黏度

「黏性（viscosity）」源自古法語viscosite或直接源自中世紀拉丁語 vicositatem（主格 vicositas），源自晚期拉丁語viscosus，直接源於拉丁語viscum，指槲寄生，用槲寄生、槲寄生製成的鳥糞等黏性的東西，也指從槲寄生漿果中提取的黏稠膠水，^[5]可能源於詞根*weis-，用於描述惡臭或有異味的液體。^[6]

流體的黏度是由於相鄰層間以不同的速度運動時產生的摩擦造成的。當黏性流體受迫通過管道時，它在管道中心線附近的流動速度比在管道壁附近的流動速度更快。^[7]因為需要力來克服相對運動的流體層之間的摩擦，所以需要一定的應力（例如管道兩端之間的壓力差）來維持流動。對於流速恆定的管道，補償力的強度與流體的黏度成正比。管中心處阻力最小，液層流動速度最大；管壁附近液層同時受到液體黏性阻力和管壁摩擦力作用，速度最小，在管壁上液層的移動速度為零（假定在不產生滑移時）。

黏度量化了相對運動的相鄰流體層之間的內部摩擦力。^[2]最普通的液體黏度大致在1~1000 mPa·s，氣體的黏度大致在1~10 μPa·s。一些像黃油或人造黃油的脂肪很黏，更像軟的固體，而不是流動液體。黏度較高的物質，比較不容易流動；而黏度較低的物質，比較容易流動。例如油的黏度較高，因此不容易流動；而水黏度較低，不但容易流動，倒水時還會出現水花，倒油時就不會出現類似的現象。

實際上，有兩個量被稱為黏度。一種被稱為動態黏度、絕對黏度或簡單黏度（來區別其他的量），但通常也稱為黏度。另外一種量稱為運動黏度（用符號ν表示），它是流體的黏度與密度的比值。

加工過程中，聚合物的流變性質主要表現為黏度的變化，根據流動過程中聚合物黏度與應力或應變速率的關係，將聚合物的流動行為分為：牛頓流體——黏度μ為常數；非牛頓流體——表觀黏度μ不為常數。

一般來說，黏度取決於流體的狀態，例如其溫度、壓力和變形率。然而，在某些情況下，對其中一些屬性的依賴性可以忽略不計。例如牛頓流體的黏度就不會隨變形率發生顯著變化。對於非牛頓流體的黏度，存在與時間無關的假塑性流動、塑性流動和膨脹性流動，以及與時間相關的觸變性流動和流變性流動。

 

材料科學與工程中，人們通常對了解材料變形所涉及的力或應力感興趣。如果材料是一個簡單的彈簧，那將用表明彈簧所受的力與偏離平衡位置的距離成正比的虎克定律計算。可歸因於材料從某一靜止狀態變形的應力稱為彈性應力。在其他材料中，存在的應力可歸因於隨時間變化的變形率，稱為黏性應力。例如，在水等流體中，由剪切流體產生的應力不取決於流體被剪切的距離而取決於剪切的速度。

黏度是一種材料特性，它將材料中的黏性應力與變形的變化率（應變率）聯繫起來，適用於一般的流動，在簡單的剪切流（例如拖曳流動）中很容易形象化和定義。

而流體和移動邊界之間的摩擦導致了流體剪切，描述這種行為強度的是流體的黏度。在一般的平行流動中（如可能發生在一個直管中），剪切應力正比於速度梯度。相互平行的相鄰層之間的移動速度不同，產生剪切。而流體的剪切黏度是描述對剪切流動的抵抗能力。理想情況黏度可定義為拖曳流動——被困在水平板（一側固定，一側以恆定速度水平運動）間的一層流體（通常認為板塊非常大，不需要考慮邊緣附近的情況）。在拖曳流動中，流體被困在兩個無限大的平板之間，一個平板固定，另一個平板以恆定速度平行運動（右圖）。如果頂板的速度足夠低（以避免亂流），那麼在穩定狀態下，流體粒子會平行於頂板移動，其速度會變化在底部頂部。^[8]每一層流體的運動速度都比其下方的一層快，它們之間的摩擦力會產生阻礙它們相對運動的力。具體來說，流體對頂板施加一個與其運動方向相反的力，對底板施加一個相等但方向相反的力。因此，需要外力來保持頂板以恆定速度移動。

