Satz von Leray

Im Folgenden sei ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ eine Garbe abelscher Gruppen über einem parakompakten Hausdorffraum ${\displaystyle M}$. Die Kohomologiegruppen ${\displaystyle H^{q}(M,{\mathcal {G}})}$ ergeben sich bekanntlich als induktiver Limes von Gruppen ${\displaystyle H^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ die offenen Überdeckungen von ${\displaystyle M}$ durchläuft, die bezüglich der Verfeinerung gerichtet sind. Es stellt sich daher die Frage, ob es offene Überdeckungen ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ mit ${\displaystyle H^{q}(M,{\mathcal {G}})=H^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})}$ gibt, so dass der induktive Limes nicht ausgeführt werden muss. Das ist in der Tat der Fall, denn es gilt:

Satz von Leray[1]: Es sei ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ eine Garbe abelscher Gruppen über einem parakompakten Hausdorffraum ${\displaystyle M}$. Weiter sei ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ eine offene Überdeckung von ${\displaystyle M}$, so dass für alle ${\displaystyle q\geq 1}$ und Überdeckungsmengen ${\displaystyle U_{0},\ldots ,U_{q}\in {\mathcal {U}}}$ mit ${\displaystyle U_{0}\cap \ldots \cap U_{q}\not =\emptyset }$ die Gleichung

${\displaystyle H^{q}(U_{0}\cap \ldots \cap U_{q},{\mathcal {G}})=0}$

gilt. Dann ist

${\displaystyle H^{q}(M,{\mathcal {G}})=H^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {G}})}$ für alle ${\displaystyle q\geq 0}$.

Wenn d​ie Überdeckung a​lso derart ist, d​ass die Garbe über d​en Durchschnitten d​er Überdeckungsmengen kohomologisch trivial ist, s​o stimmt d​ie Kohomologie über d​em Gesamtraum bereits m​it der Kohomologie d​er Überdeckung überein. Der Beweis verwendet d​ie Existenz feiner Auflösungen e​iner Garbe.

An einem typischen Beispiel soll gezeigt werden, wie der Satz von Leray zur Berechnung von Kohomologiegruppen herangezogen werden kann. Es sei ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}:=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$ die komplexe Ebene ohne den Nullpunkt. Dann gilt

${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{*},\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$,

wobei das ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ auf der linken Seite der Gleichung für die Garbe der ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-wertigen Funktionen stehe. Dazu seien

${\displaystyle U_{1}:=\mathbb {C} ^{*}\setminus \{x\in \mathbb {R} :x<0\},\quad U_{2}:=\mathbb {C} ^{*}\setminus \{x\in \mathbb {R} :x>0\}}$.

Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {U}}:=\{U_{1},U_{2}\}}$ eine offene Überdeckung von ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$. Die Überdeckungsmengen sind als geschlitzte Ebenen sternförmig, also einfach zusammenhängend, das heißt homotopisch und daher auch kohomologisch trivial. Damit sind die Voraussetzungen des Satzes von Leray erfüllt und man erhält ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{*},\mathbb {Z} )\cong H^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {Z} )}$. Letzteres kann nun wegen der Endlichkeit von ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ leicht als isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ erkannt werden, wie in[2] ausgeführt ist. Damit ist die Kohomologie mit Hilfe des Satzes von Leray bestimmt.

1. Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965, Kap. VI, Abschnitt D, Theorem 4
2. O. Forster: Riemannsche Flächen, Springer Verlag Heidelberg 1977, ISBN 3-540-08034-1, Kapitel II, §12, Beispiel 12.9