Espiral logarítmica

Una espiral logarítmica és una classe de corba espiral que apareix sovint a la naturalesa. Fou descrita per primera vegada per Descartes i posteriorment investigada per Jakob Bernoulli, qui l'anomenà Spira mirabilis, "espiral meravellosa", i en volgué una gravada a la seva làpida. Desafortunadament, al seu lloc hi gravaren una espiral d'Arquimedes.^[1]

En coordenades polars (r, θ) la corba pot ésser descrita com a

${\displaystyle r=ab^{\theta }{\mbox{o}}\ \theta =\log _{b}(r/a)}$, d'aquí el nom "logarítmica"

i en forma paramètrica com a

${\displaystyle x(\theta )=ab^{\theta }\cos(\theta )\,}$

${\displaystyle y(\theta )=ab^{\theta }\sin(\theta )\,}$

amb nombres reals positius a i b. a és un factor d'escala que determina la mida de l'espiral, mentre b controla com de forta i en quina direcció està enrotllada. Per b >1 l'espiral s'expandeix amb un increment θ, i per b <1 es contrau.

En termes de geometria diferencial l'espiral pot definir-se com una croba c(t) amb un angle constant α entre el radi i el vector tangent

${\displaystyle \arccos {\frac {\langle \mathbf {c} (t),\mathbf {c} '(t)\rangle }{\|\mathbf {c} (t)\|\|\mathbf {c} '(t)\|}}=\alpha }$

Si α = 0 l'espiral logarítmica degenera en una línia recta. Si α = ± π / 2 l'espiral logarítmica degenera en un cercle.

• Weisstein, Eric W. Logarithmic Spiral. From MathWorld--A Wolfram Web Resource. (anglès)
• Jim Wilson, Equiangular Spiral (or Logarithmic Spiral) and Its Related Curves, University of Georgia (1999)
• Alexander Bogomolny, Spira Mirabilis - Wonderful Spiral, a cut-the-knot (anglès)

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Espiral logarítmica