 

如果頂板的速度足夠小，流體粒子將平行於它流動，並且它們的速度從底部的0到頂部的${\displaystyle u}$ 呈線性變化。流體的每一層流動速度快於它的下一層，它們之間會產生一個抵抗它們相對運動的摩擦力。特別是，流體將在頂板運動的反方向施加一個力，在底板也會產生一個等大反向的力。因此需要一個外力來維持頂板以恆定的速度運動。力${\displaystyle F}$ 的大小正比於每塊板的運動速度${\displaystyle u}$ 和面積${\displaystyle A}$ ，而反比於兩板之間的距離${\displaystyle y}$ ，得到：　

${\displaystyle F={\mu A}{\frac {u}{y}}}$ 

在這個公式中，比例係數${\displaystyle \mu }$ 是流體的黏度（特別是動態黏度）動態黏度的因次為：質量/距離/時間，因此可得國際單位和派生單位：

${\displaystyle [\mu ]={\frac {\rm {kg}}{\rm {m{\cdot }s}}}={\frac {\rm {N}}{\rm {m^{2}}}}{\cdot }{\rm {s}}={\rm {Pa{\cdot }s}}}$ 

${\displaystyle {\frac {u}{y}}}$ 稱為剪切變形或剪切速度，是垂直於板的速度上流體速度的導數（右圖）。如果兩者不是線性相關，則可用微分方程式表達剪切應力：

${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}}$ 

這個公式假設流動是沿著平行線的，並且垂直於流動方向的y軸指向最大剪切速度。這個方程式可以用於速度非線性變化的情況，比如在流體流經管道中時的情況。其中${\displaystyle \tau =F/A}$ ，${\displaystyle \partial u/\partial y}$ 是局部剪切速度。這個表達式被稱為牛頓黏性定律。在具有平面對稱性的剪切流中，公式定義了${\displaystyle \mu }$ ，是黏度一般定義中的特例，可用無坐標形式表示。

機械和化學工程師、數學家以及物理學家們常使用希臘字母${\displaystyle \mu }$ 來表示動態壓力黏度，^[9][10][11]然而化學家、物理學家、IUPAC也使用希臘字母${\displaystyle \eta }$ 表示。^[12]黏度有時也稱為剪切黏度。然而，有作者不鼓勵使用這個術語，他指出除剪切流外，還可出現在非剪切流中。^[13]

流體動力學中，有時用運動黏度（有時也稱為動量擴散率）來表示，運動黏度定義為剪切黏度μ除以液體密度ρ，通常用希臘字母ν表示。

${\displaystyle \mathrm {\nu } ={\frac {\mu }{\rho }}}$ 

因次為：(長度)²/時間，得到SI單位及派生單位， 比能乘以時間或單位質量的能量乘以時間：

${\displaystyle [\nu ]=\mathrm {\frac {m^{2}}{s}} =\mathrm {{\frac {N{\cdot }m}{kg}}{\cdot }s} =\mathrm {{\frac {J}{kg}}{\cdot }s} }$ 

運動黏度可用來研究雷諾數。

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho uL}{\mu }}={\frac {uL}{\nu }}}$ 

一般而言，流體中的黏性應力定義為由不同流體粒子的相對速度引起的應力。因此，黏性應力必須取決於流速的空間梯度。如果速度梯度很小，則黏性應力在一階近似下僅取決於速度的一階導數，對於牛頓流體，則為線性依賴關係。在笛卡爾坐標系中，一般關係可以寫成：

${\displaystyle \tau _{ij}=\sum _{k}\sum _{\ell }\mu _{ijk\ell }{\frac {\partial v_{k}}{\partial r_{\ell }}}}$ 

