Idealgas

For den ideale gas antages det, at den består af punktformede partikler, der kan bevæge sig i tre dimensioner. Partiklerne kan støde ind i hinanden ved fuldstændigt elastiske kollisioner, men interagerer ellers ikke, og der er således ikke nogen potentiel energi. Den kinetiske energi beregnes klassisk, så modellen tager ikke højde for relativistiske effekter.^[1]

Idealgassen er altså mest præcis som model ved:^[2]

• Høje temperaturer: Ved høje temperaturer har gasmolekylerne så høj kinetisk energi ${\displaystyle E_{\text{kin}}}$ , at den potentielle energi ${\displaystyle E_{\text{pot}}}$ , der kommer af interaktionen mellem molekylerne, er meget mindre:

${\displaystyle E_{\text{pot}}\ll E_{\text{kin}}}$ 

• Lavt tryk: Ved lavt tryk er der så stor afstand mellem molekylerne, at man kan se bort fra molekylernes ekskluderede volumen ${\displaystyle V_{\text{mol}}}$ .

${\displaystyle V_{\text{mol}}\ll {\frac {V}{nN_{A}}}}$ .

• Ikke-relativistiske hastigheder: Hvis partiklernes hastighed ${\displaystyle v}$  kommer tæt på lysets hastighed ${\displaystyle c}$ , skal der tager højde for relativistisk mekanik, hvilket gøres for relativistiske gasser.^[1]

${\displaystyle v\ll c}$ 

Modellen tager heller ikke højde for faseovergange, da en idealgas ikke kan kondensere og blive til en væske; i så fald skal andre modeller såsom van der Waals-gassen tages i brug.^[3]. I en idealgas er kvantemekaniske effekter ligeledes fraværende.^[1]

På trods af begrænsningerne er idealgassen dog en simpel og praktisk model, der kan bruges til at forstå varmekraftmaskiner. Den bruges også inden for astrofysik og atmosfæriske fysik^[1] såsom i den barometriske højdeformel.^[4]

  Uddybende artikel: Maxwell-Boltzmann-fordelingen

Siden partiklerne i en idealgas ikke interagerer med hinanden, er partiklernes energi blot deres kinetiske energi ${\displaystyle E_{\text{kin}}}$  givet ved:

${\displaystyle E_{\text{kin}}={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}}$ 

hvor ${\displaystyle m}$  er en partikels masse, og ${\displaystyle {\vec {v}}}$  er hastigheden. Det kan vises, at partiklernes hastighed er Maxwell-Boltzmann-fordelt, og den gennemsnitlige kinetiske energi for en partikel er derfor også givet ved:^[5]

${\displaystyle \langle E_{\text{kin}}\rangle ={\frac {3}{2}}k_{\text{B}}T}$ 

hvor ${\displaystyle k_{\text{B}}}$  er Boltzmanns konstant, og ${\displaystyle T}$  er temperaturen. Energien er altså proportional med temperaturen, hvilket stemmer overens med den brede forståelse af temperatur.

Den samlede energi for hele gassen - dvs. den indre energi ${\displaystyle U}$  - er nu blot den gennemsnitlige kinetiske energi gange antallet af partikler ${\displaystyle N}$ :

${\displaystyle U=N\langle E_{\text{kin}}\rangle ={\frac {3}{2}}Nk_{\text{B}}T}$ 

Dette kan også udtrykkes vha. stofmængde ${\displaystyle n}$ :

hvor Boltzmanns konstant er erstattet af gaskonstanten ${\displaystyle R}$ .^[6]

  Uddybende artikel: Idealgasligning

 

I en beholder vil sammenstød mellem partikler og beholderens vægge blive målt som et tryk ${\displaystyle p}$  på makroskopisk niveau. Siden temperaturen er relateret til kinetisk energi, kan det vises, at den også er relateret til tryk og volumen ${\displaystyle V}$  ved:

Dette er idealgasligningen.^[7] Ligningen blev oprindeligt udledt vha. forsøg på virkelige gasser, hvilket viser idealgassens anvendelighed som model.^[1]

Varmekapaciteterne - hvor meget varme, der skal tilføres, for at hæve temperaturen - for konstant volumen ${\displaystyle C_{V}}$  og konstant tryk ${\displaystyle C_{p}}$  er generelt givet ved:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{V}&=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}\\C_{p}&=C_{V}+\left[\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}+p\right]\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}\end{aligned}}}$ 

For en idealgas bliver den første:

Varmekapaciteten er altså proportional med gaskonstanten.

