局部緊

設${\displaystyle X}$ 為拓撲空間。通常稱${\displaystyle X}$ 局部緊的意思是，${\displaystyle X}$ 的每點${\displaystyle x}$ ，都有緊鄰域，即開集${\displaystyle U}$ 和緊集${\displaystyle K}$ ，令${\displaystyle x\in U\subseteq K}$ 。

也有其他常見定義。下列定義在${\displaystyle X}$ 豪斯多夫（預正則空間亦然）時皆等價，但一般則不一定：

1. ${\displaystyle X}$ 的每點皆有緊鄰域；

2. ${\displaystyle X}$ 的每點皆有閉的緊鄰域；

2′. ${\displaystyle X}$ 的每點皆有相對緊（英语：relatively compact）鄰域；

2″. ${\displaystyle X}$ 的每點皆有相對緊（英语：relatively compact）鄰域組成的局部基；

3. ${\displaystyle X}$ 的每點皆有緊鄰域組成的局部基；

3′. 對${\displaystyle X}$ 的每點${\displaystyle x}$ ，${\displaystyle x}$ 的每個鄰域都包含其一個緊鄰域；

4. ${\displaystyle X}$ 為豪斯多夫，且滿足前述以上全部條件。

上述條件中的邏輯關係有：

• 條件2、2′、2″等價；
• 條件3、3′等價；
• 條件2、3互不推出對方；
• 全部皆推出條件1；
• 緊空間必定滿足條件1、2，條件3則不必。

條件1或較常用作定義，因為最易滿足，且當${\displaystyle X}$ 豪斯多夫時，全部條件皆與條件1等價。要證明等價，用到兩個性質：其一，豪斯多夫空間的緊子集必為閉；其二，緊空間的閉子集必為緊。

由於條件2′、2″用相對緊集定義，滿足該條件的空間可以更明確稱為局部相對緊，而與局部緊空間區分。^[2][3]斯蒂恩（Steen）及澤巴赫（Seebach）^[4]:20稱條件2、2′、2″為強局部緊，而稱條件1為局部緊。

採用條件4的例子有布爾巴基^[5]。應用中，局部緊空間通常的確豪斯多夫，從而無需區分上述定義。本條目主要討論此種局部緊豪斯多夫（LCH）空間。

緊豪斯多夫空間必然局部緊，此種例子見於條目緊空間，略舉三例如下：

• 單位區間${\displaystyle [0,1]}$ 、
• 康托爾集、
• 希爾伯特立方（英语：Hilbert cube）。

• 歐氏空間${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ （特例有數軸${\displaystyle \mathbb {R} }$ ）為局部緊（海涅-博雷尔定理的推論）。
• 拓撲流形的局部性質與歐氏空間一樣，故亦為局部緊，甚至長直線之類的非仿緊的流形亦然。
• 離散空間皆局部緊及豪斯多夫（其為零維流形）。僅當離散空間為有限集時，該空間為緊。
• 任意局部緊豪斯多夫空間的開或閉子集，在子空間拓撲的意義下，皆為局部緊。由此有歐氏空間局部緊子集的若干例子，如單位圓盤（不論開或閉）。
• p進數空間${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ 為局部緊，因為同胚於康托爾集刪去一點。因此，局部緊空間不只在古典數學分析中有用，在P進數分析亦然。

若豪斯多夫空間為局部緊，則必為吉洪諾夫空間，詳見下節。條目吉洪諾夫空間中，可以找到若干例子，是豪斯多夫空間但非吉洪諾夫，故必不局部緊。

此外，也有吉洪諾夫空間非局部緊，例如：

• 有理數空間${\displaystyle \mathbb {Q} }$ （配備${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的子空間拓撲），因為每個鄰域都有柯西序列收斂到無理數，而不在${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 中，從而不是緊鄰域。
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 的子空間${\displaystyle \{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )}$ ，因為原點並無緊鄰域。
• 實數集${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的下限拓撲（上限拓撲亦同），適用於研究單邊極限（英语：one-sided limit）。
• 任何無窮維拓撲向量空間，但要柯爾莫果洛夫（T₀，從而豪斯多夫），例如無窮維的希爾伯特空間。

首兩個例子說明，局部緊空間的子集不必局部緊，與前節開（或閉）子集的情況相對。末一個例子，則與前節歐氏空間的情況相對；具體言之，豪斯多夫拓撲向量空間為局部緊，當且僅當其為有限維（等同歐氏空間）。此例亦與希爾伯特立方（英语：Hilbert cube）作為緊空間的情況相對，但並無矛盾，因為希爾伯特立方不能是希爾伯特空間某點的鄰域。

• 有理數空間${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的單點緊化（英语：one-point compactification）是緊空間，從而在意義1及2下是局部緊，但在意義3下則不然。
• 任何無窮集上的特定點拓撲（英语：particular point topology）在意義1及3下是局部緊，但在意義2下則不然，因為任何鄰域的閉包皆是整個空間，故不為緊集。實軸上的上拓撲（英语：upper topology）也同樣。
• 所以，若取前兩項例子的不交並（英语：disjoint union (topology)），則在意義1下局部緊，但在意義2及3下不然。
• 謝爾賓斯基空間在意義1、2、3下皆局部緊，且是緊空間，但不是豪斯多夫空間（甚至並不預正則），故不是意義4下的局部緊空間。可數多個謝爾賓斯基空間的不交並（同胚於亞爾馬·埃克達爾拓撲（Hjalmar Ekdal topology）^[6]）非緊，但仍是意義1、2、3下的局部緊空間，而不是意義4下的局部緊空間。

