Esfera de Bloch

Qualsevol punt de l'esfera de Bloch és un estat quàntic o qubit i es pot expressar com:

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos(\theta /2)|0\rangle +e^{i\phi }\sin(\theta /2)|1\rangle }$ 

On ${\displaystyle \theta ,\phi }$  són nombres reals tals que ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$  i ${\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }$ .

Un qubit es pot representar com una combinació lineal dels estats ${\displaystyle \scriptstyle |0\rangle }$  i ${\displaystyle \scriptstyle |1\rangle }$ , és a dir:

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$ 

On tant ${\displaystyle \alpha }$  com ${\displaystyle \beta }$  poden ser nombres complexos, els quals podem escriure en forma exponencial:

${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle =r_{\alpha }e^{i\phi _{\alpha }}|0\rangle +r_{\beta }e^{i\phi _{\beta }}|1\rangle }$ 

Llavors hem caracteritzat el qubit en termes de quatre paràmetres reals.

No obstant això, les úniques quantitats mesurables són les probabilitats ${\displaystyle \scriptstyle |\alpha |^{2}}$  i ${\displaystyle \scriptstyle |\beta |^{2}}$ , llavors multiplicar aquest estat per un factor arbitrari ${\displaystyle \scriptstyle e^{i\gamma }}$  (una fase global) no té conseqüències observables, ja que:

${\displaystyle |\alpha e^{i\gamma }|^{2}={\overline {(\alpha e^{i\gamma })}}(\alpha e^{i\gamma })=e^{-i\gamma }{\bar {\alpha }}(e^{i\gamma }\alpha )={\bar {\alpha }}\alpha =|\alpha |^{2}\,}$ 

i de forma similar per ${\displaystyle \scriptstyle |\beta |^{2}}$ . Això es coneix com a invariància pel que fa a la fase global. Així, que podem multiplicar lliurement el nostre estat per ${\displaystyle \scriptstyle e^{-i\phi _{\alpha }}}$ :

${\displaystyle |\psi '\rangle =e^{-i\phi _{\alpha }}|\psi \rangle =|\psi \rangle =r_{\alpha }|0\rangle +r_{\beta }e^{i(\phi _{\beta }-\phi _{\alpha })}|1\rangle =|\psi \rangle =r_{\alpha }|0\rangle +r_{\beta }e^{i\phi }|1\rangle }$ 

On hem usat ${\displaystyle \scriptstyle \phi =\phi _{\beta }-\phi _{\alpha }}$ , reduint el nombre de paràmetres a tres.

A més, tenim la condició de normalització ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$ . Si escrivim ${\displaystyle r_{\beta }e^{i\phi }}$  en forma cartesiana, podem escriure aquesta condició com:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\langle \psi |\psi \rangle &=&1\\&=&|r_{\alpha }|^{2}+|x+iy|^{2}\\&=&r_{\alpha }^{2}+x^{2}+y^{2}\end{array}}}$ 

Però l'equació ${\displaystyle 1=r_{\alpha }^{2}+x^{2}+y^{2}}$  correspon a una esfera unitària en l'espai real 3D (x, y, ${\displaystyle r_{\alpha }}$ ).

Això ens suggereix que es pot representar l'estat ${\displaystyle |\psi \rangle }$  com un punt sobre la superfície d'aquesta esfera unitària. Aquests punts s'escriuen en termes dels angles ${\displaystyle \theta }$  i ${\displaystyle \phi }$  com:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}x&=&\cos(\phi )\sin(\theta )\\y&=&\sin(\phi )\sin(\theta )\\z&=&\cos(\theta )=r_{\alpha }\end{array}}}$ 

Substituint això en el nostre estat tenim:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}|\psi \rangle &=&r_{\alpha }|0\rangle +(x+iy)|1\rangle \\&=&\cos(\theta )|0\rangle +(\cos(\phi )\sin(\theta )+i\sin(\phi )\sin \theta ))|1\rangle \\&=&\cos(\theta )|0\rangle +\sin(\theta )e^{i\phi }|1\rangle \end{array}}}$ 

Notem ara que si ${\displaystyle \scriptstyle \theta =0}$ , ${\displaystyle \scriptstyle |\psi \rangle =|0\rangle }$ , i si ${\displaystyle \scriptstyle \theta =\pi /2}$ , ${\displaystyle \scriptstyle |\psi \rangle =e^{i\phi }|1\rangle }$ . Aquesta última expressió correspon als estats sobre l'equador de la nostra esfera. Això suggereix que en realitat n'hi ha prou ${\displaystyle \scriptstyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$  per tenir tots els estats possibles.

Considerem ara un estat ${\displaystyle |\psi '\rangle }$  que aquest en el costat oposat de l'esfera, que tingui coordenades ${\displaystyle (1,\pi -\theta ,\phi +pi)}$ .

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}|\psi '\rangle &=&\cos(\pi -\theta )|0\rangle +\sin(\pi -\theta )e^{i(\phi +\pi )}|1\rangle \\&=&-\cos(\theta )|0\rangle +\sin(\theta )e^{i(\phi +\pi )}|1\rangle \\&=&-\cos(\theta )|0\rangle -\sin(\theta )e^{i\phi }|1\rangle \\&=&-|\psi \rangle \end{array}}}$ 

És a dir que tots els estats sota de l'equador són el negatiu d'algun estat per sobre de l'equador. Per no repetir els estats sobre l'esfera, canviem l'expressió:

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos(\theta )|0\rangle +\sin(\theta )e^{i\phi }|1\rangle }$ 

per:

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos(\theta /2)|0\rangle +\sin(\theta /2)e^{i\phi }|1\rangle }$ 

De tal manera que tots els punts sobre l'esfera corresponen a algun únic estat diferent.

Un dels usos de l'esfera de Bloch és el de visualitzar l'acció de diferents portes lògiques en computació quàntica, o l'evolució temporal de l'estat d'un sistema de dos nivells descrit per un hamiltonià, com en estudiar els polsos emprats en ressonància magnètica nuclear. En ambdós casos s'ha d'estudiar l'acció d'una matriu unitària 2x2, que sempre es pot descompondre com a producte d'operadors de rotació.

Un operador de rotació es defineix per un eix i un angle de gir. L'acció d'un operador de rotació sobre l'estat quàntic es tradueix, pel que fa al punt associat a l'estat sobre l'esfera de Bloch, en una rotació del punt respecte a l'eix de rotació en l'angle de gir. Per exemple, la porta lògica quàntica que realitza la transformació d'Hadamard es descriu per la matriu

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}$ 

Sobre l'esfera de Bloch la transformació de Hadamard equival a una rotació de 90° al voltant del eix Y, seguida d'una rotació de 180° respecte a l'eix X. O també, de manera equivalent, a una rotació de 180° respecte a l'eix Z seguida d'una rotació de 90 º respecte a l'eix Y. Així es pot comprovar visualment que la transformació de Hadamard porta el punt de coordenades cartesianes (1,0,0) al punt (0,0,1), el que correspon a l'expressió analítica:

${\displaystyle H\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle +{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle \right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(({\frac {1}{\sqrt {2}}}|0\rangle -{\frac {1}{\sqrt {2}}}|1\rangle \right)=|0\rangle }$ 

 

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Esfera de Bloch

• (anglès) Eric W. Weisstein: Bloch Sphere. A: MathWorld