粒子衰變

所有數值均來自粒子數據小組：

種類	名稱	符號	能量 (MeV)	平均壽命
輕子	電子 / 正電子	${\displaystyle e^{-}\,/\,e^{+}}$	0.511	${\displaystyle >4.6\times 10^{26}}$  年
	μ子 / 反μ子	${\displaystyle \mu ^{-}\,/\,\mu ^{+}}$	105.6	${\displaystyle 2.2\times 10^{-6}}$  秒
	τ子 / 反τ子	${\displaystyle \tau ^{-}\,/\,\tau ^{+}}$	1777	${\displaystyle 2.9\times 10^{-13}}$  秒
介子	中性π介子	${\displaystyle \pi ^{0}\,}$	135	${\displaystyle 8.4\times 10^{-17}}$  秒
	帶電π介子	${\displaystyle \pi ^{+}\,/\,\pi ^{-}}$	139.6	${\displaystyle 2.6\times 10^{-8}}$  秒
重子	質子 / 反質子	${\displaystyle p^{+}\,/\,p^{-}}$	938.2	${\displaystyle >10^{29}}$  年
	中子 / 反中子	${\displaystyle n\,/\,{\bar {n}}}$	939.6	${\displaystyle 885.7}$  秒
玻色子	W玻色子	${\displaystyle W^{+}\,/\,W^{-}}$	80,400	${\displaystyle 10^{-25}}$  秒
	Z玻色子	${\displaystyle Z^{0}\,}$	91,000	${\displaystyle 10^{-25}}$  秒

把一粒子的平均壽命標記為${\displaystyle \tau }$ ，這樣粒子在時間t後仍生還（即未衰變）的概率為

${\displaystyle P(t)=e^{-t/(\gamma \tau )}}$ 

其中

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$ 為該粒子的勞侖茲因子。

設一粒子質量為M，則衰變率可用下面的通用公式表示

${\displaystyle d\Gamma _{n}={\frac {(2\pi )^{4}}{2M}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$ 

其中

n為原衰變所生成的粒子數，

${\displaystyle {\mathcal {M}}\,}$ 為連接始態與終態的不變矩陣上的元，

${\displaystyle d\Phi _{n}\,}$  為相空間的元，及

${\displaystyle p_{i}\,}$ 為粒子i 的四維動量。

相空間可由下式所得，

${\displaystyle d\Phi _{n}(P;p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})=\delta ^{4}(P-\sum _{i=1}^{n}p_{i})\left(\prod _{i=1}^{n}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{i}}{(2\pi )^{3}2E_{i}}}\right)\,}$ 

其中

${\displaystyle \delta ^{4}\,}$ 為四維的狄拉克δ函數。

作為例子，一粒子衰變成三粒子時的相空間元如下：

${\displaystyle d\Phi _{3}={\frac {1}{(2\pi )^{9}}}\delta ^{4}(P-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\frac {d^{3}{\vec {p}}_{1}}{2E_{1}}}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{2}}{2E_{2}}}{\frac {d^{3}{\vec {p}}_{3}}{2E_{3}}}\,}$ 

一粒子的四維動量又叫其不變質量。

一粒子的四維動量平方，定義為其能量平方與其三維動量平方間的差（注意從這開始，採用的單位都能滿足光速等於1這項條件）：

${\displaystyle p^{2}=E^{2}-({\vec {p}})^{2}=m^{2}\quad \quad \quad \quad (1)\,}$ 

兩粒子的四維動量平方為

${\displaystyle p^{2}=\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}p_{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2(E_{1}E_{2}-{\vec {p}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{2})\,}$ 。

