節點分析

1. 標出電路裏所有相連接的導線，設定每一群相連接的導線為單獨節點。在相鄰的兩個結點之間，必定有一個元件。
2. 選擇一個節點為參考點。設定這參考點為接地點，電位為零，以接地線或底架標示於電路圖。這選擇不會影響結果，但可以簡化運算。通常，選擇連接最多支路的節點可以使解析更加簡易。
3. 對於每一個未知電壓節點，按照基尔霍夫電流定律，寫出一個方程式，要求所有流入這節點的支路電流的總和等於所有流出這節點的支路電流的總和。特別注意，節點的電壓指的是節點與參考點之間的電壓差。
4. 假若有電壓源處於兩個未知電壓節點之間，則可合併這兩個節點為單獨一個「超節點」（supernode），將進入與離開這兩個節點的電流一同按照基尔霍夫電流定律處理。另外，再添加一個電壓方程式，寫出這兩個節點的電壓關係。
5. 解析這一組聯立方程式，尋求每一個未知電壓。

 

如右圖基本電路案例所示，${\displaystyle V_{1}}$  是唯一的未知電壓節點。連接於這節點有三個支路，因此必須計算三個支路電流。假定這些電流的方向都是朝著離開節點的方向。

1. 通過電阻器 ${\displaystyle R_{1}}$  的支路電流： ${\displaystyle I_{1}=(V_{1}-V_{S})/R_{1}}$  。
2. 通過電阻器 ${\displaystyle R_{2}}$  的支路電流： ${\displaystyle I_{2}=V_{1}/R_{2}}$  。
3. 通過電流源 ${\displaystyle I_{S}}$  的支路電流： ${\displaystyle I_{3}=-I_{S}}$  。

應用克希荷夫電流定律，

${\displaystyle I_{1}+I_{2}+I_{3}={\frac {V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac {V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0}$  。

稍加運算，可以得到

${\displaystyle V_{1}=\left({\frac {V_{S}}{R_{1}}}+I_{S}\right)\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)^{-1}}$  。

將所有變量的數值代入，可以得到答案

${\displaystyle V_{1}=\left({\frac {5{\text{ V}}}{100\,\Omega }}+20{\text{ mA}}\right)\left({\frac {1}{100\,\Omega }}+{\frac {1}{200\,\Omega }}\right)^{-1}\approx 4.667{\text{ V}}}$  。

 

如右邊電路圖所示，${\displaystyle V_{1}}$  、${\displaystyle V_{2}}$  是兩個未知電壓。由於電壓源 ${\displaystyle V_{B}}$  有一端連接於接地點，電壓 ${\displaystyle V_{3}}$  等於 ${\displaystyle V_{B}}$  。

注意到通過電壓源 ${\displaystyle V_{A}}$  的電流無法直接計算出來。因此，不能寫出 ${\displaystyle V_{1}}$  或 ${\displaystyle V_{2}}$  節點的電流方程式。但是，離開 ${\displaystyle V_{2}}$  節點並且通過電壓源 ${\displaystyle V_{A}}$  的電流必須進入 ${\displaystyle V_{1}}$  節點。雖然這兩個節點不能單獨解析，假若將兩個節點合併起來成為超節點，就可以應用基尔霍夫電流定律，設定進入和離開的電流的代數和等於零：

${\displaystyle {\frac {V_{1}-V_{\text{B}}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}-V_{\text{B}}}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}}=0}$  。

再添加一個 ${\displaystyle V_{1}}$  與 ${\displaystyle V_{2}}$  之間的關係式：

${\displaystyle V_{1}=V_{2}+V_{A}}$  。

經過一番運算，可以得到

${\displaystyle V_{2}={\frac {(R_{1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{A}}}{(R_{1}+R_{2})R_{3}+R_{1}R_{2}}}}$ 。

• Paul Dimo, Nodal Analysis of Power Systems, Abacus Press, 1975