Desigualtat de Young

En matemàtiques, la desigualtat de Young s'usa per referir-se a dues desigualtats: una sobre el producte de dos nombres,^[1] i una altra sobre la convolució de dues funcions.^[2] El seu nom prové del matemàtic anglès William Henry Young.

Es pot fer servir la desigualtat de Young per demostrar la desigualtat de Hölder. També se sol utilitzar per estimar la norma dels termes no lineals en teoria d'EDP, ja que permet estimar el producte de dos termes per la suma de potències adequades d'aquests mateixos termes.

En la seva forma estàndard, la desigualtat afirma que si a i b són nombres reals no-negatius, i p i q són nombres reals positius tals que 1/p + 1/q = 1, llavors

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.}$

on la igualtat s'assoleix si i només si a^p = b^q. Aquesta forma de la desigualtat de Yound és un cas especial de la desigualtat entre les mitjanes aritmètica i geomètrica, i es pot emprar per demostrar la desigualtat de Hölder.

Demostració

L'afirmació és certa si a = 0 o si b = 0. Per tant, suposem que a > 0 i b > 0. Definim t = 1/p, i (1 − t) = 1/q. Com que la funció logaritme és estrictament còncava, ${\displaystyle {\begin{aligned}\log(ta^{p}+(1-t)b^{q})&\geq t\log(a^{p})+(1-t)\log(b^{q})\\&=\log(a)+\log(b)\\&=\log(ab)\\\end{aligned}}}$ on s'assoleix la igualtat si i només si ap = bq. La desigualtat de Young se n'obté per exponenciació.

Un cas elemental de la desigualtat és aquella on l'exponent q és igual a 2,

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}},}$

que al seu torn dona lloc a la desigualtat de Young amb with ε (vàlida per a qualsevol ε > 0). Aquesta nova desigualtat permet "guanyar" control sobre el segon terme amb la contraprestació de "perdre" control sobre el primer terme:

${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{2}}{2\varepsilon }}+{\frac {\varepsilon b^{2}}{2}}.}$

Demostració

La desigualtat de Young amb exponent 2 és el cas especial en què p = q = 2. Tot i això, admet una demostració més simple; observem que ${\displaystyle 0\leq (a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab,}$ Llavors afegim 2ab a cada costat de la igualtat i dividim per 2. La desigualtat de Young amb ε és una conseqüència immediata d'aplicar la desigualtat de Young amb exponent 2 a ${\displaystyle a'=a/{\sqrt {\varepsilon }},\quad b'={\sqrt {\varepsilon }}b.}$

Per la versió estàndard^[3][4] de la desigualtat, sigui f una funció real, contínua i estrictament creixent a l'interval [0, c], on c > 0 i f(0) = 0. Sigui f⁻¹ la funció inversa de f. Aleshores, per qualsevol a ∈ [0, c] i b ∈ [0, f(c)],

${\displaystyle ab\leq \int _{0}^{a}f(x)\,dx+\int _{0}^{b}f^{-1}(x)\,dx}$

on la igualtat s'assoleix si i només si b = f(a).

Si f és una funció convexa i denotem la seva transformada de Legendre (conjugada convexa) per g, llavors

${\displaystyle ab\leq f(a)+g(b).\,}$

Això és una conseqüència immediata de la definició de la transformada de Legendre.

Més en general, si f és una funció convexa definida sobre un espai vectorial real ${\displaystyle X}$, i denotem la seva conjugada complexa per ${\displaystyle f^{\star }}$ (i està definida dobre l'espai dual ${\displaystyle X^{\star }}$), llavors

${\displaystyle \langle u,v\rangle \leq f^{\star }(u)+f(v).}$

on ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :X^{\star }\times X\to \mathbb {R} }$ és l'emparellament dual.

• La transformada de Legendre de f(a) = a^p/p és g(b) = b^q/q amb q tal que 1/p + 1/q = 1, i per tant la desigualtat de Young per exponents conjugats de Hölder n'és un cas especial.
• La transformada de Legendre de f(a) = e^a – 1 és g(b) = 1 − b + b ln b; per tant, ab ≤ e^a − b + b ln b per a qualssevol a i b no negatius. Aquesta estimació és útil en la teoria de grans desviacions sota condicions de moment exponencials, perquè b ln b apareix en la definició d'entropia relativa, que és la funció de freqüència del teorema de Sanov.

En anàlisi real, aquest resultat també es coneix com a desigualtat de Young:^[5]

Suposem que f pertany a L^p(R^d) i que g pertany a L^q(R^d), i

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1}$

amb 1 ≤ p, q, r ≤ ∞. Llavors

${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$

Aquí, ${\displaystyle *}$ denota la convolució, L^p és un espai de Lebesgue, i

${\displaystyle \|f\|_{p}={\Bigl (}\int |f(x)|^{p}\,dx{\Bigr )}^{1/p}}$

denota la norma usual L^p.

En el cas que p, q > 1 la desigualtat de Young es pot reforçar com

${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq c_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q}.}$

on la constant c_p,q < 1.^[6]

• Conjugada convexa
• Transformada de Legendre

• Young's Inequality Arxivat 2010-06-20 a Wayback Machine. a PlanetMath (anglès)
• Weisstein, Eric W., «Young's Inequality» a MathWorld (en anglès).