im Koordinatensystem (die Geraden sind) parallel zueinander, sie treffen einander nie. Sie haben daher keinen gemeinsamen Punkt und das Gleichungssystem hat daher keine Lösung (man sagt, dass die Lösung die leere Menge ist). Im Gleichungssystem D hingegen sind alle Punkte der einen Funktion auch Punkte der anderen. Alle Wertepaare, die zu diesen Funktionen gehören, sind daher auch Lösungen des Gleichungssystems D. Das System hat somit unendlich viele Lösungen. Beide Funktionen sind in diesem Fall unterschiedliche Darstellungen der gleichen Funktion. Tatsächlich, wenn man beide Seiten der zweiten Funktion (des Systems D) durch 3 dividiert, bekommt man die erste Funktion:

${\displaystyle 3x+6y=24\qquad |:3\qquad \rightarrow \qquad x+y=8}$.

Ein Problem ist lösbar, wenn es möglich ist, es zu lösen. Es gibt in der Mathematik einige Probleme, bei denen es bewiesen wurde, dass sie nicht lösbar sind (beispielsweise die Klassische Probleme der antiken Mathematik). Bei linearen Gleichungssystemen bezieht sich die Frage der Lösbarkeit auf die Anzahl der möglichen Lösungen des Systems, also ob das System keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat. Um das herauszufinden, kann man selbstverständlich versuchen, das System tatsächlich zu lösen. Es gibt aber auch einen anderen Weg. Hier wird beschrieben, wie man mit Systemen mit zwei Gleichungen und zwei unbekannten arbeitet. Für komplizierteren Systemen braucht man Matrizentheorie (Thema eines Universitätsstudiums).

Man soll zuerst beide Gleichungen in die sogenannte explizite Form umformen, also in der Form, in der y allein auf der linken Seite steht. Nehmen wir die Gleichungssysteme A, C und D des vorherigen Absatzes:

Gleichungssystem A		Gleichungssystem C		Gleichungssystem D
${\displaystyle x+y=8}$		${\displaystyle x+2y=8}$		${\displaystyle x+2y=8}$
${\displaystyle 3x+5y=36}$		${\displaystyle 2x+4y=8}$		${\displaystyle 3x+6y=24}$

In der expliziten Form sehen diese Systeme wie im Folgenden aus:

Gleichungssystem A		Gleichungssystem C		Gleichungssystem D
${\displaystyle y=-x+8}$		${\displaystyle \textstyle y=-{\frac {x}{2}}+4}$		${\displaystyle \textstyle y=-{\frac {x}{2}}+4}$
${\displaystyle y=-0{,}6x+7{,}2}$		${\displaystyle \textstyle y=-{\frac {x}{2}}+2}$		${\displaystyle \textstyle y=-{\frac {x}{2}}+4}$

Bei System A ist die Steigung unterschiedlich (-1 in der ersten Gleichung und -0,6 in der zweiten).

Wenn die Steigung der beiden linearen Funktionen unterschiedlich ist, dann hat das System mit Sicherheit genau eine Lösung.

Bei den Systemen C und D ist die Steigung überall die Gleiche (${\displaystyle \textstyle -{\frac {1}{2}}}$). Im System C haben die Gleichungen einen anderen y-Achsenabschnitt (+4 und +2). Im System D ist hingegen auch der y-Achsenabschnitt der beiden Gleichungen der gleiche (+4)

Wenn die Steigung der beiden linearen Funktionen die gleiche ist, gibt es zwei Möglichkeiten:

• Ist der y-Achsenabschnitt unterschiedlich, dann gibt es keine Lösung.

• Ist der y-Achsenabschnitt der gleiche, dann gibt es unendlich viele Lösungen.

Im Kapitel über das Einsetzungsverfahren haben wir uns mit einer Textaufgabe beschäftigt. Dort haben wir schon gelernt, wie Textaufgaben zu lösen sind. Die Aufgabe war:

In einem Café gibt es 8 Tische. Manche sind für 3 Personen und der Rest für 5 Personen. Insgesamt kann das Café 36 Personen bedienen. Wie viele 3 bzw. 5 Personen-Tische gibt es im Café?

Schauen wir die Denkweise genauer an. Die Anzahl der Tische ist bekannt, als auch die der Personen insgesamt. Was ist hier unbekannt (und letztendlich auch gefragt)? Wie viele Tische für 5 Personen und wie viele für 3 Personen es gibt. Für die Unbekannten in jedem mathematischem Problem benutzt man irgendwelche Symbole. Wir haben x und y benutzt, dass könnte aber genauso a und b, oder m und n, oder f und d oder irgendwas anders sein. Wichtig: Es gibt zwei Unbekannte, wir müssen also zwei verschiedenen Symbole dafür benutzen. Wenn es drei Unbekannte gibt, dann soll mal drei unterschiedlichen Symbole benutzen usw. (wie werden uns aber hier nur mit Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten beschäftigen).

Am Anfang muss man definieren, was jedes Symbol darstellt. In dieser Aufgabe haben wir gesagt, dass die Tische für 3 Personen und y die Tische für 5 Personen sind:

x: die Tische für 3 Personen

y: die Tische für 5 Personen

Dieser Schritt sollte nicht so schwer sein. Man gibt einfach Namen (Symbole) für die unbekannten Sachen. Beim nächsten Schritt haben viele Menschen die größten Schwierigkeiten. Dabei ist die Sache nicht wirklich so schwer. Man soll das Problem vorsichtig lesen und den Text in die mathematische Sprache umsetzen. Dafür muss man nicht den ganzen Text verstehen, sondern auf Schlüsselworte beachten. In dieser Aufgabe steht, dass es 8 Tische gibt. Auch wenn man nicht wüsste, was ein Tisch ist, kann man schon schreiben, dass die Tische zusammen 8 sind. Welche Rechenart steht in Mathematik für zusammen? Die Addition. Also:

