無效證明

在數學裡，有著許多明顯矛盾的虛假證明存在。即使其證明是有缺陷的，其錯誤——通常是經過設計的——卻常是較難抓摸的。這些謬誤一般都儘止於好奇而已，但可以被用來顯示嚴謹在數學中的重要性。

大多數此類的證明都仰賴著同種錯誤的變形 此一錯誤為採一非單射的函數${\displaystyle f}$，以觀察對某些${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，會有${\displaystyle f(x)=f(y)}$，來（錯誤地）做出${\displaystyle x=y}$的結論。零除數是此類錯誤的一特例；${\displaystyle f}$為將${\displaystyle x}$映射至${\displaystyle x\times 0}$的函數，而其錯誤的一步是起於將${\displaystyle x\times 0=y\times 0}$的等式做成${\displaystyle x=y}$的結論。相似地，下面證明了${\displaystyle 5=4}$的句子也是以函數${\displaystyle f(x)=x^{2}}$的同一種錯誤造成的。其錯誤的一步始於有某個${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$會使得${\displaystyle x^{2}=y^{2}}$的一正確申論，然後做出了${\displaystyle x=y}$的一錯誤結論。

• 假設最大的正整數不是${\displaystyle 1}$，而是${\displaystyle a}$，有${\displaystyle a>1}$；

• ${\displaystyle a>1>0}$，${\displaystyle a}$為正的，所以由${\displaystyle a>1}$得到${\displaystyle a\times a>a}$；

• 但是${\displaystyle a\times a}$還是正整數，可是沒有任何正整數比${\displaystyle a}$大，矛盾；

• 所以最大的正整數是1。

Q.E.D.

此一證明是無效的，因為最大的正整數不存在，因此不能如此假設。

• 由一等式開始

  ${\displaystyle -1=-1\,}$

• 將兩邊轉成假分數

  ${\displaystyle {\frac {-1}{1}}={\frac {1}{-1}}}$

• 將兩邊開方

  ${\displaystyle {\sqrt {\frac {-1}{1}}}={\sqrt {\frac {1}{-1}}}}$

• 其會等於

  ${\displaystyle {\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}={\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}}$

• 兩邊同乘${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$以來消去分數

  ${\displaystyle {\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {1}}{\sqrt {1}}}$

• 但任一數的開方之平方會給出原本的數來，故

  ${\displaystyle -1=1\,}$

Q.E.D.

此一證明是無效的，因為負數的開方不是實數，${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{1}}}}$推出${\displaystyle {\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}}$是錯誤的（事實上，${\displaystyle {\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}=-i}$，${\displaystyle {\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}=i}$）。

1.令${\displaystyle a=b\,}$，且${\displaystyle a\neq 0}$

2.將兩邊乘以a

${\displaystyle a^{2}=ab\,}$

3.將兩邊減掉${\displaystyle b^{2}\,}$

${\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}\,}$

4.將兩邊因式分解

${\displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)\,}$

5.將兩邊除以${\displaystyle a-b\,}$

${\displaystyle a+b=b\,}$

6.因為${\displaystyle a=b\,}$因此

${\displaystyle b+b=b\,}$

7.簡化

${\displaystyle 2b=b\,}$

8.將兩邊除以b

${\displaystyle 2=1\,}$

Q.E.D.

這個證明的錯誤點在於第五步，${\displaystyle \,}$正因為a=b所以a-b等於零，而除以零是無效的。

• 由一等式開始

  ${\displaystyle -20=-20\,}$

• 將等式兩邊以稍微不同但相等的方式表示

  ${\displaystyle 25-45=16-36\,}$

• 將兩邊做因式分解

  ${\displaystyle 5^{2}-5\times 9=4^{2}-4\times 9}$

• 將兩邊加上相同的數

  ${\displaystyle 5^{2}-5\times 9+{\frac {81}{4}}=4^{2}-4\times 9+{\frac {81}{4}}}$

• 將兩邊再做一次因式分解

  ${\displaystyle \left(5-{\frac {9}{2}}\right)^{2}=\left(4-{\frac {9}{2}}\right)^{2}}$

• 將兩邊開方

  ${\displaystyle 5-{\frac {9}{2}}=4-{\frac {9}{2}}}$

• 消去相同的項

  ${\displaystyle 5=4\,}$

Q.E.D.

