Garbe (Mathematik)

Um die Definition der Garbe zu verstehen, ist es ratsam, sich das Beispiel der Garbe der stetigen Funktionen im Hinterkopf zu halten: ${\displaystyle F(U)}$ ist dann die Menge der stetigen Funktionen ${\displaystyle U\to \mathbb {R} }$, die Einschränkungsabbildungen (Bilder der Inklusionsabbildungen unter dem Funktor ${\displaystyle F}$) sind einfach die Einschränkungen der Funktionen auf kleinere Bereiche.

Eine Prägarbe auf einer Kategorie C ist ein kontravarianter Funktor ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$: C ${\displaystyle \rightarrow }$ A in eine Kategorie A, etwa die Kategorie der Mengen oder die Kategorie der abelschen Gruppen. Wenn C eine Grothendieck-Topologie besitzt, so nennt man eine Prägarbe eine Garbe, wenn für jede überdeckende Familie {φ_i: V_i ${\displaystyle \rightarrow }$ U}_{i${\displaystyle \in }$I} die Sequenz :${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)\rightarrow \prod {\mathcal {F}}(V_{i})\,{{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\,\prod {\mathcal {F}}(V_{i}\times V_{j}),}$ exakt ist, d. h. wenn ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ der Differenzkern der beiden rechten Pfeile ist.

Wie i​m Fall e​ines topologischen Raumes k​ann man Prägarben vergarben. Ebenso k​ann man verschiedene Kohomologietheorien entwickeln, e​twa Čech-Kohomologie.

Die Gesamtheit a​ller Garben a​uf einem Situs bildet e​inen Topos.

So w​ie eine Garbe e​ine Sammlung v​on Objekten ist, i​st ein Morphismus zwischen Garben e​ine Sammlung v​on Morphismen dieser Objekte. Diese m​uss mit d​en Einschränkungsabbildungen verträglich sein.

Es seien ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ Garben auf ${\displaystyle X}$ mit Werten in derselben Kategorie. Ein Morphismus ${\displaystyle \varphi \colon {\mathcal {F}}\to {\mathcal {G}}}$ besteht aus einer Sammlung von Morphismen ${\displaystyle \varphi (U)\colon {\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {G}}(U)}$, einer für jede offene Teilmenge ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle X}$, so dass für jede Inklusion ${\displaystyle V\subseteq U}$ offener Teilmengen die Bedingung ${\displaystyle {\tilde {\rho }}_{V}^{U}\circ \varphi (U)=\varphi (V)\circ \rho _{V}^{U}}$ erfüllt ist. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \rho _{V}^{U}}$ die Einschränkungsabbildung von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ und ${\displaystyle {\tilde {\rho }}_{V}^{U}}$ die von ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

Fasst m​an die Garben w​ie oben beschrieben a​ls Funktoren auf, s​o ist e​in Morphismus zwischen d​en Garben dasselbe w​ie eine natürliche Transformation d​er Funktoren.

Für jede Kategorie ${\displaystyle C}$ bilden die ${\displaystyle C}$-wertigen Garben mit diesem Morphismenbegriff eine Kategorie.

Es sei ${\displaystyle C}$ eine Kategorie algebraischer Strukturen, die durch endliche projektive Limites definiert sind, also z. B. (abelsche) Gruppen, Ringe, Moduln. Insbesondere existieren pseudofiltrierende Kolimites in ${\displaystyle C}$, und ihre zugrundeliegenden Mengen stimmen mit den Kolimites der zugrundeliegenden Mengen der Einzelobjekte überein.

Für jeden Punkt ${\displaystyle x\in X}$ ist der Halm ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ einer Prägarbe ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ im Punkt ${\displaystyle x}$ definiert als

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}=\operatorname {colim} _{V\ni x}{\mathcal {F}}(V).}$

Elemente d​es Halms heißen Keime.