x+y=8

Wir haben zwei Unbekannte, also wir brauchen zwei Gleichungen, um die Aufgabe eindeutig zu lösen. Die zweite Gleichung zu erzeugen war in dieser Aufgabe nicht so leicht. Wir haben gesagt: Wenn es 2 Tische für 3 Personen gibt, dann sitzen an diesen Tischen 2⋅3=6 Personen, es 5 Tische für 3 Personen gibt, dann sitzen an diesen Tischen 5⋅3=15 Personen usw. Man merkt, dass damit wir die Personen berechnen, die Anzahl der Tische mit der Anzahl der Personen pro Tisch (hier 3 Personen pro Tisch) multiplizieren müssen. Wir wissen aber nicht, wie viele Tische für drei Personen es gibt. Wir haben aber doch ein Symbol dafür benutzt: das sind x Tische. Dieses Symbol muss man also mit der Anzahl der Personen pro Tisch (hier 3) multiplizieren, um durch einen Term zu zeigen, wie viele Personen an diesen Tischen sitzen können: 3x! Dass ist (noch) nicht eine bestimmte Zahl, das sind aber doch die Personen die an diesen x Tischen sitzen können. Entsprechend können an den y Tischen für 5 Personen insgesamt 5y Personen sitzen (Anzahl der Tische y mal Personen pro Tisch, hier 5). In der Aufgabe steht, dass das Café insgesamt 36 Personen bedienen kann. Also die Anzahl der Personen, die an den zwei Tischkategorien (eine Kategorie die 3-Personen Tische, zweite Kategorie die 5-Personen Tische) sitzen können ist insgesamt 36 Personen. Welche Rechenart wird hier angedeutet? Wieder Addition. Die Personen der beiden Kategorien zusammen (also plus) sind 36:

3x+5y=36

Wir haben also zwei Gleichungen und zwei Unbekannte.

x+y=8

3x+5y=36

Jetzt kann man eine der dargestellten Wege benutzen, um x und y herauszufinden. In unserem Beispiel haben wir das Ersetzungsverfahren benutzt.

Erzeugen wir das Gleichungssystem für noch ein paar Textaufgaben:

Iris ist 2,5 mal älter als ihr Bruder Andreas. Zusammengezählt sind ihre Altersjahren 14. Wie viele Jahren alt sind die beiden Geschwister?

Gefragt sind die Lebensalter der beiden Geschwister. Wir schreiben mit i das Lebensalter von Iris und mit a von Andreas. Iris ist 2,5 mal älter und zusammen sind die Jahre 18:

i=2,5⋅a     und     i+a=14

Dieses System lässt sich sehr leicht durch das Ersetzungsverfahren lösen. Wir ersetzen i in der zweiten Gleichung durch 2,5a (da i=2,5a, wie es schon in der ersten Gleichung steht):

i+a=18 → 2,5a+a=14 → 3,5a=14 (:3,5) → a=4 und sofort i=2,5a=2,5⋅4 → i=10 (also tatsächlich i+a=14)

Die Summe des Fünffachen einer Zahl und 4 ist so viel wie eine andere Zahl um 1 reduziert. Die Differenz des dreifachen der zweiten Zahl und 43 ist so viel wie die erste Zahl um 14 erhöht. Berechnen sie die Zahlen.

Viele finden solche Aufgaben extrem schwer. Dabei muss man einfach Schritt für Schritt vorgehen. Erst gibt man Symbole für die zwei unbekannten Zahlen.

e ist die erste Zahl

z ist die zweite Zahl

Gehen wir Schritt für Schritt vor:

Die Summe des Fünffachen einer Zahl.... Die erste Zahl haben wir e genannt. Das fünffache bedeutet 5e. Über die Summe wissen wir noch nichts, außer dass der erste Summand 5e sein wird.

Die Summe des Fünffachen einer Zahl und 4.... Hier erkennen wir den zweiten Summand: 4. Also bisher haben wir: 5e+4

Die Summe des Fünffachen einer Zahl und 4 ist so viel wie.... ...ist so viel wie in der mathematische Sprache umgesetzt ist nichts mehr und nichts mehr als das Symbol für gleich (=). Also bisher haben wir: 5e+4=

Die Summe des Fünffachen einer Zahl und 4 ist so viel wie eine andere Zahl um 1 reduziert. Die zweite (die "andere") Zahl haben wir z genannt und sie wird um 1 reduziert also z−1. Bisher haben wir: 5e+4=z−1 Hier endet der erster Satz. Wir haben also schon unsere erste Gleichung!

5e+4=z-1

Fangen wir jetzt mit dem zweiten Satz an: Die Differenz des dreifachen der zweiten Zahl.... Über die Differenz kenne wir nur den Minuend. Er ist das dreifache der zweiten Zahl. Die zweite Zahl haben wir z genannt, also ist ihr Dreifaches 3z. Bisher haben wir daher: 3z−...

Die Differenz des dreifachen der zweiten Zahl und 43 Jetzt haben wir auch den Subtrahend der Differenz: 3z−43

Die Differenz des dreifachen der zweiten Zahl und 43 ist so viel wie ...ist so viel wie bedeutet ist gleich: 3z−43=

Die Differenz des dreifachen der zweiten Zahl und 43 ist so viel wie die erste Zahl um 14 erhöht Die erste Zahl ist e und sie wird um 14 erhöht (also plus 14): 3z−43=e+14. Wir haben jetzt auch die zweite Gleichung! Das Gleichungssystem lautet:

5e+4=z−1

3z−43=e+14

Dieses System kann man dann mit einem der präsentierten Verfahren lösen. Die Antwort ist e=3 und z=20, wie man überprüfen kann:

5⋅3+4=20−1    ✔    und

3⋅20−43=3+14    ✔

Viele Menschen denken, dass solche Aufgaben schwer wären. Wie man hier sieht, wenn man die Aufgabe Schritt für Schritt löst, ist es nicht so schwer. Das braucht einfach etwas Konzentration, ist aber durchaus fast für jeden möglich.

In einer Flups gibt es 37 Tröpats. Manch davon haben 4 Hupals, die restlichen 7 Hupals. Die Flups beihaltet damit 190 Hupals. Wie viele Tröpats mit 4 bzw. 7 Hupals gibt es?

Man mag hier fragen, was zum Teufel Flups, Tröpats und Hupals sind. Meine Antwort ist dann eine weitere Frage: Ist diese Kenntnis für die Lösung der Aufgabe notwendig? Die Antwort ist ganz einfach NEIN! Wenn in einer Prüfungssituation jemand eine unbekanntes Wort trifft, soll man erst entscheiden, ob dieses Wort für die Lösung wichtig ist, sonst verliert man Zeit, die für eine Prüfung i.d.R. sehr wichtig ist. Ziel dieser Aufgabe ist darauf aufmerksam zu machen. In der Aufgabe wird NICHT gefragt, was Flups usw sind. Ḿan braucht es daher auch nicht wissen. Wichtig sind nur Schlüsselworte und -phrasen, wie z.B. In... gibt es, was darauf hinweist, dass die Tröpats insgesamt 37 sind. Der erste Schritt ist für jede Unbekannte ein Symbol einzusetzen. Wenn v die Tröpats mit 4 Hupals sind und s die Tröpats mit 7 Hupals, dann haben wir die erste und die zweite Gleichung, genau wie im ersten Beispiel in diesem Teilkapitel:

v+s=37

4v+7s=190

Das System kann man dann in einer beliebige Weise lösen. Die Antwort ist 23 Tröpats mit 4 Hupals und 14 Tröpats mit 7 Hupals (was das auch immer sein könnte ).