其中${\displaystyle \mu _{ijk\ell }}$ 是速度梯度張量${\displaystyle \partial v_{k}/\partial r_{\ell }}$ 映射到黏性應力張量${\displaystyle \tau _{ij}}$ 的黏度張量。^[14]由於該表達式中的指數可以在1~3間變化，因此總共有81個「黏度係數」${\displaystyle \mu _{ijkl}}$ 。然而，假設黏度秩為2的張量是各向同性的，則將這81個係數簡化為三個獨立參數${\displaystyle \alpha }$ ，${\displaystyle \beta }$ ，${\displaystyle \gamma }$ ：

${\displaystyle \mu _{ijk\ell }=\alpha \delta _{ij}\delta _{k\ell }+\beta \delta _{ik}\delta _{j\ell }+\gamma \delta _{i\ell }\delta _{jk}}$ 

假設流體在進行簡單的剛體旋轉時不會產生黏性力，因此${\displaystyle \beta =\gamma }$ ，只剩下兩個獨立參數。最常見的分解方法是使標準（純量）黏度${\displaystyle \mu }$ 和體積黏度${\displaystyle \kappa }$  關係為${\displaystyle \alpha =\kappa -{\tfrac {2}{3}}\mu }$ 以及${\displaystyle \beta =\gamma =\mu }$ ，最終在向量符號中得到：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {v} +(\nabla \mathbf {v} )^{\mathrm {T} }\right]-\left({\frac {2}{3}}\mu -\kappa \right)(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {\delta } }$ 

其中${\displaystyle \mathbf {\delta } }$ 是單位張量。^[13]這個方程式可看作牛頓黏性定律的廣義形式。

一個可壓縮流體被均勻壓縮或擴展時，沒有剪切，但它仍然以內部摩擦的形式表現來抵制它的流動。這些力的一個與壓縮或膨脹率有關的因素σ，稱為體積黏度，或第二黏度。只有當流體被迅速壓縮或擴展時，如聲音和衝擊波，體積黏度顯得很重要。體積黏度解釋了這些波的能量損失，正如斯托克斯的聲衰減規律所描述的。體積黏度${\displaystyle \kappa }$ 表示一種抵抗流體無剪切壓縮或膨脹的內部摩擦。在流體動力學問題中通常不是必需的。例如，不可壓縮流體滿足${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$ 因此不含${\displaystyle \kappa }$ 。此外，對於氣體來說${\displaystyle \kappa }$ 通常認為可忽略，因為在單原子理想氣體中是${\displaystyle 0}$ 。^[13]只有當流體迅速壓縮或擴展，用斯托克斯聲音衰減定律來描述聲音和衝擊波時，體積黏度${\displaystyle \kappa }$ 才顯得很重要。

黏度的定義方程式不是自然界的基本定律，因此它們的實用性以及測量或計算黏度的方法必須使用單獨的方法來建立。一個潛在的問題是，黏度原則上取決於流體的完整微觀狀態，其中包括系統中每個粒子的位置和動量。^[15]這種高度詳細的資訊通常不現實。然而，這些資訊中的大部分某些條件下可以忽略不計。特別是，對於接近平衡狀態且遠離邊界（本體狀態）的牛頓流體，黏度僅取決於定義局部平衡的空間和時間相關的宏觀場（如溫度和密度）。^[15][16]

儘管如此，黏度仍可能對多種系統特性具有不可忽略的依賴性，例如溫度、壓力以及任何外部強迫的幅度和頻率。因此，黏度的精確測量僅針對特定的流體狀態進行定義。為了標準化實驗和理論模型之間的比較，黏度數據有時會外推到理想的極限情況，例如零剪切極限或（對於氣體）零密度極限。

在一般情況下，流動中的應力可部分歸因於從休息狀態的材料的變形（彈性應力），部分歸因於變形隨時間的變化率（黏性應力）。在流體中，根據定義，彈性應力僅包括靜水壓力。在一般的術語中，流體的黏度是應變率和黏性應力之間的關係。在牛頓流體模型，關係是通過定義一個線性映射，由黏度張量描述，乘以應變率張量（這是流動的速度梯度），給出了黏性應力張量。一般，黏度張量具有九個獨立的自由度。各向同性的牛頓流體，這可以減少到兩個獨立的參數。最常見的是，應力黏度${\displaystyle \mu }$ 和本體黏度${\displaystyle \sigma }$ 。