那一證明內的錯誤在於${\displaystyle x^{2}=y^{2}}$不表示${\displaystyle x=y}$的這一事實。到此之前的算術都是正確的，而事實上，${\displaystyle -\left(5-{\tfrac {9}{2}}\right)=4-{\tfrac {9}{2}}}$。需注意的是，若將4減去${\displaystyle {\tfrac {9}{2}}}$，會得到${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$。若再平方的話，則會得到正的${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$。其下一個邏輯的數學步驟為取兩邊的平方。若這樣做的話，則將會看見${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$會等於${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$。原始的${\displaystyle -20=-20}$式子事實上是會導致一個正確的等式的（若此一問題是以此一純粹的方式運算的話）。

• 求${\displaystyle 1+1}$︰

${\displaystyle {\begin{aligned}1+1&=1+{\sqrt {1}}\\&=1+{\sqrt {(-1)(-1)}}\\&=1+{\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}\\&=1+i\times i\\&=1+(-1)\\&=0\\\end{aligned}}}$

Q.E.D.

此證明的錯誤在於${\displaystyle {\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}}$只有在a與b不皆為負數才成立，${\displaystyle {\sqrt {(-1)(-1)}}}$並不等於${\displaystyle {\sqrt {-1}}\times {\sqrt {-1}}}$。

首先，設定一個無窮級數。

${\displaystyle 0=0+0+0+\cdots }$

因為${\displaystyle 0=1-1}$，因此：

${\displaystyle 0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots }$

拆括號之後在於不同的地方加上括號：

${\displaystyle 0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots }$

${\displaystyle -1+1=0}$，因此：

${\displaystyle 0=1+0+0+0+\cdots }$

${\displaystyle 0=1\,}$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下，將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的，因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數 ${\displaystyle s=1-1+1-1+1-1+\cdots }$。

${\displaystyle -{\frac {1}{b}}}$

${\displaystyle =-{\frac {\frac {a}{a}}{b}}}$

${\displaystyle =-{\frac {a}{b}}{}\cdot {\frac {1}{a}}}$

${\displaystyle {\frac {-{\frac {a}{b}}}{-{\frac {1}{b}}}}={\frac {1}{a}}}$

${\displaystyle -{\frac {a}{b}}\cdot -b={\frac {1}{a}}}$

${\displaystyle a={\frac {1}{a}}}$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，${\displaystyle {\frac {-{\frac {a}{b}}}{-{\frac {1}{b}}}}}$ 不等於 ${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$，正確等式應是${\displaystyle {\frac {-{\frac {1}{b}}}{-{\frac {a}{b}}}}={\frac {1}{a}}}$（下一步：${\displaystyle {\frac {1}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {1}{a}}}$）。

首先，我們知道：

${\displaystyle 0^{4}=0\times 0\times 0\times 0=0\,}$

${\displaystyle 0^{2}=0\times 0=0\,}$

由於${\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}}$

因此${\displaystyle {\frac {0^{4}}{0^{2}}}=0^{4-2}=0^{2}=0}$

因此${\displaystyle {\frac {0}{0}}=0}$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，${\displaystyle a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}}$成立的前提有${\displaystyle a\neq 0}$。

設${\displaystyle u=a\ ,\ v=b-c\,}$
設${\displaystyle a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,}$

由和立方與差立方公式可知：

${\displaystyle (u+{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}+3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv+v{\sqrt {v}}}$

${\displaystyle (u-{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}-3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv-v{\sqrt {v}}}$

由於${\displaystyle u=a\ ,\ v=b-c\,}$

${\displaystyle (a+{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)+(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}}$

${\displaystyle (a-{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)-(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}}$

將${\displaystyle a=x-y\ ,\ b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,}$代入${\displaystyle 3a^{2}+b-c\,}$，可得：