Keime sind also Äquivalenzklassen von lokalen Schnitten über offenen Umgebungen von ${\displaystyle x}$, wobei Schnitte äquivalent sind, wenn sie bei Einschränkung auf eine kleinere Umgebung gleich werden.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$, so gibt es eine Garbe ${\displaystyle \mathbf {a} {\mathcal {F}}}$, die Vergarbung von oder assoziierte Garbe zu ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, so dass für jede Garbe ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathrm {(Garben)} }(\mathbf {a} {\mathcal {F}},{\mathcal {G}})=\mathrm {Hom} _{\mathrm {(Pr{\ddot {a}}garben)} }({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$

gilt. ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ist also linksadjungiert zum Vergissfunktor ${\displaystyle \mathrm {(Garben)} \to \mathrm {(Pr{\ddot {a}}garben)} .}$

Es g​ibt keine einheitliche Notation für d​en Vergarbungsfunktor.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine stetige Abbildung, so ist

${\displaystyle U\mapsto {\mathcal {F}}(f^{-1}(U)),\quad U\subseteq Y\ {\text{offen}}}$

eine Garbe auf ${\displaystyle Y}$, die mit ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}$ bezeichnet wird und direktes Bild oder auch Bildgarbe von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ unter ${\displaystyle f}$ heißt.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ eine Garbe auf ${\displaystyle Y}$, so ist die assoziierte Garbe zu

${\displaystyle U\mapsto \operatorname {colim} _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V)}$

eine Garbe auf ${\displaystyle X}$, die Urbildgarbe, die mit ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$ bezeichnet wird.

Ist ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$ eine weitere stetige Abbildung, so sind die Funktoren

${\displaystyle \,(gf)_{*}}$ und ${\displaystyle \,g_{*}f_{*}}$

sowie d​ie Funktoren

${\displaystyle \,(gf)^{-1}}$ und ${\displaystyle \,f^{-1}g^{-1}}$

natürlich äquivalent.

Die Funktoren ${\displaystyle \,f_{*}}$ und ${\displaystyle \,f^{-1}}$ sind adjungiert: Ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine Garbe auf ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ eine Garbe auf ${\displaystyle \,Y}$, so ist

${\displaystyle \operatorname {Hom} (f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\operatorname {Hom} ({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}}).}$

Halme sind spezielle Garbenurbilder: Bezeichnet ${\displaystyle i_{y}}$ die Inklusion ${\displaystyle \{y\}\to Y}$ eines Punktes, so ist

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{y}=i_{y}^{-1}{\mathcal {G}};}$

dabei wurde die Garbe ${\displaystyle i_{y}^{-1}{\mathcal {G}}}$ auf dem einpunktigen Raum ${\displaystyle \,\{y\}}$ mit ihren globalen Schnitten identifiziert. Infolgedessen ist das Garbenurbild kompatibel mit Halmen:

${\displaystyle \,(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}={\mathcal {G}}_{f(x)}.}$

Diese Beziehung ist auch der Grund dafür, dass ${\displaystyle \,f^{-1}}$ trotz der komplizierteren Definition der einfacher zu verstehende Funktor ist: in einem gewissen Sinn ist Kohomologie das Studium des Funktors ${\displaystyle \,f_{*}}$.

Zu einer Garbe ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ von Mengen sei ein topologischer Raum ${\displaystyle E}$ über ${\displaystyle X}$ wie folgt definiert:

• Die zugrundeliegende Menge ist die disjunkte Vereinigung aller Halme von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$; die Abbildung ${\displaystyle E\to X}$ bilde ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ auf ${\displaystyle x\in X}$ ab.
• Die Topologie auf ${\displaystyle E}$ ist die stärkste Topologie, für die die Abbildungen

${\displaystyle U\to E,\quad x\mapsto f_{x}}$

für jeden Schnitt ${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(U)}$ über einer offenen Menge ${\displaystyle U\subseteq X}$ stetig sind.

Dann gibt es eine Bijektion zwischen den Schnitten von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ über einer offenen Menge ${\displaystyle U\subseteq X}$ und den Schnitten von ${\displaystyle \pi \colon E\to X}$ über ${\displaystyle U}$, d. h. den stetigen Abbildungen ${\displaystyle s\colon U\to E}$, für die ${\displaystyle \pi \circ s}$ gleich der Inklusion ${\displaystyle U\subseteq X}$ ist.