輸運理論從動量輸運的角度對黏度進行了另一種解釋：黏度是表徵流體內動量傳輸的材料特性，就像熱導率表徵熱輸運，（質量）擴散率表徵質量輸運一樣。^[13]這種觀點隱含在牛頓黏度定律中，${\displaystyle \tau =\mu (\partial u/\partial y)}$ ，因為切應力其單位相當於動量通量，即單位時間內單位面積上的動量。因此，${\displaystyle \tau }$ 可以解釋為指定動量流動從一個流體層到另一個流體層的${\displaystyle y}$ 方向。根據牛頓黏度定律，這種動量流發生在速度梯度上，相應動量通量的幅度由黏度決定。

可以明確地類比熱量和質量傳遞。正如熱量從高溫流向低溫、質量從高密度流向低密度一樣，動量也從高速流向低速。這些行為都由緊湊的表達式描述，稱為本構關係，其一維形式如下：

菲克擴散定律：${\displaystyle \mathbf {J} =-D{\frac {\partial \rho }{\partial x}}}$ 

傅立葉熱傳導定律：${\displaystyle \mathbf {q} =-k_{t}{\frac {\partial T}{\partial x}}}$ 

牛頓黏度定律：${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}}$ 

其中${\displaystyle \rho }$ 是黏度，${\displaystyle \mathbf {J} }$ 和${\displaystyle \mathbf {q} }$ 是質量和熱通量，${\displaystyle D}$ 和${\displaystyle k_{t}}$ 是質量擴散率和熱導率。^[17]質量、動量和能量（熱量）傳輸是連續力學中最相關的過程，這一事實並非巧合：這些是粒子間碰撞中在微觀層面上守恆的少數物理量。因此，它們的動態不是由快速而複雜的微觀交互作用時間尺度決定的，而是發生在宏觀時間尺度上，正如輸運理論和流體動力學的各種方程式所描述那樣。

 

表觀黏度與剪切速率無關的流動特性的流體（即服從牛頓黏性定律的流體）稱為牛頓流體。黏性定律是一個本構方程式，而不是一個自然法則。一種流體的行為符合牛頓定律，黏度${\displaystyle \mu }$ 獨立於應力的稱為牛頓流體。氣體，水和許多常見的液體可以在普通的條件和環境考慮為牛頓流體。

牛頓流體的流動曲線（剪切應力與剪切速率的關係曲線稱為流動曲線），是一條通過原點的斜直線，該條斜直線的斜率即是該牛頓流體的黏度，斜率不同，黏度不同。對於同一流體，在任何剪切速率下，黏度相同，與剪切速率無關。

有許多明顯偏離牛頓定律的非牛頓流體，比如：

• 剪切增稠（脹流性）流體：其黏度隨剪切應變率的增加。
• 剪切稀化流體：流體黏度隨剪切速率增大而降低；
• 觸變性流體：定溫下表觀黏度隨剪切持續時間而降低；
• 震凝性流體：定溫下表觀黏度隨剪切持續時間而增大；
• 賓漢流體：在低應力下表現為固體，在高應力下表現為黏性流體。

特魯頓比率是拉伸黏度與剪切黏度之比。對於牛頓流體，特魯頓比率為3。^[18][19]剪切稀化液體通常被描述為觸變性液體，但這種描述容易引起誤解。^[20]

即使是牛頓流體，黏度通常取決於其組成和溫度。氣體等可壓縮流，這取決於溫度，而隨壓力變化很慢。一些流體的黏度可能取決於其他因素。例如磁流變流體，流體在加磁場後變厚，可能會表現得像固體點。

對於溶液（尤其是高分子溶液），常用到以下幾種黏度。

相對黏度（又稱黏度比）是溶液（或分散相）的黏度η與溶劑（或連續相）的黏度η0之比，即：

${\displaystyle \eta _{r}={\frac {\eta }{\eta _{0}}}}$ 

增比黏度（又稱比黏度）是溶液（或分散相）的黏度η與溶劑（或連續相）的黏度η0之差被溶劑（或連續相）黏度的η0除得之商，即：

${\displaystyle \eta _{sp}={\frac {\eta -\eta _{0}}{\eta _{0}}}\,={\frac {\eta }{\eta _{0}}}-1=\eta _{r}-1}$ 

