Dirichletov red

U matematici, Dirichletov red^[1][2] je svaki red oblika

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

gdje su s i a_n, (n = 1, 2, 3, ...) kompleksni brojevi.

Dirichletov red igra mnogo važnih uloga u analitIčkoj teoriji brojeva. Najčešća definicija Riemannove zeta-funkcije je Dirichletov red, kao što su Dirichletove L funkcije. Pretpostavlja se da se Selbergova klasa redovao pokorava generalizovanoj Riemannovoj hipotezi. Red je dobio ime u čast Johann Peter Gustav Lejeune Dirichleta.

Najpoznatiji Dirichletov red je

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

što predstavlja Riemannovu zeta-funkciju. Drugi je:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

gdje je μ(n) Möbiusova funkcija. Ovaj i mnogi drugi redovi mogu se dobiti primjenom Möbiusove formule inverzije i Dirichletove konvolucije na poznate redove. Na primjer, za dati Dirichletov karakter ${\displaystyle \scriptstyle \chi (n)}$ dobija se

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}$

gdje je ${\displaystyle L(\chi ,s)}$ Dirichletova L funkcija.

Drugi identiteti su

${\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}}$

gdje je φ(n) Eulerova fi funkcija, i

${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}}$

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}}$

gdje je σ_a(n) sigma funkcija. Drugi identiteti sa funkcijom d=σ₀ su

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n^{2})}{n^{s}}}}$

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}.}$

Logaritam zeta-funkcije dat je sa

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}}}$

za Re(s) > 1. Ovdje je ${\displaystyle \scriptstyle \Lambda (n)}$ von Mangoldtova funkcija. Logaritamska derivacija je tada

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Zadnje dvije formule su specijalni slučajevi općenitijeg odnosa derivacija Dirichletovog reda, datog ispod.

Za datu Liouvilleovu funkciju ${\displaystyle \scriptstyle \lambda (n)}$, imamo

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Još jedan primjer uključuje Ramanujanovu sumu:

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1-s}(m)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}(m)}{n^{s}}}.}$

Za dati niz {a_n}_{n ∈ N} kompleksnih brojeva pokušavamo odrediti vrijednost

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}$

kao funkcije kompleksne promjenljive s. Kako bi ovo imalo smisla, moramo odrediti osobine konvergencije za gornji bekonačani red:

Ako je {a_n}_{n ∈ N} ograničen niz kompleksnih brojeva, tada odgovarajući Dirichletov red f konvergira apsolutno na otvorenoj poluravni s tako da je Re(s) > 1. Općenitije, ako je a_n = O(n^k), red konvergira apsolutno na poluravni Re(s) > k + 1.

Ako je skup suma a_n + a_{n + 1} + ... + a_{n + k} ograničen sa n i k ≥ 0, tada gornji beskonačni red konvergira na otvorenoj poluravni s tako da vrijedi Re(s) > 0.

U oba slučaja f je analitička funkcja odgovarajuće otvorene poluravni.

Općenito, apscisa konvergencije Dirichletovg reda je prekid realne ose vertikalne linije u kompleksnoj ravni, takav da postoji konvergencija sa lijeve, a divergencija sa desne strane. Ovo je analogno za Dirichletov red radijusa konvergencije za potencijalne redove. Slučaj kod Dirichletovog reda je komplikovan, jer se apsolutna konvergencija i uniformna konvergencija mogu javiti u različitim poluravnima.

Za dato

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

za potpuno multiplikativnu funkciju ƒ(n), te pretpostavljajući da red konvergira za Re(s) > σ₀, dobijamo da

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

konvergira za Re(s) > σ₀. Ovdje, ${\displaystyle \scriptstyle \Lambda (n)}$ je von Mangoldtova funkcija.

Pretpostavimo

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

i

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.}$

Ako su oba F(s) i G(s) apsolutno konvergentni za s > a i s > b tada imamo

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,dtF(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ kako }}T\sim \infty .}$

Ako je a = b i ƒ(n) = g(n) imamo

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}dt|F(a+it)|^{2}dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ kako }}T\sim \infty .}$

Mellinova transformacija Dirichletovog reda data je Perronovom formulom.

• Regularizacija zeta-funkcije

• https://www.wolframalpha.com/input?i=dirichlet+series

• G. H. Hardy, and Marcel Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 18 (Cambridge University Press, 1915).
• The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs. {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections