Resolvent (anàlisi matemàtica)

En matemàtiques, la resolvent és una tècnica que consisteix a aplicar conceptes de l'anàlisi complexa a l'estudi de l'espectre d'un operador sobre un espai de Hilbert o sobre un espai més general.

La resolvent captura les propietats espectrals d'un operador en l'estructura analítica de la resolvent. Donat un operador A, hom pot definir la resolvent com

${\displaystyle R(z;A)=(A-zI)^{-1}.}$

Entre altres usos, hom pot fer servir la resolvent per resoldre equacions integrals de Fredholm no-homogènies; una aproximació és una solució en sèrie de potències, la sèrie de Liouville–Neumann.

Hom pot fer servir la resolvent de A directament per obtenir informació sobre la descomposició espectral de A. Per exemple, suposem que ${\displaystyle \lambda }$ és un valor propi aïllat en l'espectre de A. És a dir, suposem que existeix una corba simple tancada ${\displaystyle C_{\lambda }}$ en el pla complex que separa ${\displaystyle \lambda }$ de la resta de l'espectre de A. Llavors el residu

${\displaystyle {\frac {-1}{2\pi i}}\oint _{C_{\lambda }}(A-zI)^{-1}~dz}$

defineix un operador de projecció sobre el ${\displaystyle \lambda }$-espai propi de A

El teorema de Hille–Yosida estableix una relació entre la resolvent i una integral sobre el grup uniparamètric de transformacions generades per A. Així, per exemple, si A és un operador autoadjunt, llavors ${\displaystyle U(t)=\exp(itA)}$ és un grup uniparamètric d'operadors unitaris. La resolvent es pot expressar com la integral

${\displaystyle R(z;A)=\int _{0}^{\infty }e^{-zt}U(t)dt.}$

El primer ús que es coneix de l'operador resolvent fou Erik Ivar Fredholm el 1903, en un article publicat a Acta Mathematica, i que va ajudar a crear la teoria d'operadors moderna. El nom de resolvent fou atribuït per David Hilbert.

Per qualssevol ${\displaystyle z,w}$ de ${\displaystyle \rho (A)}$, el conjunt resolvent d'un operador ${\displaystyle A}$, es compleix la identitat resolvent (també anomenada identitat de Hilbert):^[1]

${\displaystyle R(z;A)-R(w;A)=(w-z)R(z;A)R(w;A)\,}$

(Notem que Dunford i Schwartz defineixen la resolvent com ${\displaystyle (zI-A)^{-1}}$, així que la fórmula anterior és lleugerament diferent de la d'aquests autors.)

Quan hom estudia un operador no-afitat ${\displaystyle A:H\to H}$ sobre un espai de Hilbert ${\displaystyle H}$, si existeix algun ${\displaystyle z\in \rho (A)}$ tal que ${\displaystyle R(z;A)}$ és un operador compacte, llavors diem que ${\displaystyle A}$ té resolvent compacta. L'espectre ${\displaystyle \sigma (A)}$ d'un tal ${\displaystyle A}$ és un subconjunt discret de ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Si, a més, ${\displaystyle A}$ és autoadjunt, llavors ${\displaystyle \sigma (A)\subset \mathbb {R} }$ i existeix una base ortonormal ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$ de vectors propis de ${\displaystyle A}$ amb valors propis ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$ respectivament. També, ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$ no té cap punt d'acumulació finit.^[2]

• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T.; amb l'assistència de William G. Bade i Robert G. Bartle. «Part I: General Theory». A: Linear operators.. Wiley Classics Library ed.. Nova York: Wiley, 1988. ISBN 0-471-60848-3. 
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T.; with the assistance of William G. Bade and Robert G.. «Part II: Spectral Theory, Self Adjoint Operators in Hilbert Space». A: Linear operators. Wiley Classics Library ed.. Nova York: Interscience Publishers, 1988. ISBN 0-471-60847-5. 
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. «Part III: Spectral Operators». A: Linear operators. Repr.. Nova York [u.a.]: Wiley-Interscience, 1988. ISBN 0-471-60846-7. 
• E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Mathematica, 27 (1903) pp. 365–390.
• Kato, Tosio. Perturbation theory for linear operators. Corr. printing of the 2nd ed.. Berlín: Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-07558-5. 
• Taylor, Micheal E. Partial Differential Equations I. Nova York, NY: Spriger-Verlag, 1996. ISBN 7-5062-4252-4. 

• Càlcul funcional holomorf
• Teoria espectral
• Operador compacte