在所有衰變及粒子相互作用中，四維動量都必須守恆，因此始態p_i 與終態p_f 的關係為

${\displaystyle p_{\mathrm {i} }=p_{\mathrm {f} }}$ 。

設母粒子質量為M，衰變成兩粒子（標記為1和2），那麼四維動量的守恆條件則為

${\displaystyle p_{M}=p_{1}+p_{2}}$ 。

整理可得，

${\displaystyle p_{M}-p_{1}=p_{2}}$ 

然後取左右兩邊的平方

${\displaystyle p_{M}^{2}+p_{1}^{2}-2p_{M}p_{1}=p_{2}^{2}}$ 。

現在要用的正是四維動量的定義——方程(1)，展開各p² 得

${\displaystyle M^{2}+m_{1}^{2}-2\left(E_{M}E_{1}-{\vec {p}}_{M}\cdot {\vec {p}}_{1}\right)=m_{2}^{2}.\quad \quad \quad \quad (2)\,}$ 

若進入母粒子的靜止系，則

• ${\displaystyle {\vec {p}}_{M}=0\,}$ ，及
• ${\displaystyle E_{M}=M\,}$ 

將上述兩式代入方程(2)得：

${\displaystyle M^{2}+m_{1}^{2}-2ME_{1}=m_{2}^{2}.\,}$ 

整理後得粒子1於母粒子靜止系中的能量公式，

${\displaystyle E_{1}={\frac {M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2M}}.\quad \quad \quad \quad (3)\,}$ 

同樣地，粒子2在母粒子在靜止系中的能量為

${\displaystyle E_{2}={\frac {M^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2M}}}$ 。

可得

${\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p}}_{2}|={\frac {\sqrt {\left[M^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}\right]\left[M^{2}-\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}\right]}}{2M}}.\,}$ 

先把${\displaystyle E_{1}^{2}=m_{1}^{2}+{\vec {p}}_{1}^{2}\,}$  代入方程(3)：

${\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {(M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}-4m_{1}^{2}M^{2}}{4M^{2}}}\,}$ 

${\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{4}+m_{1}^{4}+m_{2}^{4}-2m_{1}^{2}M^{2}-2m_{2}^{2}M^{2}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}}{4M^{2}}}\,}$ 

${\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{4}-M^{2}(m_{1}+m_{2})^{2}-M^{2}(m_{1}-m_{2})^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}}{4M^{2}}}\,}$ 

${\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{2}\left[M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2}\right]-(m_{1}+m_{2})^{2}\left[M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2}\right]}{4M^{2}}}\,}$ 

${\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|={\frac {\sqrt {\left[M^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}\right]\left[M^{2}-\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}\right]}}{2M}}.\,}$ 

${\displaystyle |{\vec {p}}_{2}|\,}$ 的推導也一樣。

 

在質心系中，看起來靜止的母粒子衰變成兩相同質量的粒子，造成它們在夾角為180°的情況下發射。

 

...而在實驗室系中，母粒子大概以接近光速的速度移動，因此所發射的兩粒子，其角度會與質心系的不一樣。

在實驗室系中發射粒子的角度，與質心系時的關係由下式表示：

${\displaystyle \tan {\theta '}={\frac {\sin {\theta }}{\gamma \left(\beta /\beta '+\cos {\theta }\right)}}}$ 

設一母粒子質量為M ，衰變成兩粒子，標記為1和2。那麼在母粒子的靜止系中，

${\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p_{2}}}|={\frac {[(M^{2}-(m_{1}+m_{2})^{2})(M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2})]^{1/2}}{2M}}}$ 。

另外，用球座標表示則為

${\displaystyle d^{3}{\vec {p}}=|p|^{2}\,dpd\Omega =p^{2}\,d\phi \,d\left(\cos \theta \right)}$ 。

已知二體衰變的相空間元（見上文#衰變率一節，n=2），得母粒子參考系中的衰變率為：

${\displaystyle d\Gamma ={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\left|{\mathcal {M}}\right|^{2}{\frac {|{\vec {p}}_{1}|}{M^{2}}}\,d\phi _{1}\,d\left(\cos \theta _{1}\right)}$ 。

• 粒子物理學
• 粒子列表
• 弱相互作用

• J.D. Jackson. Kinematics (PDF). Particle Data Group. 2010 [2011-08-24]. （原始内容 (PDF)存档于2021-03-28）.  －見第2頁。
• 粒子數據小組 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 粒子大冒險 勞倫斯伯克利國家實驗室粒子數據小組