比濃黏度（又稱換算黏度或黏度數）是單位濃度的溶液（或分散相）的增比濃度，即：

${\displaystyle {\frac {\eta _{sp}}{c}}={\frac {\eta _{r}-1}{c}}}$ 

比濃對數黏度（又稱對數黏度）是相對黏度的自然對數被溶液（或分散相）的濃度除得之商，即：

${\displaystyle \left\{\eta \right\}={\frac {\ln {\eta _{r}}}{c}}}$ 

特性黏度（又稱極限黏度）是濃度趨於零時比濃黏度的極限值，即：

${\displaystyle \left[\eta \right]=\lim _{c\to 0}{\frac {\eta _{sp}}{c}}}$ 

 

在流體流動中所產生的黏性力不能與在固體中對剪切、壓縮或拉伸產生的回覆彈性力相混淆。後者的應力是與形變量成比例的，而在流體中與形變隨時間的變化率成比例。然而，許多液體（包括水）在受到突然的壓力後，反應像彈性固體。相反，甚至在任意應力較小，許多「固體」（即使花崗岩）將像液體一樣流動，雖然很慢。這樣的材料，具有彈性（反應變形）和黏度（以變形率的反應），即黏彈性。黏彈性固體可能表現出壓力黏性和體積黏性。拉伸黏度的剪切和體積黏度，描述了一個固體彈性材料的伸長率的反應的一個線性組合，它廣泛用於表徵聚合物。在地質學中，具有黏性變形至少三倍於彈性變形的稀土材料有時被稱為流變體。

黏度的國際單位制是帕斯卡·秒[Pa·s]，有時也使用以法國生理學家吉恩·路易斯·泊肅葉命名的泊[P]。十個泊等於一個帕斯卡·秒。

1Pa·s = 10P

實際上，有兩個量被稱為黏度。上面所定義的量有時被稱為動態黏度、絕對黏度或簡單黏度（來區別其他的量），但通常也稱為黏度，常用符號為μ或η。另外一種量稱為運動黏度（用符號ν表示），它是流體的黏度與密度的比值：

${\displaystyle \nu ={\frac {\eta }{\rho }}}$ 

運動黏度是在重力影響下，衡量抵制液體流動的量。它的測量裝置通常被稱為毛細管黏度計——基本上是底部有一個狹窄管的有刻度的筒。當兩種體積相同的液體放置在相同的毛細管中，並且可以在重力的影響下流動，那麼在流過管道時，黏性流體花費的時間比少黏性流體花費的時間要長。運動黏度的SI單位是平方米/秒，沒有特別的名字。由於這個單位太大，很少使用。一個更常見的運動黏度單位是平方厘米/秒，這是考慮到以愛爾蘭的數學家和動物學家喬治·加布里埃爾·斯托克斯（1819～1903）而命名的斯托克斯（St）。這個單位也有點大，所以最常見的單位可能是平方毫米/秒，或厘司。

1 m²／s= 10，000 [stokes]= 1，000，000 [centistokes]

1 cm²／s＝1 stokes

1 mm²／s＝1 centistokes

從日常經驗中，可以知道，黏度隨著溫度的變化而變化。如，蜂蜜和糖漿在加熱時更容易流動；在冬季天氣變冷時，發動機潤滑油和液壓液明顯黏性變高，嚴重影響汽車及其他機械的性能。一般來說，一種簡單液體的黏度隨溫度的升高而下降（反之亦然），隨著溫度的升高，液體中分子中運動的平均速度增大，與臨近分子的接觸時間變短。確切地說，兩個變量的變化是非線性的，當有相變發生時，變量發生突變。 加熱時，液體更易流動，氣體變稠。氣體的黏度隨溫度的升高而增大，且黏度正比於溫度的平方根。這是由於在更高的溫度下，增大了分子間碰撞的頻率。因為氣體中的分子大部分時間是在空間自由運動，任何增加一個分子與另一個分子接觸時間的因素，都會降低分子作為一個整體參與協調運動的能力。這類分子彼此發生碰撞，運動變得更加的雜亂無章，充分解釋了氣體黏度對溫度的依賴性。

黏度與溫度的關係非常密切，在常溫常壓下，當溫度變化1℃時，液體的黏度變化達百分之幾至十幾，氣體約為千分之幾，例如在（20±1）℃時有

Δη水≈±2.5%；

Δη礦物油≈±3%～±10%；

Δη矽油≈±2%～±3%；

Δη聚異丁烯≈±10%；

Δη空氣≈±0.3%.