• Arbeiten mit Figuren und Körpern: Klasse 3
• den Lehrsatz des Pythagoras für Berechnungen in ebenen Figuren und in Körpern nutzen können,
• eine Begründung des Lehrsatzes des Pythagoras verstehen,
• Berechnungsmöglichkeiten mit Variablen darstellen können;
• Schranken für Umfang und Inhalt des Kreises angeben können,
• Formeln für die Berechnung von Umfang und Flächeninhalt des Kreises wissen und anwenden können,
• Formeln für die Länge eines Kreisbogens und für die Flächeninhalte von Kreisteilen herleiten und anwenden können;
• Formeln für die Berechnung der Oberfläche und des Volumens von Drehzylindern und Drehkegeln sowie für die Kugel erarbeiten und nutzen können.

• Umformen in der ebenen Geometrie: Klasse 3

Abstrakt umformen bedeutet hier, Umformungen nur (oder fast nur) mit Symbolen durchzuführen. Wir haben z.B. eine Formel für die Berechnung der Fläche eines Kreises, wenn sein Radius bekannt ist, aber wie sollte umgekehrt allgemein der Radius berechnet werden, wenn die Fläche gegeben ist?

Wir finden die Figur (hier Kreis) in der Formelsammlung und fangen mit der Formel der gegebenen Eigenschaft (hier Fläche) an:

${\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}}$

Wir brauchen eine Formel für den Radius, also das entsprechende Symbol (r) muss am Ende allein bleiben. Der erste Schritt in diesem Beispiel dafür, wäre das π von der rechten auf die linke Seite zu bringen:

${\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}\quad |:\pi }$

${\displaystyle {\frac {A}{\pi }}=r^{2}}$

Wir haben hier die Gegenrechnung von mal benutzt (also Division). Die Gegenrechnung fürs Quadrat ist Wurzel ziehen, das wird unser nächster Schritt sein:

${\displaystyle {\frac {A}{\pi }}=r^{2}\quad |{\sqrt {x}}}$

${\displaystyle {\sqrt {\frac {A}{\pi }}}=r}$

Seiten in einer Gleichung kann man selbstverständlich umtauschen, also:

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$

Diese ist also die allgemeine Formel für die Berechnung des Radius eines Kreises, wenn seine Fläche gegeben ist.

Noch ein Beispiel für die Berechnung der Länge a eines Rechtecks, wenn sein Umfang u und die Breite b gegeben sind:

${\displaystyle u=2a+2b\quad |-2b}$

${\displaystyle u-2b=2a|:2}$

${\displaystyle {\frac {u-2b}{2}}=a\quad }$ also

${\displaystyle a={\frac {u-2b}{2}}}$

In diesem Fall müssen wir selbstverständlich darauf aufpassen, dass die Einheiten übereinstimmen.

• Satz von Pythagoras: Klasse 3

• 
  Kreis
• 
  Kreisteile
• 
  Kreisring

Ein Kreis ist die Menge aller Punkten, die von einem Punkt M (Mittelpunkt genannt) den gleichen Abstand r (Radius genannt) haben. Formeln: u=2πr, A=πr². r ist der Radius. Hier wird mit d der Durchmesser bezeichnet. π ist eine Zahl (wie 2 oder 5,632), mit dem Unterschied, dass man diese Zahl (π) nicht genau angeben kann. π ist ungefähr 3,14159... Sie ist das Verhältnis (also der Bruch) des Umfangs zum Durchmesser ${\displaystyle \textstyle ({\boldsymbol {\pi }}={\frac {\boldsymbol {u}}{\boldsymbol {d}}})}$.

Schneidet man einen Kreis wie einen Torten-schnitt (also zwei Schnitte von Mittelpunkt aus bis am Rand), dann hat man einen Kreissektor. Schneidet man ein Stück mit einer Strecke von einem zu einem anderen Punkt des Kreises, hat man ein Kreissegment. Im Bild steht für den Bogen das englische Wort "arc". Schneidet man von der Mitte eines Kreises einen kleineren Kreis mit den selben Mittelpunkt ab, dann bekommt man ein Kreisring.

• Raumgeometrie: Klasse 3

• 
  Zylinder
• 
  Zylindernetz
• 
  Ein klappbarer (fast) zylinderförmiger Hut

Definition

Eine geschlossene Raumfigur, die durch Parallelverschiebung einer ebenen runden Figur (z.B. eines Kreises oder einer Ellipse) entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht, nennt man allgemeinen Zylinder. Das Wort Zylinder allein wird i.d.R. für den Körper benutzt, der durch Parallelverschiebung eines Kreises entsteht. Die Höhe ist der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche.

Formeln (für einen geraden Kreiszylinder)

Mit ${\displaystyle h}$ wird hier die Höhe, mit ${\displaystyle r}$ der Radius der Grundfläche ${\displaystyle \ A_{G}\ }$ bezeichnet (wie im Bild), ${\displaystyle \ A_{M}\ }$ ist die Mantelfläche:

Volumen: ${\displaystyle V=\pi r^{2}\ h}$

Oberfläche: ${\displaystyle A_{O}=2\ A_{G}+A_{M}=2\pi r^{2}+2\pi r\ h=2\pi r(r+h)}$

• 
  Gerader Kegel
• 
  Kegelnetz
• 
  Spielkegel ^[1]

1. ↑ (die allerdings nicht die Form eines Kegels haben...)

Definition

Wenn man alle Punkte des Umfangs einer runden ebenen Figur mit einem Punkt (genannt „Spitze“ oder „Scheitel“) außerhalb der Figurebene verbindet, entsteht die Grenzfläche eines (allgemeinen) Kegels. Die runde Figur ist dann die Grundfläche und die Fläche, die durch die Verbindung des Punktes mit dem Umfang entsteht, ist der Mantel. Wenn die runde ebene Figur ein Kreis ist, dann spricht man von einem Kreiskegel (in der Schulmathematik oft einfach Kegel genannt). Höhe ist der Abstand zwischen Spitze und Grundfläche. Mit s bezeichnet man die „Mantellinie“ bei einem geraden Kegel.