局部緊的預正則空間（英语：preregular space）必為吉洪諾夫空間（完全正則）。由此推論，局部緊的豪斯多夫空間亦為吉洪諾夫空間。由於「正則」比「預正則」（通常稍弱）或「完全正則」（通常稍強）更常用，文獻一般稱此類空間為局部緊正則空間。同理，局部緊的吉洪諾夫空間一般稱局部緊豪斯多夫空間。

局部緊豪斯多夫空間必為貝爾空間（英语：Baire space）。換言之，貝爾綱定理適用於此類空間：取任意可數多個無處稠密集，其並集的內部必為空集。

局部緊豪斯多夫空間${\displaystyle Y}$ 的拓撲子空間${\displaystyle X}$ 也是局部緊，當且僅當${\displaystyle X}$ 是${\displaystyle Y}$ 某兩個閉子集之差。由此推論，局部緊豪斯多夫空間${\displaystyle Y}$ 的子空間${\displaystyle X}$ 為局部緊當且僅當${\displaystyle X}$ 是開子集。若將${\displaystyle Y}$ 放寬成任意豪斯多夫空間，則由子空間${\displaystyle X}$ 局部緊，仍能推出${\displaystyle X}$ 為${\displaystyle Y}$ 某兩個閉子集之差，反之則不然。

局部緊空間的商空間必為緊生成。反之，緊生成空間必為某個局部緊豪斯多夫空間的商。

對局部緊空間而言，局部均勻收斂（英语：local uniform convergence）與緊收斂等價。

設${\displaystyle X}$ 為局部緊豪斯多夫空間，則${\displaystyle X}$ 作為吉洪諾夫空間，固然能藉斯通－切赫緊化，嵌入到緊豪斯多夫空間${\displaystyle b(X)}$ ，但有了局部緊的特殊性質，則有更簡單的方法嵌入到緊豪斯多夫空間，稱為單點緊化（英语：one-point compactification）。新空間${\displaystyle a(X)}$ 僅比${\displaystyle X}$ 多一點。（單點緊化適用於其他空間，但所得的${\displaystyle a(X)}$ 為豪斯多夫，當且僅當${\displaystyle X}$ 本身是局部緊且豪斯多夫。）所以，局部緊豪斯多夫空間也可以刻劃成緊豪斯多夫空間的開子集。

${\displaystyle a(X)}$ 多出的一點可直觀視為無窮遠點，此點不在${\displaystyle X}$ 的任何緊子集中。因此，所謂趨向無窮之事，有一些可藉此以局部緊豪斯多夫空間闡明。 舉例，定義在${\displaystyle X}$ 上的連續實值（英语：real-valued function）或複值函數（英语：complex-valued function）${\displaystyle f}$ 稱為消失於無窮遠，是指給定任意正實數${\displaystyle \varepsilon }$ ，${\displaystyle X}$ 皆有緊子集${\displaystyle K}$ ，使${\displaystyle |f(x)|<\varepsilon }$ 對${\displaystyle K}$ 外的一切點${\displaystyle x}$ 成立。前述定義適用於任意拓撲空間${\displaystyle X}$ ，而在${\displaystyle X}$ 為局部緊豪斯多夫的特例，等價於${\displaystyle f}$ 能延拓成單點緊化${\displaystyle a(X)=X\cup \{\infty \}}$ 上的連續函數${\displaystyle g}$ ，使${\displaystyle g(\infty )=0}$ 。

消失於無窮遠的連續複值函數之集合${\displaystyle C_{0}(X)}$ 是C*代數。反之，可交換的C*代數必同構於某個局部緊豪斯多夫空間${\displaystyle X}$ 的${\displaystyle C_{0}(X)}$ ，其中${\displaystyle X}$ 在同胚意義下唯一。以範疇言之，局部緊空間範疇與交換C*代數範疇對偶（英语：Duality (category theory)），其證法用到蓋爾范德表示（英语：Gelfand representation）^[7]。前一範疇中，${\displaystyle X}$ 加入無窮遠點，變成${\displaystyle a(X)}$ 之事，在後一範疇對應向${\displaystyle C_{0}(X)}$ 添加單位元。

拓撲群論中，局部緊是重要概念，因為每個豪斯多夫局部緊群（英语：locally compact group）${\displaystyle G}$ 都自然配備哈爾測度，因而在${\displaystyle G}$ 上定義可測函數的積分。實數軸${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的勒貝格測度為其特例。

拓撲交換群（英语：Topological abelian group）${\displaystyle A}$ 的龐特里亞金對偶為局部緊，當且僅當${\displaystyle A}$ 是局部緊。又以範疇言之，龐特里亞金對偶是局部緊交換群範疇的自對偶（英语：Duality (category theory)）。研究局部緊交換群，為調和分析奠下基礎。此領域現也研究非交換的局部緊群。

• F. 里斯定理（英语：F. Riesz's theorem）