黏度與溫度並不成線性關係，它與溫度範圍有關，溫度越低，黏溫關係越密切。又如，在0℃，20℃及100℃下，當ΔT=±1℃時，水的黏度變化，分別約為3.4%，2.5%及1.1%^[21]。此外，氣體與液體的黏度溫度變化的規律完全相反，氣體的黏度隨溫度升高而增大，因為氣體的黏性是由於動量傳遞所致，當溫度升高時，分子的熱運動加劇，動量增大，流層間的內摩擦加劇，所以黏度增大。而液體的黏性來自分子重力，溫度升高，分子間的距離加大，分子重力減小，內摩擦減弱，所以黏度減小。

黏度隨溫度變化的程度還與許多因素有關，例如物質的化學組成、黏流活化能、黏度大小等，例如通常液體的黏度越大，液體的黏度隨溫度的變化越大。

因為黏度是如此地依賴於溫度，所以在描述黏度時離不開溫度。

氣體的黏度隨壓力的增大而增大，黏度與壓力的關係可由公式（${\displaystyle \eta =\eta _{1}f}$ ）求得^[22]。

液體黏度隨壓力的增加而增大，但遠不如氣體的黏度與壓力的關係之密切。在500MPa（即5000大氣壓）下，液體黏度與壓力的關係用公式（${\displaystyle \eta =\eta _{1}\exp {(\alpha p)}}$ ）表示^[22]。普通液體在0.1MPa附近，每增加0.1MPa壓力時，黏度增加約0.1%～0.3%。對於黏度η>1.2mPa·s的液烴，可用庫澤爾式來計算高壓下的黏度值。

測量黏度的有各種黏度計和流變儀。流變儀用於流體的黏度不能用單個黏度值定義的情況 ，因此要比黏度計需要更多的參數設定和測量。封閉的流體溫度控制是準確測量所必備的，特別是像潤滑油的黏度，僅變化5℃可翻倍。一些流體，在較寬的剪切速率範圍內，黏度是恆定的（牛頓流體）。沒有恆定黏度的流體（非黏度流體）不能由單一的數字來描述。非牛頓流體表現出剪切應力和剪切速率之間各種不同的相關性。目前用得最廣泛的主要有毛細管黏度計，旋轉黏度計，落球黏度計和錐板黏度計等幾種，這些儀器可以測量10^-2～10¹²泊的黏度。各種黏度計所適應的剪切速率範圍不同。擠出式毛細管黏度計通常可在10^-1～10⁶與實際加工條件非常接近的剪切速率範圍使用；轉動式黏度計可用於剪切速率在10^-3～10的範圍，而球式黏度計只能在很低的剪切速率範圍內使用。

 

空氣的黏度主要取決於溫度。在15 °C時，空氣的黏度是1.81×10⁻⁵ kg/(m·s), 18.1 μPa.s 或1.81×10⁻⁵ Pa.s。在15 °C時空氣的運動黏度是1.48×10⁻⁵ m^2/s或14.8 cSt。在25 °C時，黏度是18.6 μPa.s和運動黏度是15.7 cSt。人們能從氣體黏度計算器上得到氣體黏度與溫度的函數。

 

• 在25 °C時，水的動態黏度是8.90 × 10⁻⁴ Pa·s或 8.90 × 10⁻³ dyn·s/cm² 或0.890 cP。
• 在25℃時水的黏度是0.0091泊，或在20 °C時為1厘泊。
• 作為溫度的函數， T(K): μ = A × 10^B/(T−C)