Formeln (für einen geraden Kegel)

Mit ${\displaystyle h}$ wird hier die Höhe, mit ${\displaystyle r}$ der Radius der Grundfläche ${\displaystyle \ A_{G}\ }$ bezeichnet (wie im Bild), ${\displaystyle \ A_{M}\ }$ ist die Mantelfläche:

Volumen: ${\displaystyle \textstyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}\ h}$

Oberfläche: ${\displaystyle A_{O}=A_{G}+A_{M}=\pi r^{2}+2\pi r\ s=\pi r(2r+s)}$

(wobei s die sogenannte „Mantellinie“ ${\displaystyle s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ ist)

• 
  Kugel
• 
  Kugel mit Längen- und Breitenkreisen
• 
  Die Erde mit Längen- und Breitenkreisen
• 
  Kugelförmige Murmeln
• 
  Gewehrkugel^[1]
• 
  Ein kugelförmiger Basketball
• 
  Flächentreue Projektion der Erde^[2]

1. ↑ (die allerdings nicht kugelförmig sind)
2. ↑ (die allerdings nicht winkeltreu ist)

Für einen Kugel kann man nicht ein Netz auf einer Ebene zeichnen (nur näherungsweise), was der berühmte Mathematiker und Physiker Carl Friedrich Gauß bewiesen hat.

Definition

Eine Raumfigur mit einer Grenzfläche, deren Punkte alle von einem Punkt in der Mitte der Raumfigur (Mittelpunkt genannt) den gleichen Abstand haben (Radius genannt), nennt man Kugel.

Formeln

Mit ${\displaystyle r}$ wird der Radius bezeichnet (wie im Bild).

Volumen: ${\displaystyle \textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$

Oberfläche: ${\displaystyle A_{O}=4\pi r^{2}}$

• Arbeiten mit Modellen, Statistik: Klasse 3
• Wachstums- und Abnahmeprozesse mit verschiedenen Annahmen unter Zuhilfenahme von elektronischen Rechenhilfsmitteln untersuchen können,
• funktionale Abhängigkeiten untersuchen und darstellen;
• Untersuchen und Darstellen von Datenmengen unter Verwendung statistischer Kennzahlen (zB. Mittelwert, Median, Quartil, relative Häufigkeit, Streudiagramm).

• Prozentrechnung: Klasse 3

Bevölkerungswachstum

• China hatte im Jahr 1966 eine Bevölkerungsgröße von circa 750 Millionen Menschen. Das jährliche Wachstum lag bei circa 2,5%. Wie groß wäre die Bevölkerung im Jahr 2016, wenn das Wachstum gleich geblieben wäre? Was wären die Ergebnisse eines solchen Wachstums?

Zwischen 1966 und 2016 liegen 50 Jahre. Berechnen wir Schritt für Schritt die Bevölkerung für die ersten drei Jahre mit Hilfe der Schlussrechnung (direkte Proportionalität):

Der Anfangswert (Jahr 1966) ist 750 Millionen (100%). In einem Jahr ist die Bevölkerung um 2,5% gewachsen, also im Jahr 1967 wäre die Bevölkerung 102,5%:

${\displaystyle {\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{750 Millionen}}\\{}\\x_{1}\end{matrix}}}$${\displaystyle \qquad \qquad {\begin{matrix}\qquad \left(750\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=750\cdot 1{,}025=768{,}75\right)\qquad {\text{also }}\qquad x_{1}=768{,}75\ {\text{Millionen}}\\{\text{man kann daher schreiben:}}\qquad \qquad x_{1}=750\cdot 1{,}025^{1}{\text{Millionen}}\end{matrix}}}$

Für das nächste Jahr 1967 ist von diesem Wert auszugehen, um die Bevölkerung 1968 zu berechnen. Die Bevölkerung wäre 2,5% gewachsen im Vergleich zum 1967 (und nicht 1966). Die Bevölkerung im Jahr 1967 (768,75 Millionen) ist daher der neue Anfangswert (100%):

${\displaystyle {\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{768,75 Millionen}}\\{}\\x_{2}\end{matrix}}}$${\displaystyle \qquad \qquad {\begin{matrix}\left(768{,}75\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=768{,}75\cdot 1{,}025=787{,}96875\right)\ \ {\text{also }}\ \ x_{2}\approx 787{,}97\ {\text{Millionen}}\\{\text{aber, wie wir forher gesehen haben }}\qquad 768{,}75=750\cdot 1{,}025\qquad {\text{und daher }}\\787{,}97=768{,}75\cdot 1{,}025=\overbrace {750\cdot 1{,}025} ^{(=768{,}75)}\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{2}\ \ {\text{also }}\\x_{2}=750\cdot 1{,}025^{2}\ {\text{Millionen}}\end{matrix}}}$

Für das dritte Jahr geht man ähnlich vor:

${\displaystyle {\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{787,97 Millionen}}\\{}\\x_{3}\end{matrix}}}$${\displaystyle \qquad \qquad {\begin{matrix}787,97\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=787{,}97\cdot 1,025\approx 807{,}67\qquad {\text{also }}\qquad x_{3}\approx 807{,}67\ \ {\text{Millionen}}\\{\text{aber, wie wir forher gesehen haben }}\qquad 787{,}97=750\cdot 1{,}025^{2}\qquad {\text{und daher }}\\{\text{und daher }}807{,}67\cdot 1{,}025=\overbrace {750\cdot 1{,}025^{2}} ^{(=787{,}97)}\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{3}\ \ {\text{also }}\\x_{3}=750\cdot 1{,}025^{3}\ {\text{Millionen}}\end{matrix}}}$

Wenn man das Ergebnis nach 50 Jahren berechnen will, müsste man mit der Strategie die gleiche Rechnung insgesamt 50 mal durchführen! Es gibt aber einen schnelleren Weg, die Aufgabe mit Hilfe eines Taschenrechners zu lösen. Betrachten wir unsere Ergebnisse (man muss immer mit der entsprechende schon gemachte Schlussrechnung vergleichen):

${\displaystyle x_{1}=750\cdot 1{,}025^{1}{\text{ Millionen}}\qquad (=768{,}75\ {\text{Millionen}})}$

${\displaystyle x_{2}=750\cdot 1{,}025^{2}{\text{ Millionen}}\qquad (\approx 787{,}97\ {\text{Millionen}})}$

${\displaystyle x_{3}=750\cdot 1{,}025^{3}{\text{ Millionen}}\qquad (\approx 807{,}67\ {\text{Millionen}})}$

Jedes Jahr multiplizieren wir einmal weiter mit ${\displaystyle \ 1{,}025}$, jedes Jahr wird die Hochzahl um 1 größer! Das erste Jahr ist die Hochzahl von ${\displaystyle \ 1{,}025\ }$ 1, das zweite Jahr 2, das dritte Jahr 3 und so weiter. Man kann sofort erkennen, dass die Hochzahl von ${\displaystyle \ 1{,}025\ }$ nach 50 Jahren 50 sein wird und daher:

${\displaystyle x_{50}=750\cdot 1{,}025^{50}{\text{ Millionen}}\approx 2577{,}83\ {\text{ Millionen}}}$.
So groß wäre die Bevölkerung Chinas nach 50 Jahren!

