Dělení nulou

Dělení nulou je v matematice takové dělení, při němž je dělitel nula. Může být zapsáno jako ${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$, kde a je dělenec. V oborech reálných ani komplexních čísel nemá takové dělení smysl – nula je jediné číslo, kterým nelze dělit. V oboru komplexních čísel rozšířených o (komplexní) nekonečno je definováno pro všechny nenulové dělence jako ${\displaystyle \infty }$.^[1]

Při dělení v plovoucí řádové čárce může být výsledkem speciální hodnota not a number (není číslo) nebo nekonečno.

Když se mluví o dělení na základní úrovni, je často považováno za rozdělování množiny objektů na stejné části. Např.: Pokud máme deset kvádrů a rozdělíme je na skupiny po pěti, dostaneme dvě stejně velké části. To by mohla být ukázka toho, že 10/5 = 2. Dělitel je počet kvádrů v každé části a výsledek dělení odpovídá na otázku: „Pokud mám stejné části po 5 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů?“.

Pokud tuto otázku aplikujeme na dělení nulou, otázka „Pokud mám stejné části po 0 kusech, kolik takových částí musím dát dohromady, abych dostal 10 kusů?“ nedává smysl, protože přičítáním částí o 0 prvcích se deset kusů nikdy nezíská.

Další metodou, jak popsat dělení nulou, je opakované odečítání. Např.: Pokud chceme vydělit číslo 13 pěti, odečteme od 13 dvakrát 5 a dostaneme zbytek 3. Dělitel se odečítá, dokud není zbytek menší než dělitel. V případě, že je dělitel nula, při opakovaném odečítání nuly od dělence nikdy nedosáhneme zbytku menšího než nula.

Brahmaguptův spis Brāhmasphuṭa-siddhānta z roku 628 je první, který považoval nulu za normální číslo a definoval operace ji obsahující. Autorovi se ale nepodařilo vysvětlit dělení nulou, jeho definice vede k absurdním algebraickým závěrům. Brahmagupta píše:

Kladné nebo záporné číslo dělené nulou je zlomek se jmenovatelem nula. Nula dělená záporným nebo kladným číslem je buď nula, nebo je vyjádřena jako zlomek s čitatelem nula a konečným množstvím jako jmenovatelem. Nula dělená nulou je nula.

Mahavira se v roce 830 neúspěšně pokusil opravit Brahmaguptovu chybu:

Číslo zůstává nezměněno, když je děleno nulou.

Bháskara II. se pokusil problém vyřešit definováním ${\displaystyle \textstyle {\frac {n}{0}}=\infty }$. Tato definice dává určitý smysl, ale může vést k paradoxům, pokud se s ní nezachází opatrně.

Např. ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{0}}={\frac {2}{0}}}$, což by při odstranění zlomků vycházelo ${\displaystyle 1=2}$. To je nesmysl.

Přirozeným způsobem, jak vyložit dělení nulou, je nejprve definovat dělení pomocí jiných aritmetických operací. Podle standardních pravidel aritmetiky není dělení nulou v oborech přirozených čísel, celých čísel, racionálních čísel, reálných čísel a komplexních čísel (nerozšířených o nekonečno) definováno.

Důvodem je, že dělení je definováno jako inverzní operace k operaci násobení, hodnota ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ je takovým číslem, pro které platí rovnice ${\displaystyle bx=a}$. Například

${\displaystyle {\frac {6}{3}}=2}$

vyjadřuje fakt, že číslo ${\displaystyle 2}$ je tím číslem, které lze dosadit do výrazu

${\displaystyle ?\cdot 3=6}$.

Avšak v případě

${\displaystyle {\frac {6}{0}}=?}$

neexistuje žádné číslo, kterým by bylo možno nahradit otazník ve výrazu

${\displaystyle ?\cdot 0=6}$,

neboť jakékoli číslo násobené nulou je nula, nikoli šest.

Algebraicky vyjádřeno: pokud ${\displaystyle b=0}$, lze rovnici ${\displaystyle bx=a}$ zapsat jako ${\displaystyle 0x=a}$, tedy prostě ${\displaystyle 0=a}$. V tomto případě tedy rovnice ${\displaystyle bx=a}$ nemá žádné řešení, pokud ${\displaystyle a\neq b}$, a má nekonečně mnoho řešení, pokud ${\displaystyle a=0}$. Ani v jednom případě tedy výraz ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ nedává smysl a výsledek dělení nulou tak není definován.

