เส้นเวียนก้นหอยลอการิทึม

เส้นเวียนก้นหอยลอการิทึม (logarithmic spiral) เป็นเส้นเวียนก้นหอยประเภทหนึ่งที่พบได้ทั่วไปในธรรมชาติ อาจเรียกอีกอย่างว่า เส้นเวียนก้นหอยมุมเท่า (equiangular spiral) หรือ เส้นเวียนก้นหอยแบร์นุลลี (Bernoulli spiral) โดยตั้งชื่อตาม ยาค็อพ แบร์นุลลี นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ในคริสต์ศตวรรษที่ 17

ในระบบพิกัดเชิงขั้ว (r, θ) เขียนได้เป็น

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$

เส้นโค้งที่ได้นี้จะเรียกว่าเป็นเส้นเวียนก้นหอยลอการิทึม โดยที่ e คือ ค่าคงตัว e และ a และ b เป็นค่าคงที่จำนวนจริง เนื่องจาก r คือระยะห่างจากจุดกำเนิด a จึงต้องมีค่าเป็นบวกเท่านั้น แต่ b อาจเป็นค่าบวกหรือลบก็ได้ ค่า b เป็นบวกจะทำให้เกลียวเวียนไปทางซ้ายขณะที่เคลื่อนออกจากศูนย์กลาง และค่า b เป็นลบจะทำให้เกลียวเวียนไปทางขวา บางครั้งคำนิยามก็จำกัดอยู่ที่ b > 0 เนื่องจากสามารถเปลี่ยนการเวียนซ้ายมาเป็นเวียนขวาได้ด้วยการพลิก หาก b = 0 จะได้เป็นรูปวงกลมที่มีรัศมีเป็น a

สูตรยังเขียนอีกแบบได้ว่า

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\log {\frac {r}{a}}}$

ในอดีตลอการิทึมเป็นที่รู้จักก่อนฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ดังนั้นจึงถูกเรียกในชื่อ "เส้นเวียนก้นหอยลอการิทึม" เมื่อ b เป็นบวก (หรือลบ) θ จะเล็กลง (หรือใหญ่ขึ้น) ถ้า r เข้าใกล้ 0 ดังนั้นจึงหมุนวนอย่างไม่สิ้นสุดที่ใกล้จุดศูนย์กลาง

อาจเขียนรูประบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็น

${\displaystyle x(\theta )=r\cos \theta =ae^{b\theta }\cos \theta \,}$

${\displaystyle y(\theta )=r\sin \theta =ae^{b\theta }\sin \theta \,}$

เส้นเวียนก้นหอยทอง เป็นเส้นเวียนก้นหอยลอการิทึมชนิดหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนทอง φ

โดยจะได้เมื่อค่าคงที่ b เท่ากับ

${\displaystyle |b|={\frac {\log \phi }{\pi /2}}\approx 0.30634896253}$

โดยให้ r = e^bθ นอกจากนี้ เมื่อ B = e^b ก็จะได้ว่า r = B^θ สำหรับเมื่อค่า b เป็นบวก จะได้ว่า

${\displaystyle B=\phi ^{2/\pi }\approx 1.358456274}$

และสำหรับเมื่อค่า b เป็นลบ ได้ว่า

${\displaystyle B=\phi ^{-2/\pi }\approx 0.736129693}$

ระยะช่วงเกลียวจะอยู่ที่ประมาณ 17.03239 องศา

มีทฤษฎีที่รู้จักกันดีว่าลวดลายบนเปลือกหอยงวงช้างแสดงได้เป็นเส้นเวียนก้นหอยทอง อย่างไรก็ตาม ไม่ทราบสาเหตุที่เป็นเหตุเป็นผล และก็ได้มีคนชี้ให้เห็นว่าจริง ๆ ระยะช่วงเกลียวของเปลือกหอยโข่งอยู่ระหว่าง 8 ถึง 10 องศา ซึ่งห่างจาก 17 องศา แสดงว่ามันไม่ใช่เส้นเวียนก้นหอยทอง^[1][2]