Ved konstant tryk kan det anvendes, at den indre energi ikke kan ændre sig, hvis temperaturen er konstant:

${\displaystyle \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=0}$ 

Vha. idealgasligningen kan den afledte til volumenet med hensyn til temperatur ved konstant tryk skrives som:

${\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{p}={\frac {\partial }{\partial T}}\left({\frac {nRT}{p}}\right)={\frac {nR}{p}}}$ 

Varmekapaciteten ved konstant tryk er derfor:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{p}&=C_{V}+\left[0+p\right]{\frac {nR}{p}}\\C_{p}&={\frac {3}{2}}nR+nR\\C_{p}&={\frac {5}{2}}nR\end{aligned}}}$ 

Adiabateksponenten er derfor:

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}={\frac {C_{p}}{C_{V}}}={\frac {{\frac {5}{2}}nR}{{\frac {3}{2}}nR}}}$ 

og altså:^[6]

En idealgas kan udsættes for termodynamiske processer og kan derfor bruges til at modellere varmekraftmaskiner.^[8]

 

For en isoterm proces er temperaturen konstant, hvilket gør hele højresiden i idealgasligningen til en konstant:

${\displaystyle pV=k}$ 

For en isoterm kompression er tryk og volumen altså omvendt proportionale:

Da den indre energi kun afhænger af temperatur, ændrer den sig ikke

${\displaystyle \Delta U=0}$ 

og den tilførte varme udlignes derfor af arbejdet

${\displaystyle \Delta Q=-\Delta W}$ 

Arbejdet er givet ved

${\displaystyle \Delta W=-\int _{V_{1}}^{V_{2}}p\mathrm {d} V}$ 

Trykket er omvendt proportionalt med volumenet, så integralet er:

${\displaystyle \Delta W=-nRT\int _{V_{1}}^{V_{2}}{\frac {1}{V}}\mathrm {d} V=nRT\ln {\frac {V_{1}}{V_{2}}}}$ 

Varmen er dermed:

Det ses, at gassen modtager varme under en ekspansion, men mister varme under en kompression.^[9]

 

For en isobar proces er trykket konstant, hvilket betyder, at volumen og temperatur er proportionale:

Arbejdet er

${\displaystyle \Delta W=-p\Delta V}$ 

mens ændringen indre energi er

${\displaystyle \Delta U={\frac {3}{2}}p\Delta V}$ 

Varmen er tilsvarende:

${\displaystyle \Delta Q=\Delta U-\Delta W={\frac {3}{2}}p\Delta V+p\Delta ={\frac {5}{2}}p\Delta V}$ 

Pga. varmetab mister gassen altså energi, når den pressen sammen. Dette gør den for at undgå, at trykket stiger. Vha. udtrykket for indre energi, kan dette også skrives som

${\displaystyle \Delta Q={\frac {5}{2}}nR\Delta T}$ 

Det ses, at faktoren foran temperaturændringen er ${\displaystyle C_{p}}$ , hvilket var forventeligt.

Under en adiabatisk proces bliver der ikke overført nogen varme:

${\displaystyle \delta Q=0}$ 

Differentialet for den indre energi er derfor blot:

${\displaystyle dU=\delta W=-p\mathrm {d} V}$ 

Men differentialet kan også skrives som:

${\displaystyle dU={\frac {3}{2}}nR\mathrm {d} T}$ 

Disse to udtryk sætter lig hinanden, og trykket erstattes vha. idealgasligningen:

${\displaystyle =-{\frac {nRT}{V}}\mathrm {d} V={\frac {3}{2}}nR\mathrm {d} T}$ 

De variable separeres, og faktorer flyttes til venstre side:

${\displaystyle -{\frac {2}{3}}{\frac {1}{V}}\mathrm {d} V={\frac {1}{T}}\mathrm {d} T}$ 

 

Begge sider integreres:

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {2}{3}}\int _{V_{1}}^{V_{2}}{\frac {1}{V}}\mathrm {d} V&=\int _{T_{1}}^{T_{2}}{\frac {1}{T}}\mathrm {d} T\\{\frac {2}{3}}\ln {\frac {V_{1}}{V_{2}}}&=\ln {\frac {T_{2}}{T_{1}}}\\\ln \left(\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}\right)&=\ln {\frac {T_{2}}{T_{1}}}\\\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}&={\frac {T_{2}}{T_{1}}}\\T_{1}V_{1}^{\frac {2}{3}}&=T_{2}V_{2}^{\frac {2}{3}}\end{aligned}}}$ 

Det ses, at eksponenten er relateret til adiabateksponentet ved:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}=\gamma -1}$ 

Så for en adiabatisk proces gælder bevarelsesloven:

${\displaystyle TV^{\gamma -1}=k}$ 

Med idealgasligningen kan temperatur også erstattes med tryk:

${\displaystyle {\frac {pV}{nR}}V^{\gamma -1}=k}$ 

Der gælder altså tilsvarende for tryk og volumen:

${\displaystyle pV^{\gamma }=k}$ 

eller

Adiabateksponenten er større end 1, så i et pV-diagram er kurven for en adiabatisk proces stejlere end for en isoterm proces.^[10]

 

For en isometrisk proces er volumenet konstant, hvilket betyder, at tryk og temperatur er proportionale:

Hvis en lukket beholder opvarmes, vil trykket i den altså stige.

Der kan ikke udføres volumenarbejde:

${\displaystyle \delta W=-p\mathrm {d} V=0}$ 

så varmeoverførslen er lig med ændringen i indre energi

${\displaystyle \Delta Q=\Delta U}$ 

Ved at indsætte den indre energi er varmen relateret til temperaturændringen ved:

${\displaystyle \Delta Q={\frac {3}{2}}nR\Delta T}$ 

Det ses, at faktoren er lig med ${\displaystyle C_{V}}$  som forventet. Vha. idealgasligningen kan varmen alternativ udtrykkes som:

${\displaystyle \Delta Q={\frac {3}{2}}V\Delta p}$