Pokud by bylo nějak definováno dělení nulou, mohlo by dojít k mnoha absurdním výsledkům. Příkladem je falešný důkaz, že ${\displaystyle 2=1}$, např.:

1. Pro každé reálné číslo ${\displaystyle x}$ platí:

   ${\displaystyle x^{2}-x^{2}=x^{2}-x^{2}}$

2. Rozložíme obě strany dvěma různými způsoby

   ${\displaystyle (x-x)(x+x)=x(x-x)}$

3. Vydělíme obě strany výrazem ${\displaystyle (x-x)}$ (zde je ve skutečnosti dělení nulou, protože ${\displaystyle x-x=0}$)

   ${\displaystyle (1)(x+x)=x(1)}$

4. Což je:

   ${\displaystyle 2x=x}$

5. Protože ${\displaystyle x}$ může nabývat jakýchkoliv hodnot, dosadíme ${\displaystyle x=1}$.

   ${\displaystyle 2=1}$

Chybou je v tomto případě předpoklad, že ${\displaystyle (x-x)/(x-x)}$ (tzn. 0/0) se rovná 1. K podobným nesmyslm vede jakákoliv jiná hodnota přiřazená jako výsledek 0/0.

Na první pohled vypadá možné definovat ${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$ jako limitu ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ pro ${\displaystyle b}$ jdoucí k 0.

Pro každé kladné ${\displaystyle a}$ platí:

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={+}\infty }$

Pro každé záporné ${\displaystyle a}$ platí:

${\displaystyle \lim _{b\to 0^{+}}{a \over b}={-}\infty }$

Proto můžeme uvažovat o definování a/0 jako +∞ pro kladné a a -∞ pro záporné a. Nicméně tato definice je nevyhovující ze dvou důvodů.

Zaprvé: Kladné a záporné nekonečno nejsou reálná čísla. Takže pokud chceme zůstat v oboru reálných čísel, nedefinovali jsme nic, co by dávalo smysl. Pokud chceme pracovat s takovou definicí, je nutné rozšířit obor reálných čísel.

Zadruhé: Braní limity zprava je čistě libovolné. Stejně tak bychom mohli vzít limitu zleva a definovat ${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$ jako -∞ pro kladné a a +∞ pro záporné a. Toto se dá ilustrovat na rovnici:

${\displaystyle +\infty ={\frac {1}{0}}={\frac {1}{-0}}=-{\frac {1}{0}}=-\infty }$,

což nedává smysl. To znamená, že jediným fungujícím rozšířením je zavedení nekonečna bez znaménka.

Dále neexistuje žádná zřejmá definice ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$, která by mohla být odvozena za použití limit. Limita

${\displaystyle \lim _{(a,b)\to (0,0)}{a \over b}}$

neexistuje. Limita

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{f(x) \over g(x)}}$,

kde se f(x) i g(x) blíží 0, když se x blíží 0, může konvergovat k jakékoliv hodnotě nebo nemusí konvergovat vůbec. (Viz též L'Hospitalovo pravidlo.)

Standard IEEE pro dvojkovou aritmetiku v plovoucí řádové čárce, podporovaný skoro všemi moderními procesory, specifikuje, že každá operace v plovoucí řádové čárce včetně dělení nulou má dobře definovaný výsledek. V IEEE 754 je a ÷ 0 kladné nekonečno, pokud je a kladné; záporné nekonečno, pokud je a záporné, a NaN (not a number), pokud a = 0. V IEEE 754 jsou dvě nuly: kladná a záporná; při dělení zápornou nulou jsou ve výsledku opačná znaménka oproti uvedeným výsledkům.

S celočíselným dělením nulou se obvykle zachází jinak, protože neexistuje celočíselná reprezentace takového výsledku. Některé procesory vygenerují výjimku při pokusu o dělení nulou, jiné prostě pokračují a vygenerují nesprávný výsledek dělení (často nulu nebo velké kladné či záporné číslo jako aproximaci nekonečna), případně jde o nedefinované chování.

• NaN
• NULL
• lineární lomená funkce

• Obrázky, zvuky či videa k tématu dělení nulou na Wikimedia Commons