Dieser Raum ${\displaystyle E}$ heißt der Étalé-Raum (frz. étalé = ausgebreitet) oder, in deutschsprachiger Literatur auch ohne Akzente geschrieben, der etale Raum.[1]

• Die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger bilden keine Prägarbe, weil die Einschränkung einer Funktion mit kompaktem Träger auf eine offene Teilmenge im Allgemeinen nicht wieder kompakten Träger hat.

• Die Prägarbe, die jeder nicht-leeren offenen Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ die abelsche Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sowie der leeren Menge die triviale Untergruppe ${\displaystyle \{0\}}$ zuordnet, ist keine Garbe: Ist ${\displaystyle U=U_{1}\cup U_{2}}$ mit ${\displaystyle U_{1}=(1,2)}$ und ${\displaystyle U_{2}=(3,4)}$, so lassen sich der Schnitt ${\displaystyle 5}$ über ${\displaystyle U_{1}}$ und der Schnitt ${\displaystyle 7}$ über ${\displaystyle U_{2}}$ nicht zu einem Schnitt über ${\displaystyle U}$ „verkleben“.

• Die Garbe ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ der holomorphen Funktionen auf ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist eine Garbe von Ringen (eine Ringgarbe): der Halm im Nullpunkt kann mit dem Ring der konvergenten Potenzreihen ${\displaystyle \mathbb {C} \{z\}}$ identifiziert werden, d. h. der Potenzreihen, deren Konvergenzradius nicht Null ist. Die anderen Halme entstehen durch Koordinatenwechsel (d. h. ersetze ${\displaystyle z}$ durch ${\displaystyle z-a}$).

• Es sei ${\displaystyle X=\{\eta ,s\}}$ der topologische Raum mit zwei Punkten, von denen ${\displaystyle s}$ abgeschlossen ist und ${\displaystyle \eta }$ nicht, d. h. der Sierpiński-Raum. Dann ist eine Garbe durch die zwei Mengen ${\displaystyle M=\Gamma (X,{\mathcal {F}})}$ und ${\displaystyle N=\Gamma (\{\eta \},{\mathcal {F}})}$ zusammen mit einer Abbildung ${\displaystyle \rho \colon M\to N}$ bestimmt, und umgekehrt kann man diese Daten beliebig vorgeben und erhält eine Garbe. Die Halme von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ sind

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\eta }=N}$ und ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}=M}$.

• Es sei ${\displaystyle X=\mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$ und zu offenem ${\displaystyle U\subseteq X}$ sei ${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$ die Menge aller Funktionen, die lokal Steigung 1 haben, das sind alle ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f(x+\varepsilon +\mathbb {Z} )=f(x+\mathbb {Z} )+\varepsilon }$, sofern beide Seiten definiert sind und ${\displaystyle |\varepsilon |}$ hinreichend klein ist. Dies ist eine Garbe, bei der jeder Halm ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$ isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und auch ${\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {F}})\cong \mathbb {R} }$ für jede zusammenhängende offene echte Teilmenge ${\displaystyle U\subsetneq X}$. Es gibt jedoch keine globalen Schnitte, ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {F}})=\emptyset }$. Dadurch ist dies „nur“ eine mengenwertige und keine abelsche-Gruppen-wertige Garbe.

Der Begriff d​er Garbe lässt s​ich allgemeiner i​m Kontext v​on Grothendieck-Topologien fassen.

• Garbenkohomologie

• Francisco Miraglia: An Introduction to Partially Ordered Structures and Sheaves. Polimetrica, Mailand 2006, ISBN 88-7699-035-6 (Contemporary Logic).

1. F. Constantinescu, H. F. de Groote: Geometrische und algebraische Methoden der Physik: Supermannigfaltigkeiten und Virasoro-Algebren, Teubner Studienbücher 1994, ISBN 978-3-519-02087-5