Usuari:Jordiventura96/proves/Funció beta de Dirichlet

Aquesta és una pàgina de proves de Jordiventura96. Es troba en subpàgines de la mateixa pàgina d'usuari. Serveix per a fer proves o desar provisionalment pàgines que estan sent desenvolupades per l'usuari. No és un article enciclopèdic. També podeu crear la vostra pàgina de proves. Vegeu Viquipèdia:Sobre les proves per a més informació, i altres subpàgines d'aquest usuari

En matemàtiques, la funció beta de Dirichlet (també coneguda com funció beta de Catalan) és una funció especial, íntimament relacionada amb la funció zeta de Riemann. En particular, és una sèrie L de Dirichlet, concretament la funció L per al caràcter alternat de període quatre. Rep aquest nom en honor al matemàtic alemany Johann Dirichlet.

La funció beta de Dirichlet ve definida per:

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},}$

o, equivalentment:

${\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.}$

En ambdós casos, les fórmules només són vàlides per Re(s)>0.

Altrament, la següent definció, en termes de la funció zeta de Hurwitz, és vàlida per a tot el pla complex:

${\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).}$

Una altra definició equivalent, en termes de la funció zeta de Lerch i vàlida també en tot el pla complex, és:

${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),}$

L'equació funcional prolonga analíticament la funció beta a la part del pla complex Re(s)<0 ve donada per:

${\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\beta (1-s)}$

on ${\displaystyle \Gamma (s)}$ és la funció gamma.

Alguns valors particulars de la funció beta són els següents:

${\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle \beta (1)\;=\;\tan ^{-1}(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},}$

${\displaystyle \beta (2)\;=\;G,}$

on ${\displaystyle G}$ representa la constant de Catalan

${\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},}$

${\displaystyle \beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}(\psi _{3}({\frac {1}{4}})-8\pi ^{4}),}$

on ${\displaystyle \psi _{3}(1/4)}$ és un exemple de funció poligamma.

${\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},}$

${\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}},}$

En general, per nombre natural ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)},}$

on ${\displaystyle E_{n}}$ representa els nombres d'Euler. Per a ${\displaystyle k}$≥0, és té que:

${\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}.}$

Atès que ${\displaystyle E_{2k+1}=0}$, la funció s'anula per tot valor enter negatiu senar.

${\displaystyle s}$	Valor aproximat de ${\displaystyle \beta (s)}$	OEIS
1/5	0.5737108471859466493572665
1/4	0.5907230564424947318659591
1/3	0.6178550888488520660725389
1/2	0.6676914571896091766586909	(successió A195103 a l'OEIS)
1	0.7853981633974483096156608	(successió A003881 a l'OEIS)
2	0.9159655941772190150546035	(successió A006752 a l'OEIS)
3	0.9689461462593693804836348	(successió A153071 a l'OEIS)
4	0.9889445517411053361084226	(successió A175572 a l'OEIS)
5	0.9961578280770880640063194	(successió A175571 a l'OEIS)
6	0.9986852222184381354416008	(successió A175570 a l'OEIS)
7	0.9995545078905399094963465
8	0.9998499902468296563380671
9	0.9999496841872200898213589
10	0.9999831640261968774055407

• Glasser, M. L. «The evaluation of lattice sums. I. Analytic procedures». J. Math. Phys., vol. 14, 1972, pàg. 409. DOI: 10.1063/1.1666331.
• J. Spanier and K. B. Oldham, An Atlas of Functions, (1987) Hemisphere, New York.
• Weisstein, Eric W., «Dirichlet Beta Function» a MathWorld (en anglès).