Dodecàedre xato

Dodecàedre xato

Model 3D
Tipus	políedre arquimedià, políedre uniforme i políedre xato
Forma de les cares	triangle equilàter (80) pentàgon regular (12)
Símbol de Schläfli	sr{5,3}
Dual	hexacontàedre pentagonal
Elements
Vèrtexs	60
Arestes	150
Cares	92
Més informació
MathWorld	SnubDodecahedron

En geometria, el dodecàedre xato és un dels tretze políedres arquimedians.

Té 92 cares, 12 de les quals són pentagonals i 80 triangulars, 150 arestes i a cadascun dels seus 60 vèrtexs hi concorren una cara pentagonal i quatre cares triangulars.

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un dodecàedre xato tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A=a^{2}{\sqrt {15\left(95+6{\sqrt {5}}+8{\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\right)}}\\&V=xa^{3}\\\end{aligned}}}$

On x és l'arrel real positiva del polinomi:

${\displaystyle {\begin{aligned}P\left(x\right)&=187.445.810.737.515.625-182.124.351.550.575.000x^{2}\\&+6.152.923.794.150.000x^{4}+1.030.526.618.040.000x^{6}\\&+162.223.191.936.000x^{8}-3.195.335.070.720x^{10}+2.176.782.336x^{12}\\\end{aligned}}}$

Els radis R, r i ${\displaystyle \rho }$ de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

${\displaystyle {\begin{aligned}&R=ax\\&P(x)=209-2.696x^{2}+13.872x^{2}-35.776x^{6}+47.104x^{8}-27.648x^{10}+4.096x^{12}\\&r=ax\\&P(x)=1-128x^{2}+6.384x^{4}-149.376x^{6}+1.443.072x^{8}-3.900.416x^{10}+856.064x^{12}\\&\rho =ax\\&P\left(x\right)=1-40x^{2}+624x^{4}-4.672x^{6}+16.384x^{8}-21.504x^{10}+4.096x^{12}\\\end{aligned}}}$

On a cada expressió, x és l'arrel real positiva del polinomi que es presenta a continuació. On a és la longitud de les arestes.

El políedre dual del dodecàedre xato és l'hexacontàedre pentagonal.

El dodecàedre xato es pot obtenir a partir del dodecàedre expandint les 12 cares pentagonals i llavors girant-les lleugerament fins que l'espai entre ells es pugui omplir amb corones de triangles equilàters.

Dodecàedre

Dodecàedre expandit rombicosidodecàedre

Dodecàedre xato

El dodecàedre xato és un políedre quiral: es presenta en dues formes que són mútuament la imatge especular l'una de l'altre. L'únic altre polígon arquimedià quiral és el cub xato.

• Políedre arquimedià
• Políedre de Catalan
• Políedre regular
• Sòlid platònic
• Sòlid de Johnson

• H. M. Cundy & A. P. Rollett. I modelli matematici. Milà: Feltrinelli, 1974. 

• Dedò, Maria. Forme, simmetria e topologia. Bolonya: Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Dodecàedre xato

• Políedres I Arxivat 2009-05-09 a Wayback Machine. Pàgina 13
• Políedres arquimedians Arxivat 2008-08-27 a Wayback Machine.
• Paper models of Archimedean solids