Hier ist die Periode (also die Zeit in der die Bevölkerung um 2,5% wächst) ein Jahr. In anderen Aufgaben kann sie etwas anderes sein (Woche, Monat, Tag, Stunde und so weiter). Wenn der Anfangswert A ist, der Wert am Ende E, der Prozentsatz des Wachstums P und die Anzahl der Perioden n (wie viele Perioden wir haben), dann kann man folgende Formel schreiben:

${\displaystyle E=A\cdot (1+P:100)^{n}}$

Man kann schon sehen, dass die Bevölkerung Chinas sehr groß gewesen wäre, wenn das Wachstum so hoch geblieben wäre. Die Wirtschaft Chinas war schon 1966 geplant und die zuständigen Personen haben damals schon festgestellt, dass die Wirtschaft ein solches Wachstum der Bevölkerung nicht würde verkraften können. Die Leute würden an Hunger sterben oder man würde Kriege führen müssen, um die Bevölkerung zu verringern oder neue Ressourcen zu erschließen. Deshalb haben die Zuständigen die „ein-Kind-Politik“ eingeführt, die das Wachstum der Bevölkerung ohne Hungertod oder größere Kriege in gewissen Grenzen gehalten hat. Die Bevölkerung ist doch gewachsen, aber nicht so viel.

Ein kleiner (oder doch sehr großer?) Kommentar:
Manche könnten sagen, dass die Verdoppelung nach 50 Jahren nicht so viel ist. Wenn jemand dieser Meinung ist, sollte er die Bevölkerung nach 1000 Jahren berechnen (also, die Hochzahl sollte 1000 und nicht mehr 50 sein) und versuchen, sich vom Ergebnis nicht schockieren zu lassen ... Hier ist die Berechnung für 500 Jahre:

${\displaystyle x_{500}=750\cdot 1{,}025^{500}{\text{ Millionen}}\approx 173\ {\text{Millionen von Millionen, }}}$also Trillionen!

Allerdings könnte man die Haltung von der Bevölkerung in ärmeren Staaten psychologisch gesehen schon verstehen: Sie haben keine Kenntnisse und glauben, dass mehrere Kinder eine bessere Zukunft gewährleisten, beziehungsweise die Versorgung im Alter besser sicherstellen. Oft spielt dabei die Religion eine dazu verstärkende Rolle.

Was ist aber mit den Wirtschaftswissenschaftlern? Die notwendigen Mathematikkenntnisse haben diese Personen mit Sicherheit. Dummheit nach dem berühmten Spruch von Einstein mag man ihnen grundsätzlich nicht gleich unterstellen wollen. Trotzdem behaupten sie, dass ein unendliches wirtschaftliches Wachstum (was mit Sicherheit auch ein unendliches Wachstum zum Beispiel des Energieverbrauchs und der Ressourcen voraussetzt) für das Überleben der Wirtschaft notwendig sei!

Die logische Schlußfolgerung ist daher, dass aus der nicht verfügbaren Unendlichkeit ein zwangsläufiges Scheitern dieser Wirtschaftsstrategie folgen muss, also kein Überleben möglich ist. Die Folgen für die Bevölkerung zu bedenken, bleibt den LeserInnen überlassen ...

Zurück zum mathematischen Problem, dazu eine Methode, die nicht funktioniert, also ein falscher Weg:

Viele versuchen, diese Aufgabe so zu lösen, indem sie 2,5% mit 50 multiplizieren, also 50 mal miteinander addieren. Kommen wir so zum selben Ergebnis?

50⋅2,5%=125%,     100%+125%=225%=2,25,     750 Millionen ⋅ 2,25=1687,5 Millionen.

Das ist allerdings falsch!

Der Fehler liegt darin, dass man 2,5% immer auf die Bevölkerung von 1966 bezieht. Die Bevölkerung aber wächst jedoch jedes Jahr um 2,5% in Bezug auf das vorherige Jahr und nicht auf 1966. Daher muss man jedes Mal mit 1,025 und nicht einmal mit 2,25 multiplizieren. Die Rechnung ist mal 1,025 hoch 50 und nicht mal 50, was ein ziemlich unterschiedliches Ergebnis bedeutet.

Radioaktivität

Zerfall ist das Gegenteil von Wachstum. Zerfall liegt vor, wenn jede Periode (Jahr, Monat und so weiter) die vorhandene Menge um den gleichen Prozentsatz weniger wird. Ein geeignetes Beispiel dafür ist die Radioaktivität:

• Das Iod-Isotop ¹³¹I (wird in nuklear-medizinischen Therapie benutzt) wird täglich um 8,3% weniger. Wie viele Atome des Isotops bleiben nach 3 Wochen, wenn wir am Anfang 250000 Atome haben?

Wir können hier sofort die Formel des vorherigen Absatzes benutzen [E = A · (1+P:100)ⁿ], indem wir berücksichtigen, dass wir einen Zerfall und kein Wachstum haben, also die Atome werden weniger statt mehr. Wir müssen daher minus statt plus benutzen:

${\displaystyle \textstyle E=A\cdot (1-P:100)^{n}=250000{\text{ Atome}}\cdot \left(1-{\frac {8,3}{100}}\right)^{21}=}$

${\displaystyle =250000\cdot \left({\frac {91,7}{100}}\right)^{21}=250000\cdot 0{,}917^{21}\approx 40522{\text{ Atome}}\quad }$

(hier müssen wir auf eine ganze Zahl runden; warum denn? Die Hochzahl allerdings ist 21 und nicht 3; wieso?)