其中A=2.414 × 10⁻⁵ Pa·s ; B = 247.8 K ; and C = 140 K。

• 下面列出的是不同溫度下液體水的黏度。

這一術語懸浮液描述的是保持著流動性的液體和固體顆粒的混合物。漿料的黏度可以被描述為相對的液相黏度：

${\displaystyle \mu _{s}=\mu _{r}\cdot \mu _{l},}$ 

在以上公式中，μ_s和μ_l分別是泥漿和液體的動力黏度（PA·S），μ_r是相對黏度（無因次）

根據不同的固體顆粒的大小和濃度，存在幾個模型，其描述相對黏度的固體顆粒的並具有體積分數ɸ功能。

在極低濃度的細顆粒的情況下，可以使用愛因斯坦方程式^[23]：

${\displaystyle \mu _{r}=1+2.5\cdot \phi }$ 

在高濃度的情況下，由Guth and Simha提出修改後的方程式^[24]，其考慮固體顆粒之間的交互作用，這個方程式的進一步改進由托馬斯從實證數據的擬合中提出。

${\displaystyle \mu _{r}=1+2.5\cdot \phi +10.05\cdot \phi ^{2}+A\cdot e^{B\cdot \phi },}$ 

其中A = 0.00273 and B = 16.6

在非常高的濃度下，另一個經驗方程式通過Kitano 等人提出。:^[25]

${\displaystyle \mu _{r}=\left(1-{\frac {\phi }{A}}\right)^{-2},}$ 

其中對於光滑的球形顆粒A = 0.68。

 

在非晶材料的黏性流動（如玻璃和熔體）是一個熱激活過程：

${\displaystyle \mu =A\cdot e^{Q/RT},}$ 

其中Q是活化能, T是溫度, R為莫耳氣體常數和A近似為一常。

在非晶材料的黏性流動的特點與阿倫尼烏斯式行為有偏差：在高溫下（在液體狀態），Q變化從一個在較低溫度下（在玻璃態）的較高值Q_H到一個較高溫度下的較低值Q_L。根據這一變化，來劃分非晶材料。

• 在強的條件下: Q_H − Q_L < Q_L or
• 在脆的條件下: Q_H − Q_L ≥ Q_L.

非晶材料的脆性是數值特徵的多雷米的脆弱性比：

${\displaystyle R_{D}={\frac {Q_{H}}{Q_{L}}}}$ 

其中，強硬的材料的R_D < 2而脆性材料的R_D ≥ 2。

 

非晶材料的黏度由由一個二指數方程式相當精確地描述：

${\displaystyle \mu =A_{1}\cdot T\cdot \left(1+A_{2}\cdot e^{B/RT}\right)\cdot \left(1+C\cdot e^{D/RT}\right),}$ 

其中包括的常量A₁, A₂, B, C和D與非晶材料的結合鍵的熱力學參數相關。

如果溫度在玻璃化轉變溫度附近，T_g,這個方程式可以通過Vogel-Fulcher-Tammann（VFT）equation近似方程式（VFT）表示。

如果溫度低於玻璃化轉變溫度，T ≪ T_g,然後兩個指數方程式簡化為一個阿倫尼烏斯型方程式：

${\displaystyle \mu =A_{L}T\cdot e^{Q_{H}/RT}}$ 

並且：

${\displaystyle Q_{H}=H_{d}+H_{m},\,}$ 

其中H_d是斷鍵的形成焓（稱為configuron S）和H_m 是其運動焓。 當溫度低於玻璃化轉變溫度，T < T_g，其黏度的活化能高因為非晶材料在玻璃態和大部分結合鍵是完整的。

如果溫度是高度以上的玻璃化轉變溫度，T ≫ T_g，兩個指數方程式也簡化了一個阿倫尼烏斯型方程式：

${\displaystyle \mu =A_{H}T\cdot e^{Q_{L}/RT},}$ 

而且：

${\displaystyle Q_{L}=H_{m}.\,}$ 

當溫度高於玻璃化轉變溫度，T > T_g，黏度的活化能低，因為非晶材料被熔化及其大部分結合鍵斷裂，這有利於流動。

下表列出了一些牛頓流體的運動黏度：

*這些材料是高濃度非牛頓型的。

註：高濃度意味著更厚的物質。

• 黏度的溫度敏感性