${\displaystyle 3a^{2}+b-c=3(x^{2}-2xy+y^{2})+x^{2}+2xy+y^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=0\,}$

因此：

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+{\sqrt {b-c}})^{3}&=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}\\a+{\sqrt {b-c}}&=a-{\sqrt {b-c}}\\{\sqrt {b-c}}&=0\\b-c&=0\\b&=c\\\end{aligned}}}$

代入${\displaystyle b=(x+y)^{2}\ ,\ c=4(x^{2}-xy+y^{2})\,}$，可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\x^{2}+2xy+y^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\-3x^{2}+6xy-3y^{2}&=0\\(x-y)^{2}&=0\\x-y&=0\\x&=y\\\end{aligned}}}$

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於：

1、在以上的假設下，可得${\displaystyle v=b-c=(x+y)^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=-3(x-y)^{2}=-3a^{2}=-3u^{2}}$，所以${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$並不是獨立的；

2、在複數域中，由${\displaystyle x^{3}=y^{3}}$得不出${\displaystyle x=y}$。在此證明中，由${\displaystyle (a+{\sqrt {b-c}})^{3}=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}}$得出${\displaystyle a+{\sqrt {b-c}}=a-{\sqrt {b-c}}}$是錯誤的。

給定三角形△ABC，證明AB = AC:

1. 作∠A的角平分線。
2. 作BC的垂直平分線，並設BC的中點為D。
3. 設這兩條直線的交點為P。
4. 從P向AB和AC作垂線，並設垂足為E和F。
5. 作直線PB和PC。
6. △EAP ≅ △FAP（AP = AP；∠PAF ≅ ∠PAE由於AP平分∠A；∠AEP ≅ ∠AFP都是直角）。
7. △PDB ≅ △PDC（∠PDB、∠PDC是直角；PD = PD；BD = CD由於PD平分BC）。
8. △EPB ≅ △FPC（EP = FP由於△EAP ≅ △FAP；BP = CP由於△PDB ≅ △PDC；∠EPB ≅ ∠FPC由於它們是對頂角）。
9. 因此，AE ≅ AF，EB ≅ FC，AB = AE + EB = AF + FC = AC。
10. 同理，AB = BC，AC = BC。

證畢。

這個證明的錯誤在於，只有在△ABC為等腰三角形，P才會位於三角形的內部，而且AP與DP會重合。

給定一個矩形ABCD，證明∠DCB=∠ECB；

1. 在矩形ABCD外作CE=CD。
2. 聯結AE。
3. 作BC、AE的中垂線，它們的垂足分別是G、F，兩條直線交於H。
4. 在中垂線上的點到線段兩端的距離是相等的，所以HA=HE，HB=HC。
5. 矩形的對邊相等，得AB=DC；加上作圖要求，得AB=EC。
6. 利用S.S.S得△ABH≅△ECH。於是得∠ABH=∠ECH。
7. 由於HB=HC，則得∠HBC=∠HCB。
8. 等量減等量，得∠ABC=∠ECB。
9. 矩形的四個角都是90°，得∠ABC=∠ECB=90°。

Q.E.D.

這個證明的錯誤在於，由於△ABH≅△ECH，則∠BHA=∠CHE，即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE，可以把∠AHE看作是∠BHC的旋轉，因AH穿過了矩形ABCD，則EH是不可能穿過矩形ABCD的。

我們從計算以下的不定積分開始：

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx}$

利用分部積分法，可得：

${\displaystyle u={\frac {1}{x}}}$，${\displaystyle dv=dx}$

因此：

${\displaystyle du=-{\frac {1}{x^{2}}}dx}$，${\displaystyle v=x}$

所以，有：

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx={\frac {x}{x}}-\int \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)xdx}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=1+\int {\frac {1}{x}}dx}$

${\displaystyle 0=1\,}$

證畢。

這個證明的錯誤在於，忽略了積分完會出現的積分常數C。若繼續計算，會得到${\displaystyle 1+\int {\frac {1}{x}}dx=1+\ln \ |x|+C=\ln \ |x|+C'}$。

• 悖論