Bei der Radioaktivität gibt es eine für das jeweilige Isotop charakteristische Periode, die sogenannte „Halbwertszeit“. Das ist die Zeit, die notwendig ist, damit die Anzahl der radioaktiven Atome sich halbiert, also auf 50% abnimmt, daher der Name. Bei ¹³¹I ist diese Zeit 8 Tage. Bei Atomen, die in Kernkraftwerken benutzt werden, ist diese Zeit deutlich größer (zum Beispiel 4,5 Milliarden Jahren für ²³⁸U Uran). So entsteht radioaktiver Müll, mit dem nicht einfach umzugehen ist. Dieser Müll kann kaum mit technisch oder kommerziell vertretbarem Aufwand entsorgt werde. Oft wird er illegal auf Gefahr der Gesundheit der Bevölkerung entsorgt. Das und die Gefahr eines Unfalls (wie z.B. neulich in Fukushima), machen die Nutzung der Kernspaltung sehr gefährlich. Interessant ist dabei allerdings, dass ein einwandfrei funktionierendes Kernkraftwerk allein durch den Betrieb keine Radioaktivität nach außen freisetzt, das passiert erst bei entsprechenden Pannen.

Kohle enthält ebenfalls radioaktive Atome als unerwünschte Beigabe, wie übrigens praktisch jegliches Material, welches durch Bergbau gefördert wird. Mit der Abluft von Kohlekraftwerken wird durch den reinen Betrieb also mehr Radioaktivität in der Umwelt freigesetzt als durch ein Kernkraftwerk gleicher Leistung. Das Kohlekraftwerk produziert allerdings keinen zusätzlichen radioaktiven Müll und setzt keine zusätzliche Radioaktivität bei einer Panne frei.

Wachstumsprozesse sind auch für das Banksystem sehr relevant. Das Guthaben in einem Konto wächst jährlich um den Zinssatz.

Wenn man kein Geld aufhebt oder einzahlt, kann man das Guthaben nach beliebigen Jahren mit Hilfe der Formel [E_n = A ∙ (1+P:100)ⁿ] berechnen.

(A ist hier das Kapital am Anfang, E das Guthaben nach n Jahren, P der Zinssatz)

• Berechne das Guthaben in einem Konto nach 20 Jahren, wenn das Kapital am Anfang 100000€ ist und der effektive Zinssatz 0,45%. Wie groß sind die Zinsen Z?

E = A ⋅ (1+P:100)ⁿ = 100000€ ⋅ (1+0,45:100)²⁰ ≈ 109395,34€    

(Warum muss man hier auf 2 Nachkommastellen runden?)

Die Zinsen kann man dann leicht berechnen: Z=E − A=109395,34€ − 100000€ = 9395,34€

Die Bank benutzt unseres Geld, um Geld zu investieren, zum Beispiel, um Geld anderen auszuleihen. Die Bank aber verlangt einen viel höheren Kreditzinssatz als den Zinssatz, den sie für unseres Geld im Konto gibt.

• Berechne, wie viel Geld eine Bank nach 20 Jahren gewinnt, wenn sie 100000€ mit 2,5% Zinssatz ausleiht.

E = A ⋅ (1+P:100)ⁿ = 100000€ ⋅ (1+2,5:100)²⁰ ≈163861,64€

Der Gewinn für die Bank ist daher: 163861,64€ − 100000€ ≈ 63861,64€ Das ist eindeutig viel mehr, als das Geld, das die Bank dem Kontoinhaber zurückgibt! Das reicht aber doch nicht aus! Banken dürfen mit unserem Geld mehrere Kredite vergeben. Quasi schöpfen sie so fiktives Geld mit jedem bereitgestellten Kredit. Sie dürfen, sagen wir mal, zehn Kredite vergeben. Sofern die Kreditgeber alles samt Zinsen zurückzahlen, ist der reine Gewinn für die Bank:

10 ⋅ 63861,64€ − 9395,34€ ≈ 629221,10€

Natürlich können Kredite ausfallen, werden also nicht zurückgezahlt. Ein solcher Ausfall ist zunächst einmal das Risiko der Bank. Zudem hat die Bank die Angestellten und die Infrastruktur (Bankgebäude, Computersysteme etc) zu finanzieren.

Ein Kommentar noch finde ich hier allerdings notwendig:

Diesen nicht gerade kleinen Gewinn rechtfertigen die Banken durch das genannte Risiko, das sie beim Ausleihen übernehmen. Je höher das Risiko des Kredits, desto höher der Kredit-Zinssatz.

Das Risiko wird aber schon dadurch reduziert, dass mehr Kredite vergeben werden, als Geld angelegt wurde. Die Tatsache, dass die Banken bei der letzten Finanzkrise doch Geld vom Steuerzahler bekommen haben, um einen Bankrott abzuwenden, ohne die geringste Forderung, das Geld zurückzugeben, zeigt eindeutig, dass sie das Risiko dem Staat übertragen haben, als etwas schief gegangen ist. Dass etwas schief geht, wird allerdings bei der angedeuteten Geldschöpfung durch Banken immer wieder der Fall sein wird.

In der Mathematik, besonders im Bereich der Statistik, gibt es viele sogenannten Mittelwerte. Was ist ein Mittelwert? Wenn man viele Werte (viele Zahlen, die irgendwas messen) hat, dann gibt es eine Zahl, die sich irgendwie in der Mitte dieser Werte befindet. Das ist ein Mittelwert. Es gibt aber verschiedene „Mitten“, also verschiedene Wege um diese Mitte zu berechnen, je nachdem wie das Problem ist. Zwei von diesen Wegen werden wir hier lernen, den Durchschnitt (auch arithmetisches Mittel genannt) und den Median (auch Zentralwert genannt). Wir werden auch den sogenannten Modalwert (Modus) kennenlernen, der zwar kein Mittelwert aber für die Beschreibung von Daten oft hilfreich ist.

Fangen wir mit einem Beispiel an:

• Die Familien eines kleinen Dorfes haben Kirschen geerntet. Die Ernte für die verschiedenen Familien war: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Sie haben allerdings vereinbart, dass jede Familie doch gleich so viele Kirschen bekommt. Wie viel bekommt jede Familie?

Um diese Frage zu beantworten, soll man erst die ganze Ernte berechnen, also die Teilernten addieren. Dann wird die ganze Ernte auf die Anzahl der Familien geteilt. So wird jede Familie gleich so viele Kirschen bekommen. Das Ergebnis nennt man Durchschnitt.

