متوسط حسابي هندسي

في الرياضيات، يعرف المتوسط الحسابي الهندسي (بالإنجليزية: Arithmetic–geometric mean)‏ لعددين حقيقيين موجبين x و y على النحو التالي:

نسمي x و y :a₀ و g₀:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y.\end{aligned}}}$

ثم نقم بتعريف التسلسلين المترابطين (a_n) و (g_n) كـ:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,,\end{aligned}}}$

حيث يأخذ الجذر التربيعي القيمة الرئيسية (قيمة موجبة). يتقارب هتان المتتاليتان إلى نفس العدد، المتوسط الحسابي الهندسي لـ x و y ؛ يُشار إليه بـ M(x, y)، أو أحيانًا بـ agm(x, y).

يستخدم الوسط الحسابي الهندسي في الخوارزميات السريعة للدوال الأسية والمثلثية، وكذلك بعض الثوابت الرياضية، بالأخص حساب الثابت π.

لإيجاد المتوسط الحسابي والهندسي لـ a₀ = 24 و g₀ = 6 ، نكرر ما يلي:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}}$

تعطي التكرارات الخمس الأولى القيم التالية:

يتضاعف عدد الأرقام a_n و g_n المتفقة (تحتها خط) تقريبًا مع كل تكرار. المتوسط الحسابي و الهندسي لـ 24 و 6 هو الحد المشترك لهتين المتتاليتين، وهو تقريبا:

13.4581714817256154207668131569743992430538388544.^[1]

ظهرت الخوارزمية الأولى القائمة على هذا الزوج من المتتاليات في أعمال لاغرانج. تم تحليل خصائصه من قبل غاوس.

المتوسط الهندسي لعددين موجبين لا يكون أكبر من المتوسط الحسابي.  ونتيجة لذلك ، بالنسبة إلى n > 0، (g_n) هي متتالية متزايدة، (a_n) هي متتالية متناقصة، و g_n ≤ M(x, y) ≤ a_n. هذه هي متباينة قطعية إذا كان x ≠ y.

وبالتالي فإن M(x, y) هو عدد محصور بين المتوسط الهندسي والمتوسط الحسابي لـ x و y؛ وهي أيضًا محصورة بين x وy.

إذا كان r ≥ 0، فإن M(rx,ry) = r M(x,y).

هناك الشكل التكاملي لـ M(x,y):

${\displaystyle {\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\div \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}}$

حيث K(k) هو التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول:

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}}$

في الواقع، بما أن العملية الحسابية الهندسية تتقارب بسرعة كبيرة، فإنها توفر طريقة فعالة لحساب التكامل الإهليلجي من خلال هذه الصيغة.