Problema de Brocard

Probelma matemàtic no resolt Té l'expressió ${\displaystyle n!+1=m^{2}}$ solucions enteres més enllà de quan ${\displaystyle n=4,5,7}$? (més problemes matemàtics no resolts)

El problema de Brocard és un problema matemàtic que busca solucions enteres de n i m per l'expressió:

${\displaystyle n!+1=m^{2},}$

on n! denota el factorial. Va ser plantejat per Henri Brocard en un parell d'articles en els anys 1876 i 1885, i independentment l'any 1913 per Srinivasa Ramanujan.

Parelles de números (n, m) que són solució del problema de Brocard reben el nom de nombres de Brown. Hi ha només tres parells de nombre de Brown coneguts:

(4,5), (5,11), i (7,71).

Paul Erdős va conjecturar que no existeixen més solucions més enllà d'aquestes. Overholt (1993) va demostrar que hi ha només un nombre finit de solucions que compleixen la conjectura abc. Berndt & Galway (2000) va calcular per valors de n fins a 10^9 i no va trobar cap altra solució. Matson (2017) ha afirmat haver estès 3 ordres de magnitud el valor de n fins a arribar a un bilió.

Dabrowski (1996) va generalitzar el resultat d'Overholt per demostrar que seguiria de la conjectura abc que:

${\displaystyle n!+A=k^{2}}$

té un nombre finit de solucions,, per qualsevol enter donat A. Aquest resultat va ser generalitzat per Luca (2002), que va demostrar (un altre cop assumint la conjectura abc) que l'equació

${\displaystyle n!=P(x)}$

té només un nombre finit de solucions enteres per un cert polinomi P(x) de grau com a mínim 2 amb coeficients enters.

• Berndt, Bruce C.; Galway, William F. «The Brocard–Ramanujan diophantine equation n! + 1 = m²». The Ramanujan Journal, 4, 2000, p. 41–42. DOI: 10.1023/A:1009873805276..
• Brocard, H. «Question 166». Nouv. Corres. Math., 2, 1876, p. 287., Brocard, H. «Question 166». Nouv. Corres. Math., 2, 1876, p. 287.: 287.
• Brocard, H. «Question 1532». Nouv. Ann. Math., 4, 1885, p. 391., Brocard, H. «Question 1532». Nouv. Ann. Math., 4, 1885, p. 391.: 391.
• Dabrowski, A. «On the Diophantine Equation x! + A = y²». Nieuw Arch. Wisk., 14, 1996, p. 321–324., Dabrowski, A. «On the Diophantine Equation x! + A = y²». Nieuw Arch. Wisk., 14, 1996, p. 321–324.: 321–324.
• Guy, R. K.. Unsolved Problems in Number Theory, 1994, p. 193–194. ), Nova York: Salmer-Verlag, pp. Guy, R. K.. Unsolved Problems in Number Theory, 1994, p. 193–194. , Guy, R. K.. Unsolved Problems in Number Theory, 1994, p. 193–194.  Guy, R. K.. Unsolved Problems in Number Theory, 1994, p. 193–194. .
• Luca, FloriaLuca, Florian «The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt». Glasnik Matematički, 37, 2002, p. 269–273. (2002), "Luca, Florian «The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt». Glasnik Matematički, 37, 2002, p. 269–273. P(x) = n! I un resultat de M. Overholt" (Luca, Florian «The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt». Glasnik Matematički, 37, 2002, p. 269–273.), Luca, Florian «The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt». Glasnik Matematički, 37, 2002, p. 269–273., Luca, Florian «The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt». Glasnik Matematički, 37, 2002, p. 269–273. (57): 269–273.
• Matson, Robert (2017), "Brocard Matson, Robert «Brocard's Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues». Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography, 2017. 4a Recerca de Solució que Utilitza Residus Quadràtics" (Matson, Robert «Brocard's Problem 4th Solution Search Utilizing Quadratic Residues». Unsolved Problems in Number Theory, Logic and Cryptography, 2017.), Problemes No resolt dins Teoria de Número, Lògica i Criptografia.
• Overholt, Marius «The diophantine equation n! + 1 = m²». Bull. London Math. Soc., 25, 1993. DOI: 10.1112/blms/25.2.104.Soc., Overholt, Marius «The diophantine equation n! + 1 = m²». Bull. London Math. Soc., 25, 1993. DOI: 10.1112/blms/25.2.104. (2): 104, doi:10.1112/blms/25.2.104.

• Weisstein, Eric W., «Brocard's Problem» a MathWorld (en anglès).
• Weisstein, Eric W., «Brown Numbers» a MathWorld (en anglès).
• Copeland, Ed. «Brown Numbers». Numberphile. Brady Haran. Arxivat de l'original el 2014-11-09. [Consulta: 13 juny 2019]., Ed. "Números marrons". Copeland, Ed. «Brown Numbers». Numberphile. Brady Haran. Arxivat de l'original el 2014-11-09. [Consulta: 13 juny 2019]. Copeland, Ed. «Brown Numbers». Numberphile. Brady Haran. Arxivat de l'original el 2014-11-09. [Consulta: 13 juny 2019]..