${\displaystyle \mathbf {Durchschnitt} ={\frac {\mathrm {Summe\ der\ Werte} }{\mathrm {Anzahl\ der\ Werte} }}={\frac {54+65+48+76+52+65+45}{7}}\approx 57{,}86}$  (das sind kg)

Jede Familie bekommt dann ca. 57,86 kg.

Den Durchschnitt (auch arithmetisches Mittel genannt) mehrerer Werte berechnet man, indem man ihre Summe durch ihre Anzahl (wie viele Werte wir haben) dividiert:

${\displaystyle \mathbf {Durchschnitt} ={\frac {\mathbf {Summe\ der\ Werte} }{\mathbf {Anzahl\ der\ Werte} }}}$

Den Median (auch Zentralwert genannt) mehrerer Werte findet man, indem man die Werte zuerst der Größe nach ordnet (z.B. vom kleineren zum größeren) und dann den Wert in der Mitte der Reihe wählt.

Ein Beispiel!

• Das Gewicht der Schüler in einer Klasse ist: 54kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg. Wie viel ist der Median?

Zuerst der Größe nach ordnen!

45, 48, 52, 54, 65, 65, 76

(ALLE Werte schreiben, also zwei oder mehr mal schreiben, wenn der Wert mehrmals vorkommt; jeden Wert muss man schreiben, so oft wie er vorkommt)

Der Wert in der Mitte ist 54. Es gibt 3 Werte links und 3 Werte rechts. Also 54 ist genau in der Mitte. Daher ist 54kg der Median!

Was ist aber, wenn die Anzahl der Werte eine gerade Zahl ist, wenn wir z.B. 12 Werte haben (12 ist eine gerade Zahl) und nicht 7 wie vorher (7 ist eine ungerade Zahl). Wenn man 7 Werte hat (oder irgendeine andere ungerade Zahl) dann gibt es genau eine Zahl in der Mitte. Bei gerader Anzahl der Werte gibt es doch 2 Zahlen in der Mitte. In diesem Fall wird als Median der Wert definiert, der genau zwischen den beiden Zahlen in der Mitte steht, also der Durchschnitt der beide Zahlen. Schauen wir ein Beispiel an!

• Das Gewicht der Schüler in einer Klasse ist: 52kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg, 65kg, 45 kg, 45kg, 78kg, 69kg. Wie viel ist der Median?

Zuerst der Größe nach ordnen!

45, 45, 45, 48, 52, 52, 65, 65, 65, 69, 76, 78

(ALLE Werte schreiben, also jeden Wert schreiben, so oft wie er vorkommt)

Hier gibt es zwei Werte in der Mitte, 52 und 65. Der Median ist genau in der Mitte also die beide Werte addieren und durch 2 dividieren:

${\displaystyle \mathbf {Median} ={\frac {52kg+65kg}{2}}=58{,}5\ kg}$

Der Modus (auch Modalwert genannt) von mehreren Werten ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.

Ein Beispiel!

• Das Gewicht der Schüler in einer Klasse ist: 54kg, 63kg, 48kg, 76kg, 52kg, 63kg, 45kg. Wie viel ist der Modalwert?

Hier kommt 63 zwei mal vor, alle andere Werte kommen nur einmal vor. Daher ist 63kg der Modus.

Was ist aber, wenn mehrere Werte öfters vorkommen? Noch ein Beispiel!

• Das Gewicht der Schüler in einer Klasse ist: 52kg, 65kg, 48kg, 76kg, 52kg, 65kg, 45kg, 65kg, 45 kg, 45kg, 78kg, 69kg.

Hier kommt 45 drei mal vor, 65 drei mal vor, 52 zwei mal vor und die restlichen Werte nur ein mal vor. 45 und 65 kommen am öftesten vor. Daher sind sie beide Modalwerte. 52 hingegen kommt nicht so oft vor wie 45 und 65 (also „nur“ zwei mal), daher ist 52 kein Modalwert. Es gilt also:

Modalwerte (Modi): 45kg und 65kg

 

Weicht der Durchschnitt vom Median stark ab, dann ist die Verteilung ungleichmäßig. Weicht der Durchschnitt vom Median nicht stark ab, dann kann man eine eher gleichmäßiger Verteilung nicht ausschließen. (Vorausgesetzt, dass alle Werte positiv sind)^[1]

Um zu verstehen, was das bedeuten soll, schauen wir folgende vier Säulendiagramme an:

• 
  1: Ungleichmäßige Verteilung
• 
  2: relativ gleichmäßige Verteilung
• 
  3: relativ gleichmäßige Verteilung
• 
  4: Ungleichmäßige Verteilung

Nehmen wir an, dass diese vier Bilder die Vermögensverteilung in vier verschiedenen Staaten zeigen. Wenn die verschiedenen Diagramme verglichen werden, wird festgestellt, dass ungleichmäßige Diagramme (wo es weniger großen Werte gibt und viele kleinere) einen größeren Durchschnitt als der Median haben. Je ungleichmäßiger das Diagramm, desto größer der Unterschied zwischen Durchschnitt und Median. Das ist also mit dem ersten Satz dieses Kapitels gemeint: Weicht der Durchschnitt vom Median stark ab, dann ist die Verteilung ungleichmäßig. Weicht der Durchschnitt vom Median nicht stark ab, dann kann man eine eher gleichmäßiger Verteilung nicht ausschließen. Allerdings, wenn es negative Werte gibt, die die größeren Werte ausgleichen, gilt diese Regel nicht mehr.

Im ersten Diagramm kommt der Reihe nach vier mal die eins, vier mal die zwei, vier mal die vier, zwei mal die sechs, ein mal zwanzig und ein mal Hundert. Der Median ist also 3, der Durchschnitt 10. Die Verteilung ist ziemlich ungleichmäßig, Median und Durchschnitt weichen stark ab.

Im zweiten Diagramm kommt der Reihe nach acht mal die sieben, sieben mal die acht und ein mal die achtzehn. Der größte Wert (18) ist ca. 2,5 mal wie der kleinste (7). Der Median ist 7,5 und der Durchschnitt 10. Die Verteilung ist relativ gleichmäßig, der Median und der Durchschnitt sind nah zueinander.

Im dritten Diagramm kommt der Reihe nach acht mal die fünf, zwei mal die zehn, vier mal die fünfzehn und dann ein mal siebzehn und ein mal 23. Der größte Wert (23) ist ca. 4,5 mal wie der kleinste (5). Der Median ist 7,5 und der Durchschnitt 10. Die Verteilung ist relativ ungleichmäßig, der Median und der Durchschnitt sind aber wieder nah zueinander.

