Funció de recompte de nombres primers

La funció de recompte de nombres primers és la funció ${\displaystyle \pi (x)}$ que, per un a nombre real ${\displaystyle x}$ donat compta la quantitat de nombres primers menors o iguals que ${\displaystyle x}$^[1] (i sempre es denota així, encara que no té res a veure amb el nombre ${\displaystyle \pi }$). És una funció que no és contínua, ja que és esglaonada, com es pot comprovar fàcilment:

${\displaystyle \pi }$(1) = 0 (no hi ha primers ≤ 1)

${\displaystyle \pi }$(2) = 1 (l'únic primer ≤ 2 és el 2)

${\displaystyle \pi }$(3) = 2 (els primers ≤ 3 són 2 i 3)

${\displaystyle \pi }$(4) = 2 (id.)

${\displaystyle \pi }$(5) = 3 (els primers ≤ 5 són 2, 3 i 5)

...

${\displaystyle \pi }$(10) = 4 (els primers ≤ 10 són 2, 3, 5 i 7)

...

Un dels resultats més importants de la teoria de nombres és que el valor de ${\displaystyle \pi (x)}$ s'aproxima asimptòticament al de ${\displaystyle x/\ln x}$ quan ${\displaystyle x}$ tendeix a infinit.^[2] És a dir:

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}$

Cal notar que això no significa que la diferència entre ${\displaystyle \pi (x)}$ i ${\displaystyle x/\ln x}$ s'aproximi a zero (de fet no ho fa) sinó que el seu quocient s'aproxima a 1. Però l'error relatiu que es comet quan es pren ${\displaystyle x/\ln x}$ en lloc de ${\displaystyle \pi (x)}$, sí que s'aproxima a zero quan ${\displaystyle x\to \infty }$. Aquest resultat, conjecturat per primera vegada per Gauss, s'anomena teorema dels nombres primers. Després de molts intents de demostració, els matemàtics Jacques Hadamard i Charles Jean de la Vallée-Poussin n'aconseguiren, independentment, una demostració definitiva.

Si reexpressem la relació anterior com

${\displaystyle {\frac {\pi (x)}{x}}\sim {\frac {1}{\ln x}}}$

la podem interpretar com que la densitat mitjana de nombres primers dins dels nombres enters es fa cada cop més petita, i s'aproxima a ${\displaystyle 1/\ln x}$ a mesura que ${\displaystyle x}$ augmenta.