Im vierten Diagramm kommt der Reihe nach sechs mal die eins, zwei mal die zwei, sieben mal die zehn und dann ein mal 80. Der größte Wert (80) ist 80 mal wie der kleinste (1). Der Median ist 6 und der Durchschnitt 10. Die Verteilung ist stark ungleichmäßig, der Median und der Durchschnitt sind aber relativ nah zueinander.

Nur im ersten Diagramm weichen Median und Durchschnitt stark voneinander ab, da können wir sicher sein, dass die Verteilung ungleichmäßig ist. In den anderen drei Diagrammen können wir feststellen, dass ein relativ kleiner Unterschied zwischen Median und Durchschnitt nicht aussagekräftig sein kann, da wir sowohl ein relativ gleichmäßige als auch eine relativ ungleichmäßige Verteilung haben können. Aber auch bei großen Unterschieden zwischen Median und Durchschnitt können wir immer noch nicht sagen, ob eine Ungleichmäßigkeit auch innerhalb der obersten Hälfte vorhanden ist oder nicht.Wenn z. B. 50 Werte 1 sind und 49 Werte 1000, dann ist der Durchschnitt (495,45) extrem größer als der Median (1), es sind aber immerhin fast die Hälfte der größeren Werte gleich.

Ein gutes Beispiel solcher Unterschiede ist die Vermögensverteilung in Europa und in der Welt. In Europa ist die Ungleichmäßigkeit in Deutschland und Österreich ziemlich ausgeprägt, wie ein Studium der europäischen Zentralbank gezeigt hat. Das erste Diagramm könnte wohl die Verteilung in diesen zwei Ländern repräsentieren. Was die Welt betrifft, sind nach einigen Studien die Ungleichmäßigkeiten noch (und viel) stärker.

Der Vergleich zwischen Durchschnitt und Median kann seine Aussagekraft über die Ungleichmäßigkeit der Verteilung (sogar völlig) verlieren, wenn manche Werte negativ sind. Das einfachste Beispiel dafür, ist, wenn wir drei Werte haben: −8, 1 und 10. In diesem Fall sind sowohl Durchschnitt als auch Median gleich 1, die Verteilung ist allerdings extrem ungleichmäßig. Beim Vermögen würde diese Verteilung beispielsweise bedeuten, dass eine Person stark verschuldet, eine knapp nicht verschuldet und eine reich ist. Der Vergleich zwischen Median und Durchschnitt ist in diesem Fall nutzlos.

Ein Boxplotdiagramm hilft bei der Darstellung von statistischen Daten. Mit einem Boxplotdiagramm bekommt man einen schnellen aber etwas groben Überblick über die Verteilung der Daten. Im Bild kann man mit einer dicken senkrechten Linie den Median sehen. Das „Box“ fängt links dort, wo ¼ der Daten stehen und endet rechts dort, wo ¾ der Daten stehen. Dazu gibt es zwei senkrechte Linien, die den kleinsten und den größten Wert zeigen. Dazu kann es auch „Ausreißer“ geben, also Daten die zu groß oder zu klein sind.

Den Median (auch Zentralwert genannt) mehrerer Werte findet man, indem man die Werte zuerst der Größe nach ordnet (z.B. vom kleineren zum größeren) und dann den Wert in der Mitte der Reihe wählt.

Die Spannweite, also die Differenz zwischen größten und kleinsten Wert ist ein Streuungsmaß auch im Fall des Medians. Ein anderes Maß ist in diesem Fall der Interquartilsabstand (Symbol IQR). Median ist der Wert in der Mitte der geordneten Werte. Wenn wir den ersten viertel der geordneten Werte nehmen, dann ist der Wert am oberen Rand das untere (erste) Quartil. Am oberen Rand der ersten drei Viertel befindet sich das obere (dritte) Quartil^[2]. Die Differenz der Werte des oberen und des unteren Quartils ist der Interquartilsabstand.

All diese Sachen können wir in einem sogenannten Boxplot Diagramm darstellen^[3]. Das folgende Beispiel beruht auf einer Messreihe mit den folgenden 20 Datenpunkten:

${\displaystyle i}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
${\displaystyle x_{i}}$ (unsortiert)	9	6	7	7	3	9	10	1	8	7	9	9	8	10	5	10	10	9	10	8
${\displaystyle x_{(i)}}$ (sortiert)	1	3	5	6	7	7	7	8	8	8	9	9	9	9	9	10	10	10	10	10

Ein Box-Plot hilft dabei sehr schnell einen Überblick über diese Daten zu erhalten. So erkennt man direkt, dass der Median (durchgezogene Linie) genau bei 8,5 liegt und dass je 25 % der Daten unter 7 und über 9,5 liegen, denn dies sind genau die Abmessungen der Box (die "Schachtel" in der Mitte), in der 50 % der Messwerte enthalten sind. Folglich ist auch der Interquartilsabstand, der der Länge der Box entspricht, genau 2,5 (also 9,5−7).

Dieser Box-Plot wurde mit Whiskern ^[4] bis zu einer Länge des 1,5-fachen Interquartilsabstands erstellt. Diese sind also maximal 3,75 Maßeinheiten lang. Allerdings reichen Whisker stets nur bis zu einem Wert aus den Daten, der sich noch innerhalb dieser 3,75 Einheiten befindet. Der obere Whisker verläuft also nur bis zu 10, da es keinen größeren Wert in den Daten gibt, und der untere Whisker nur bis 5, da der nächstkleinere Wert weiter als 3,75 vom Anfang der Box entfernt ist.

Die Werte von 1 und 3 werden im Box-Plot als Ausreißer markiert, da sie sich nicht innerhalb der Box oder der Whisker befinden. Bei diesen Werten sollte untersucht werden, ob es sich tatsächlich um Ausreißer oder um Tippfehler oder anderweitig auffällige Werte handelt.

1. ↑ Wie eine (sogar extrem) ungleichmäßige Verteilung aussieht, bei der Median und Durchschnitt doch sogar gleich sein können, ist Thema eines weit vertiefenden Niveaus.
2. ↑ (als zweite (mittlere) Quartil ist der Median gemeint)
3. ↑ Folgender Teil wurde fast ohne Änderungen von wikipedia übernommen.
4. ↑ auch "Antennen" genannt, das sind die Strecken bei den Werten 5 und 10 oben und unten vom "Box" im Boxplot